李敏

（湖北文理学院 数学与计算机科学学院， 湖北 襄阳 441053）

多目标C-A指派问题的模糊差值法求解

李敏

（湖北文理学院 数学与计算机科学学院， 湖北 襄阳 441053）

提出一类多目标的C-A指派问题，给出了它的多目标整数线性规划数学模型，运用模糊关系合成矩阵将其转化为模糊C-A指派问题，采用差值法求解.最后给出一个应用实例.

多目标；C-A指派问题；模糊隶属度；差值法

标准指派问题的一般提法为:有n项工作要安排n个人去做，每个人只能安排一项工作，每一项工作只需要安排一个人.若已知第i个人做第j项工作的效率为cij(i,j=1,2,…,n),求使总效率最优的指派方案.解决这一问题的著名方法是匈牙利法[1].该问题是个单目标的决策问题，但在实际生活及各类管理决策过程中，决策者需要考虑的因素往往很多，如时间、效益、安全等等，因此面对的多是各类非标准形式[2]的或多目标[3-4]的指派问题.基于此,本文讨论了一类多目标的C-A指派问题，给出了它的多目标整数线性规划数学模型，运用模糊关系合成矩阵将其转化为模糊意义下的C-A指派问题[5]，并采用差值法求解，为决策者提供了可靠的科学依据.

1 多目标C-A指派问题的描述及数学模型

多目标C-A指派问题：从m个人中选择k(0

其中对值越大越优的目标而言，max′表示取最大值 (max)；对值越小越优的目标而言，max′表示取最小值(min).

2 多目标C-A指派问题的模糊差值法求解

2.1 多目标模糊关系合成矩阵

则以bij为元素的m×n矩阵B称为多目标模糊关系合成矩阵.

2.2 多目标C-A指派问题的模糊差值法

在多目标模糊关系合成矩阵中B=(bij)m×n，若把bij看作是第i人做第j项工作的模糊综合效益，其值越大越优，可把B看作是多目标C-A指派问题的模糊效益矩阵，则原多目标C-A指派问题已被转化成一个模糊意义下目标函数求最大的C-A指派问题，当然可用匈牙利法求解，但将其转换成标准指派问题后，其规模会变得很大，大大增加了计算难度.对此，由文献[3]可知，用差值法求解目标函数最小化的C-A指派问题非常方便，故先将多目标C-A指派问题转化为模糊意义下目标函数求最小的C-A指派问题，再用差值法求解.若记转化后的模糊效益矩阵为，其中为所有bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)中的最大值，其数学模型为：

3 算例

例 已知某单位现要从5个人中选择3个人去完成4项工作中的某3项工作，已知每个人做不同工作的效益矩阵、时间矩阵、安全性矩阵分别为C1,C2,C3，请确定使得三个目标都最优的指派方案.

解 由于效益目标值和安全性目标值属于越大越优型，故它们的模糊相对隶属度选用公式 (2)计算，而时间目标值属于越小越优型，故它的模糊相对隶属度选用公式 (1)计算，则得到三个目标下关于“优”的模糊关系矩阵，再取三个目标的权向量为,根据(3)式给出bij(i=1,2,…, m;j=1,2,…,n)，则可得模糊关系合成矩阵为：

由于以矩阵B为模糊效益矩阵的指派问题是最大化问题,因此必须将B转化为B′,再按差值法求解，得解矩阵X=(xij)5×4.

从求解矩阵可以看出，选择后3个人去做后3项工作，虽然不是使得3个目标各自单独考虑时都达到最优的指派方案，但从C1,C2,C3数据来看，要同时平衡这3个目标，该指派方案是完全合理的.

本文根据管理决策的实际需要,提出了一类多目标C-A指派问题,运用模糊关系合成矩阵将其转化成模糊C-A指派问题,并用差值法来求解.算例表明该转化及求解方法巧妙、简便有效，能够为决策者提供可靠的决策依据.

[1]李 敏.运筹学基础及应用[M].武汉:武汉大学出版社,2014.

[2]张劲松,李 红.求解非标准形式指派问题的行调整法[J].统计与决策,2008(14):155-156.

[3]郭倩倩,吴开信,郝 光.一类模糊多目标指派问题的解法及应用[J].西华大学学报:自然科学版,2006,25(2):70-71,87.

[4]李仁传,张合勇.变权多目标指派问题及其求解[J].军事运筹与系统工程,2012,26(4):58-61.

[5]李 敏.求解C-A指派问题的差值法[J].襄樊学院学报,2011,32(8):21-24.

[6]宋昭峰,刘付显.基于模糊指派的阵地选址决策[J].火力与指挥控制,2006,31(7):34-36.

Fuzzy Difference Value Method for Solving the Multi-objective C-A Assignment Problem

LI Min
(College of Mathematical and Computer Sciences,Hubei University of Arts and Science, Xiangyang 441053,China)

A multi-objective C-A assignment problem is proposed and discussed in this paper.Firstly,its multiobjective integer linear programming model is presented.Then,it is converted to a fuzzy C-A assignment problem by applying the fuzzy relationship synthetic matrix,and its optimal solution can be found through difference value method.Finally,a practical example is given to illustrate the method.

Multi-objective;C-A assignment problem;Fuzzy membership grade;Difference value method

O221.6

A

2095-4476(2016)11-0010-03

（责任编辑：陈 丹)

2016-10-20;

2016-11-10

湖北省教育厅科学技术研究计划指导性项目(B20122505)

李 敏(1976— ),女,湖北随州人,湖北文理学院数学与计算机科学学院副教授.