陈 明 李银红 石东源 柳焕章 王若曦 段献忠

(1.强电磁工程与新技术国家重点实验室(华中科技大学) 武汉 430074 2.华中电网有限公司 武汉 430077)



节点导纳矩阵和阻抗矩阵的互感支路组整体追加方法

陈 明1李银红1石东源1柳焕章2王若曦1段献忠1

(1.强电磁工程与新技术国家重点实验室(华中科技大学) 武汉 430074 2.华中电网有限公司 武汉 430077)

在以支路追加法形成节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的过程中，互感支路的追加远比非互感支路复杂，因此提出以支路组为单位的节点导纳矩阵及节点阻抗矩阵支路组追加法。该方法将相互之间有互感耦合的支路分为一组，应用所推导的追加公式以整组互感支路为单位直接追加到节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵中，使得计算方法简单统一，可显著减少计算量，提高计算效率。最后通过算例验证和比较了所提方法的实用性和有效性。

互感线路 支路组 节点导纳矩阵 节点阻抗矩阵

0 引言

电力网络的数学模型是现代电力系统分析的基础，通常使用节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵描述[1，2]。节点导纳矩阵以其良好的稀疏性主要应用在潮流计算及其计算领域[3-7]。节点阻抗矩阵是满矩阵，虽然形成节点阻抗矩阵的计算量较大，但其直接蕴含的信息量大，在短路分析、事故分析和经济调度等领域得到了广泛应用，特别适用于电网运行方式频繁变化情况下的大批量分析计算，例如继电保护整定计算中极端运行方式的求取[8-19]。

节点阻抗矩阵的传统形成方法主要有支路追加法和导纳矩阵求逆法两种。此外，也有专家学者提出了一种基于矩阵变换的节点阻抗矩阵形成新方法[19]。该方法首先形成支路电流对节点注入电流矩阵和节点电压对支路电流矩阵，再借用稀疏矩阵求逆的前推回推算法，形成整个节点阻抗矩阵。在大电网继电保护整定计算等需要模拟大量电网运行方式进行短路计算的场合，每次短路计算并不需要重新形成阻抗矩阵，而是根据部分电网元件(如线路、变压器等)的方式变化对初始阻抗矩阵进行修改即可。导纳矩阵求逆法和文献[19]中的方法均无法对原有节点阻抗矩阵进行修正，只能反复生成整个阻抗矩阵，计算量大，无法满足实际计算需求。传统支路追加法在电网运行方式变化后，可以通过修改原有阻抗矩阵得到新的阻抗矩阵。但应用该方法处理互感线路的运行方式变化时，需要采用预处理互感支路法，即用一组消去互感的等效支路代替互感支路组，再逐条处理。该方法可以有效地处理互感支路组，但其缺点是需追加的支路数大幅增加，例如：3条线路两两耦合的互感支路组，需等效为15条支路，然后依次进行支路追加计算。

随着高压远距离输电的快速发展，受输电走廊的限制，并行多回线路架设日益普及，线路互感耦合情况也日趋复杂。而三华电网的交流互联将使互联电力网络规模成倍增长，因此需要在同一网络中考虑的互感线路数目也成倍增长。此外随着电网运行决策过程中在线实时系统的使用日趋广泛，对电力网络数学建模的快速性要求越来越高。因此在形成和修改节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的过程中，必须能够快速准确地处理各种情况下的线路零序互感耦合问题。

本文提出一种基于支路组的节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵互感支路追加法。该方法将相互之间有零序互感耦合的支路分为一组，通过节点关联矩阵反映支路电压与节点电压、支路电流与节点电流之间的关系，应用本文所推导的追加公式以支路组为单位直接追加到节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵中。与导纳矩阵求逆法和文献[19]中的方法相比，本文提出的方法在电网运行方式频繁变化的情况下，能够快速地修正节点导纳矩阵和阻抗矩阵。与传统的预处理互感支路法相比，本文提出的方法避免了因预处理互感支路而增加的追加支路数，计算速度快。同时，该方法还统一了互感线路和普通线路的追加方法，使得整个追加过程物理意义清晰，易于编程实现。

1 预处理互感支路法

节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵互感线路预处理法的核心思想是：在形成节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵前，用消去互感的等效支路代替电网中的互感支路。该方法以增加网络的支路数为代价，消除线路间的互感耦合，互感耦合的情况越复杂，耦合的线路越多，需增加的支路数越庞大。

以图1a所示的两条互感支路为例说明整个预处理过程。这两条支路的电压方程如式(1)所示。

图1 互感支路及其等效支路Fig.1 The mutual inductance branches and their equivalents branches

(1)

式中，Upi和Uqi为线路两端的节点电压；Ii为从节点pi流向节点qi的线路电流；i∈[1,2]。

对式(1)中的阻抗矩阵求逆，可写成导纳方程

(2)

将式(2)展开，并适当改写，可得

(3)

(4)

由式(3)和式(4)可以得到两条互感支路的消互感等效电路，如图1b所示，这是一个有4个顶点、6条边的完全网形电路。可以看出，预处理支路法将原有的两条支路等效成了6条支路，增加了追加支路数。互感支路越多，耦合情况越复杂，增加的等效支路数越多。

2 基于支路组的互感支路追加法

2.1 基本思路

基于支路组的互感支路追加法的核心思想是以支路组为单位将零序互感耦合关系限于组内，通过节点关联矩阵反映支路电压与节点电压、支路电流与节点电流的关系，推导将整组支路直接追加到网络中的统一计算公式。

传统单条支路的追加类型分为链支和树支两种类型[1]。支路组的追加涉及到多条支路的整体追加，其分类比传统追加方法复杂，在本文中分别定义了链支组、树支组和混支组三种类型，用于互感支路组的追加。

2.2 定义

定义1 若追加的互感支路组只增加回路，不增加节点，则定义为追加链支组。

图2为链支组示意图。图2a中，新增支路组中的所有支路所涉及的节点均为原网络节点，新增支路组只增加了回路，为本文所定义的链支组。图2b～图2d分别为其余3种基本形式：单端共端、一端接地、双端共端为链支组。本文中的公式论证以图2a为例，其余基本形式及其相互组合的复杂情况亦均适用，将在下文阐述。

图2 链支组示意图Fig.2 The diagram of chain branch group

定义2 若追加的互感支路组只增加节点，不增加回路，并且每一条支路均与原网络相连，则定义为追加树支组。

图3为树支组示意图。图3a中，新增支路组中的所有支路均只增加节点数，不增加回路数，且每条支路均与原网络相连，为本文所定义的树支组。图3b所示的单端共端为树支组的另一种基本形式。本文中的公式论证以图3a为例，其余树支组形式亦均适用，将在下文阐述。

图3 树支组示意图Fig.3 The diagram of tree branch group

定义3 若追加的互感支路组不仅增加节点，而且增加回路，或者增加的支路有不与原网络相连的，则定义为追加混支路组。

图4为混支组示意图。图4a中，新增支路组既增加了节点数，又存在新增回路，为本文所定义的混支组的一种基本形式，即形式一。图4b中，新增支路组只增加了节点数，未增加回路数，但其中有一条支路不与原网络相连，为本文定义的混支组的另一种基本形式，即形式二。

图4 混支组示意图Fig.4 The diagram of mixed branch group

定义4 描述链支组追加时被追加支路组与原网络连接情况的矩阵定义为节点关联矩阵A。节点关联矩阵的各行代表节点，各列代表支路。若节点i连接支路j，且电流正方向为流出节点i，则Aij=1；若节点i连接支路j，且电流正方向为流入节点i，则Aij=-1；若支路j不连接节点i，则Aij=0。

2.3 链支组追加计算方法

图5 追加链支组情况Fig.5 The situation of adding chain branch group

结论1 节点导纳矩阵链支组追加公式为

(5)

式中，YB为链支组支路导纳矩阵；AN×K为节点关联矩阵。如图5b所示的链支组，其节点关联矩阵为

(6)

论证：定义节点注入电流列向量为

IN=[I1…Ip1…Ipk…Iq1…Iqk…In]T

(7)

式中，Ii为各节点注入电流，i∈[1,n]。

定义节点电压列向量为

UN=[U1…Up1…Upk…Uq1…Uqk…Un]T

(8)

式中，Ui为各节点电压，i∈[1,n]。

定义互感支路组电流列向量为

(9)

式中，Ibi为流经支路pi

qi的电流，i∈[1,k]。

对于追加后的整个网络，其节点注入电流为

(10)

由图5b可知，流入原网络N的节点注入电流为

(11)

由追加前网络的节点导纳方程可知

(12)

节点pi到节点qi间的电压差可表示为

(13)

式中，UB为互感支路组支路电压列向量。由支路导纳方程可知，互感支路组电流可表示为

(14)

将式(10)和式(14)代入式(12)可得

(15)

结论2 节点阻抗矩阵链支组追加公式为

(16)

论证：如图5b所示，由追加前后的网络节点阻抗方程可得

(17)

节点pi到节点qi间的电压差可表示为

(18)

将式(17)代入式(18)可得

(19)

(20)

在支路组追加的过程中，不仅存在上述公式推导过程中的所有追加支路均不共端情况，还存在图2中所示的一端接地、单端共端和双端共端情况，以及各种基本形式的混合情况。无论是哪一种连接情况，上述推导过程中涉及的公式均成立，唯一的区别是反映追加支路组与原网络节点连接关系的关联矩阵中各±1取值所在的位置不同。

在形成节点导纳矩阵的过程中，可以先断开所有支路，形成一个全零的矩阵，其维数为其节点数，再根据支路参数及其连接关系，添加节点导纳中的各个元素。因此，根据链支组的定义，节点导纳矩阵互感支路组的追加只存在追加链支组这一种情况，形成过程中不存在追加树支组和混支组的情况。

2.4 树支组追加计算方法

设被追加互感支路组的重数为k，互感支路组中的一条线路为Li，其两端端点为pi、 qi， 其中pi为原网络节点，qi为新增节点，线路零序自阻抗为zi(i∈[1,k])，线路Li与Lj之间的互感为zmij(i,j∈[1,k],i≠j)。

图6 追加树枝组情况Fig.6 The situation of adding tree branch group

设原网络有n个节点，并已形成了n阶的阻抗矩阵

(21)

在该网络中的节点p1至pk追加树支组，出现了k个新的节点，因而阻抗矩阵的阶数变为n+k，设这时的阻抗矩阵为

(22)

结论3 节点阻抗矩阵树支组追加公式为

(23)

(24)

(25)

(26)

论证：根据节点阻抗矩阵的物理意义，如图6a所示，在节点1～n中任选一节点注入单位电流，其余节点开路，在节点1～n上形成的节点电压与新增支路组无关，在新增节点q1～qm上形成的节点电压分别与节点p1～pm上的节点电压相等，由此可知

(27)

(28)

在节点q1～qk中任选一节点注入单位电流，其余节点开路，在节点q1～qk上产生的节点电压就是新增节点的自阻抗和互阻抗。如图6b所示，以在节点q1注入单位电流为例，此时在节点p1～pm上产生的电压，与在节点p1注入单位电流时节点p1～pm节点上的电压相同。在节点q1～qm上产生的电压为节点p1～pm的电压加上互感支路组的支路电压，即

(29)

可见

(30)

(31)

依此类推可得

(32)

(33)

2.5 混支组追加计算方法

对于混支组的追加，可以通过并联正负单位阻抗将混支组转换为链支组进行追加处理。在混连组内任选一组树支组，在该组树支组内的所有树支上并联一对阻抗为±1的支路，先追加阻抗为+1的支路，再将阻抗为-1的支路与阻抗为ZB的混支组合并，转换为链支组追加，如图7所示。

图7 追加混支组情况Fig.7 The situation of adding mixed branch group

如图7a所示的混支组可以选择树支组p1q1、 pkqk， 在节点p1、q1与pk、qk间各并联一对单位阻抗支路，如图7b所示。先追加单位阻抗为+1的两条树支，则剩余支路的节点数均在网络内，追加过程只增加回路数，混支路组的追加转化为链支组的追加。

3 支路组追加过程的存在性分析

对于某些特殊的电网结构，式(16)和式(20)中ZLL的逆可能不存在，从而导致整个追加过程失败。本节将分析ZLL逆的存在性，对于ZLL逆不存在的情况提出解决方案。

3.1 存在性分析

现以在节点i、j间追加一条阻抗为z的支路为例，由ZLL求逆的公式可得

(34)

为了便于分析追加失败的物理意义，以节点i、j为保留节点，其余节点为消去节点，将整个系统等值到保留节点i、j。等效之后可以用一个π型等效网络来模拟。

图8 两点π型等效网络Fig.8 π type equivalent network diagram

π型等效网络的节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵可表示为

(35)

根据节点阻抗矩阵的物理意义，保留节点相关的阻抗矩阵元素在等效前后保持不变。因此π型等效网络的节点阻抗矩阵元素可直接由原网络节点阻抗矩阵中节点i和j对应的矩阵元素构成。根据求逆公式可以求得π型等效网络中节点i和j之间的等效联系阻抗为

(36)

进而可表示成

(37)

当Zii或Zjj与Zij相等，且追加支路与π型等效支路并联谐振时，由式(36)和式(37)可知逆不存在，阻抗矩阵无法正常追加。将被追加支路的阻抗分为零阻抗和非零阻抗，可得到以下结论：当被追加支路阻抗为零时，追加不成功的物理意义是追加前节点i和j已被短接，再追加一条短接支路，支路电流无法表示，导致逆不存在；当被追加支路阻抗不为零时，追加不成功的物理意义是开断树支，造成孤立节点，导致逆不存在。

3.2 解决方案

由上述存在性分析可知追加不成功可分为两种情况，已短接节点间再追加短接支路与开断树支。对于前一种情况，可对追加支路加上一个小阻抗Δz，因两节点间的等效阻抗为零，追加任何值的阻抗其结果与实际电网完全等价。对于后一种开断树支，造成孤立节点的情况，对被追加支路加上一个小阻抗Δz，除孤立节点被有限大阻抗连接外，其余与实际电网完全等价。

对于支路组追加逆不存在的情况，先将ZLL进行矩阵分解，ZLL可唯一的分解为ZLL=LDU。 矩阵D为对角矩阵，将其对角线上零元素对应的追加支路组阻抗加上一个小阻抗Δz即可。

(38)

4 算例分析

4.1 算例

图9为存在互感支路的简单电网。以图9为例，在考虑支路间存在互感的情况下，用支路组追加法形成节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵，以说明该新算法的有效性。

图9 存在互感支路的电网Fig.9 A network being mutual inductance branches

根据互感线路位置和自阻抗、互阻抗，可得支路导纳矩阵、支路阻抗矩阵为

(39)

节点关联矩阵为

(40)

导纳矩阵的追加步骤如下：

1)形成不考虑互感线路的节点导纳矩阵，即

(41)

2)追加互感支路组N2～N6、N4～N7。

将Y、A、YB代入下式

Y′=Y+AYBAT

(42)

可得该网络的节点导纳矩阵

(43)

阻抗矩阵的追加步骤如下：

1)形成不考虑互感线路的节点阻抗矩阵，即

(44)

2)追加互感支路组N2～N6，N4～N7。

将Z、A、ZB代入下式

(45)

可得该网络的节点阻抗矩阵

(46)

上述过程求得的节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵与用传统方法求得的结果完全一致。

4.2 计算效率分析

为了比较基于支路组追加算法与传统支路追加算法的计算效率，在CPU E5800、2G内存电脑中用Matlab进行了仿真计算。分别应用传统方法和本文方法将含两条支路的不共端链支互感组和含三条支路的两两耦合不共端链支互感组追加到不同规模的电网节点阻抗矩阵中，仿真结果见表1。可见计算效率得到了明显提高，且随着电网节点数的扩大、互感耦合维数的增多，本文的支路组追加法优势越明显。

表1 新方法与传统方法在计算时间方面的比较Tab.1 Comparison of CPU time between conventional methods and novel algorithm (单位：ms)

在大电网整定计算中，需要模拟大量电网运行方式进行短路计算，应用本文方法可有效提高根据电网运行方式变化修改节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的计算效率。

5 结论

本文提出了以支路组为单位的电力系统节点矩阵支路追加方法。该方法将互感支路组划分为链支组、树支组和混支组三种类型。利用节点关联矩阵反映的支路电压与节点电压、支路电流与节点电流的关系，分别推导了将三种类型的支路组直接追加到节点导纳矩阵和阻抗矩阵中的计算公式。应用该方法可显著降低追加互感支路的计算量。算例分析证明了所提算法的高效性。此外，本文还对可能引起追加失败的情况进行了分析，提出了解决方案。对于规模越来越大、互感线路日趋复杂的现代大电网系统，采用本文的追加方法能够使处理简单规范，减少计算量，提高计算速度。

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Research on Mutual Inductance Branch Building Method of Node-Admittance Matrix and Node-Impedance Matrix Based on Branch Group

Chen Ming1Li Yinhong1Shi Dongyuan1Liu Huangzhang2Wang Ruoxi1Duan Xianzhong1

(1.State Key Laboratory of Advanced Electromagnetic Engineering and Technology Huazhong University of Science and Technology Wuhan 430074 China 2.Central China Grid Company Limited Wuhan 430077 China)

In the process of building node-admittance matrix and node-impedance matrix by traditional adding branches method，the addition of mutual inductance line is more complex than non-mutual inductance line.A novel algorithm of building node-admittance matrix and node-impedance matrix based on branch groups is proposed in this paper.The method makes mutual coupling branches into a group.We can add the entire branches as a group into the network according to the derived adding equations.The algorithm has the characteristic of simple and unified computing method，reducing the amount of computation and improving the computational efficiency.The Practicality and Effectiveness of this proposed method is proved by calculation and comparison.

Mutual inductance line，branch group，node-admittance matrix，node-impedance matrix

2015-07-05 改稿日期2015-11-19

TM744

陈 明 男，1987年生，博士研究生，研究方向为电力系统分析、继电保护整定计算。

E-mail：chenming@hust.edu.cn

李银红 女，1976年生，副教授，研究方向为电力系统分析计算、交直流系统继电保护整定。

E-mail：liyinhong@hust.edu.cn(通信作者)