欧阳冲，陈应波，谢伟平，孙亮明

(武汉理工大学 土木工程与建筑，武汉　430070)



基于梁段单元法轨道连续箱梁的车桥耦合动力响应分析

欧阳冲，陈应波，谢伟平，孙亮明

(武汉理工大学 土木工程与建筑，武汉430070)

城市轨道交通可能会引起桥梁振动安全性问题和列车运行平稳性问题。建立精确、快速及通用性较好的车桥耦合计算程序，可对新兴的轨道交通进行振动预测提供借鉴。目前车桥耦合研究中，基于有限元软件建立的桥梁模型，通用性不高；而直接利用空间梁单元建模则无法考虑桥梁面板横向振动差异。采用梁段单元建立桥梁模型，并在MATLAB中建立整个车桥计算程序；以宁波轨道交通一号线为数值模拟对象，将计算结果与实测数据对比验证，最后考虑了不同车速对列车运行平稳性的影响。研究得到，直线运行的状态下，车桥响应都有竖向振动比横向振动受车速影响更大的趋势，且底板垂向加速度幅值最大，比腹板横向及悬臂板垂向振动加速度要显著的多；基于平稳性指标的评价结果比加速度指标更加合理。

轨道连续箱梁；梁段单元；车桥耦合；平稳性

城市轨道交通在给城市居民带来便利的同时，其引起的结构振动问题也日益突出。尤其是近十几年来，列车运行的安全性和平稳性的要求不断提高，使列车过桥的动力响应分析成为铁路桥梁设计的一个重大问题。轨道交通高架桥多采用刚度较大的箱梁结构，而目前采用的桥梁模型主要有2种，一种是基于有限元软件建模，由于模型参数不便修改，通用性不高；第二种是利用空间梁单元直接编程建模，却无法区别桥梁面板沿横断面的振动差异。轨道交通车桥耦合振动受影响因素很多，难以精确模拟，有必要进行实测验证。另外，当车速较大时，可能造成桥梁振动过大；若列车运行平稳性超出限值，也会给乘客带来不舒适感。

BHATTI[1]建立非线性悬挂的21自由度二系车辆空间模型，在考虑轨道不平顺的情况下研究车桥空间振动问题。YANG[2]利用有限差分格式离散车辆方程，得到关于移动力、移动质量和移动弹簧质量通用性较好的车桥耦合计算方法，并进行了数值验证。张楠[3]模拟了高速列车作用下单跨简支箱梁动力响应，并进行了实测验证。谢伟平[4]通过移动荷载计算得到轨道箱梁响应，以此作为分析车站结构舒适性的基础工作。

上述成果为城市轨道交通高架桥的振动研究提供一些指导意义，但是都有不适应桥梁模型变化或编程复杂的缺憾。

针对上述问题，以宁波轨道交通一号线芦港至徐家漕段连续箱梁高架桥为研究对象，根据势能不变值原理以及“对号入座”法则[6]建立了梁段单元模型，并用数值模拟和实测结果进行验证；另外，本文编制了完全基于MATLAB的车桥耦合迭代求解程序。

1　车辆模型

车辆模型是由车体、转向架和轮对三部分通过弹簧和阻尼元件相互联接而成的多自由度振动体系。本文利用动力学中的D’Alembert原理推导了31自由度车辆空间振动微分方程。

车体、转向架共三个刚体，每个刚体按5自由度考虑，即横移、沉浮、点头、侧滚和摇头位移，加上四个轮对的横移、沉浮、侧滚、摇头4自由度，得到车辆空间31自由度模型。车辆方程统一表达式如下：

(1)

2　桥梁模型

本文参照文献[5]用箱梁板梁段单元法与结构动力分析直接建立子板件的位移模式。

梁段有限元法的基本原理是，将箱梁沿桥跨方向划分，然后每一梁段单元离散为6块子板件，把围成箱梁的各个板件当成是薄壁板件，分别为左右悬臂板，左右腹板，顶底板，如图1所示。每一板件的位移模式分为面内位移和面外位移两部分。直接对每一梁段子单元进行空间位移分析，得到相应位移表达式，进而求得各子板件的能量表达式。最后，根据弹性系统动力学总势能不变值原理以及形成矩阵的“对号入座”法则[6]，利用变分原理推导出梁段单元的一致质量矩阵和刚度矩阵。

2.1基本假定及梁段节点自由度的选取

为了便于分析，减少一些不必要的自由度，假设如下:

(1)箱梁各子板件与腹板均为刚性连接；

(2)各子板件纤维沿纵向无任何压缩；

(3)各子板在面外的变形服从薄板Kirchhoff假定；

(4)轨道及其它附属设施不予考虑。

根据上述假设，最终选取梁段截面20个自由度作为最终计算自由度：

{Δi}=[Uui、U′ui、U′li、Uli、V1i、V2i、V3i、V4i、W1i、W2i

W3i、W4i、θx1i、θx2i、θx3i、θx4i、θz1i、θz2i、θz3i、θz4i]

(2)

因此，每个梁段单元有2个节点，自由度总数共40个：

{δi}={Δi、Δj}T

(3)

图1　梁段单元示意图Fig.1　Beam segment finite element

梁段单元动力学总势能表示为：

Π=Uk+Um+Uc

(4)

式中:Uk为梁段弹性势能；Um为惯性力势能；Uc为阻尼势能。

由于系统总势能一定，其一阶变分为0，利用MATLAB中的符号求解工具进行编程，可以快速求出梁段单元的单元质量、刚度和阻尼矩阵。

(5)

然后，根据“对号入座”法则，提取系数矩阵，可以得到如下表达式：

(6)

式中：[Me]、[Ke]和[Ce]分别为梁段单元的单元质量、刚度和阻尼矩阵。

将横隔板考虑为一个单独的板件，按照相同的方法得到横隔板的单元质量矩阵[M]c，单元刚度矩阵[K]c和单元阻尼矩阵[C]c，然后将单元矩阵加入到整体矩阵中对应的位置，便可得到考虑横隔板的整体质量、刚度和阻尼矩阵。

2.2桥梁模型参数

本模型以宁波市轨道交通1号线芦港站～徐家漕站LX06-LX09段三跨连续箱梁为模拟对象进行研究。根据设计图纸，LX06-LX09段桥梁为一联三跨连续梁，预应力混凝土结构。桥梁截面采用单室单箱型截面，采用二次抛物线变截面斜腹板箱梁，跨度37.5 m+60 m+37.5 m，其中跨中梁高1.8 m，支点梁高3.5 m，梁面宽9.2 m，顶板宽4.5 m，如图2；正线为双线，直线部分间距4.2 m，采用1.435 m标准轨距，列车最高设计运行速度80 km/h，其它桥梁截面参数均以图纸为准。

数值模型截面为阶梯形变化，与实际存在误差，为尽量减小误差，取单元中部实际尺寸代表整个单元的尺寸，并作等截面处理。

图2　连续梁1/2立面图(mm)Fig.2　Continuous beam elevation in half(mm)

2.3徐-芦段连续箱梁有限元模型建立

利用ANSYS分别采用solid95单元和shell63单元建立宁波轨道交通1号线芦港站～徐家漕站LX06-LX09段三跨连续箱梁有限元模型。两种模型所采用参数保持一致，建立连续箱梁有限元模型，如图3和图4所示。

图3　连续梁实体单元有限元模型Fig.3　Continuous beam solid finite element model

图4　连续梁壳单元有限元模型Fig.4　Continuous beam shell finite element model

2.4桥梁模型验证

选取腹板跨中竖向测点在环境激励下的振动数据[7](如图5)；进行滤波后计算得到图6所示的自功率谱。

图5　环境激励下加速度时程图Fig.5　Acceleration time history in environment excitation

图6　跨中测点自功率谱图Fig.6　Power spectrum of the middle point

由于测点全部布置在桥梁第二跨跨中横断面如图8所示，详见3.3节。由于桥梁竖向二阶弯曲振型为反对称形式，跨中测点无法捕捉，认为实测频谱曲线的第一阶频率2.063 Hz即为桥梁一阶竖弯频率，实测的二阶频率4.972 Hz为桥梁三阶竖弯频率。将所有求解出的桥梁模型的前4阶自振频率结果汇总如下。

表1　桥梁前4阶自振频率计算结果对比表

注：括号内数值表示与实测值误差。

本文所建立的数值模型没有考虑轨道铺装及其它附属设施，忽略其实际参振效应会造成计算结果与实测存在一定误差，上述结果也符合这一情况，但总体上误差较小。

由表1知，采用ANSYS建立的实体单元模型与壳单元模型较为接近，一阶频率与实测误差均为9.1%；采用MATLAB梁段单元计算的前4阶频率与ANSYS模型相比，计算结果偏大，其原因可能是选取梁段截面自由度时，简化假定人为地限定了梁段截面变形特性，造成截面刚度计算值偏大。但与实测相比，最终误差仍然在允许范围内，其中，一阶竖弯频率与实测误差为5.7%，三阶竖弯频率为2.8%。

由于在车桥耦合数值模拟研究中，桥梁模型的建立对计算结果影响最大的主要是其低阶频率，而本文采用3种数值模拟方法得到的一阶竖弯频率和三阶竖弯频率与实测结果误差不超过10%，吻合较好。由此，认为MATLAB建立的梁段单元桥梁模型正确，可以用于车桥耦合振动分析研究。

2.5轨道谱数值模拟

关于轨道不平顺的数值模拟，至今已有很多研究成果[8]，如二次滤波法、三角级数法、白噪声滤波法以及逆傅里叶变换法。本文采用三角级数法，将空间域轨道功率谱转换到时间域，得到美国轨道五级谱，如图7所示。

图7　美国五级轨道谱时域样本图Fig.7　American 5th track spectrum time domain sample

3　数值求解的程序实现及实测验证

为了提高计算效率以及便于模型参数修改，本文将列车和桥梁模型均建立在MATLAB中，利用MATALB简洁的程序语言、成熟的软件包和强大的数值计算功能编制计算程序，快速进行求解。

研究成果表明，弹性接触相对密贴接触计算出的车桥动力响应结果与实际更加接近[9]，而轮轨空间动态接触则更准确些，且计算代价较小，本文采用轮轨弹性接触假定，数值计算采用Newmar k-β法。

3.1垂向轮轨耦合力

本文采用Hertz非线性接触理论计算轮轨接触垂向作用力，具体表达式为：

(7)

由于法向力与垂向力之间存在一定夹角，故需将垂向力转化到法向，进而求得各个法向的分力。

法向赫兹力：

(8)

(9)

法向赫兹力沿X轴分力：

Nxl=-Nlsin(δ+θw)sin(ψw)

(10)

Nxr=Nrsin(δ-θw)sin(ψw)

(11)

法向赫兹力沿Y轴分力：

Nyl=-Nlsin(δ+θw)cos(ψw)

(12)

Nyr=Nrsin(δ-θw)cos(ψw)

(13)

3.2横向轮轨耦合力和蠕滑力矩

采用Kalker线性蠕滑理论，计算左右轮轨横向力Fy和自旋蠕滑力Mz公式[10]如下：

(14)

(15)

(1)车轮踏面接触点处斜率δ为1∶20；

(2)轮对半径为固定值0.42 m，车轮踏面横断面外形半径0.5 m，轨头横断面外形半径0.3 m；

(3)蠕滑系数以静轴重作为轮轨法向力确定。

上述假设对桥梁动力分析影响不大，可以用于车桥耦合程序的计算。a，b分别是接触椭圆的长半轴和短半轴，可根据假设由赫兹接触力求得；fij为蠕滑系数，Cij是系数，查表[11]可知。

(16)

(17)

(18)

(19)

3.3桥梁振动响应测试

芦港站至徐家漕站全长720 m。采用地铁B型车，6辆编组，运行最高速度80 km/h。桥梁采用钢筋混凝土箱梁，其中最大跨度为37.5 m+60 m+37.5 m。

为使测点能更好地代表该处子板件的振动情况，尽可能使测点处振动幅值为该子板件振动最大值，6个测点布置在第二跨跨中横断面，具体布置情况如图8：A2、A3在面板1/2处，垂向和横向分别布置1个测点；悬臂板处测点A1布置在轨道正下方约为悬臂板宽度1/2处。

3.4测试结果

限于篇幅，此处只给出近轨第二组数据中底板和悬臂板铅垂向及腹板横向振动数据。

表2　近轨箱梁各测点加速度幅值表(m/s2)

表3　远轨箱梁各测点加速度幅值表(m/s2)

图9　底板铅垂向加速度实测时程曲线和频谱曲线Fig.9　Bottom vertical acceleration time history and spectral curve in measuring

图10　腹板横向加速度时程曲线和频谱曲线Fig.10 Web lateral acceleration time history and spectral curve in measuring

图11　悬臂铅垂向加速度时程曲线和频谱曲线Fig.11 Cantilever vertical acceleration time history and spectral curve in measuring

对上述分析结果进行总结可以得出如下结论：

(1)箱梁垂向振动以底板为主，横向振动则以腹板为主。

(2)底板加速度幅值不受列车近远轨运行的影响；对腹板和翼缘而言，总体上近轨振动比远轨更为强烈，其中，腹板和翼缘垂向振动受此影响较大，横向受影响较小。

(3)箱梁各子板件加速度的频谱曲线基本一致，且以中低频率为主。

4　动力响应分析及舒适度评价

本文中采用的车辆模型为B型车，6节编组，采用31自由度，为与实测响应进行对比，将车速设置为60 km/h。整个过桥时间约为15 s，单节车厢在桥上运行时间约为8 s。桥梁模型与实测对象相同，车辆和桥梁之间假定为弹性接触。

4.1车桥耦合计算响应

本文仅列举了近轨运行条件时，车体垂向振动数据以及箱梁子板件中振动幅值较大的数据，如图12～15所示。

图12　车体竖向加速度时程曲线和频谱曲线Fig.12 Body vertical acceleration time history and spectral curve in measuring

图13　底板铅垂向加速度时程曲线和频谱曲线Fig.13 Bottom vertical acceleration time history and spectral curve in calculation

图14　腹板横向加速度时程曲线和频谱曲线Fig.14 Web lateral acceleration time history and spectral curve in calculation

图15　悬臂铅垂向加速度时程曲线和频谱曲线Fig.15 Cantilever vertical acceleration time history and spectral curve in calculation

将其与相应的实测数据对比，分析结果如下：

(1)车体垂向加速度幅值在0.2 m/s2左右，车体振动频率在1 Hz左右处达到峰值，而这正是车体竖向自振频率。

(2)底板垂向加速度峰值比实测均值小17.9%；计算主频率为58.9 Hz，与实测主频66 Hz相差10.7%。

(3)腹板横向加速度峰值比实测最小值小14.4%，比均值小16.2%；计算主频率为58.1 Hz，与实测相差12%。

(4)悬臂板铅垂向加速度与实测较为接近，只相差3.2%；计算主频段为30 Hz～80 Hz，与实测相近，且峰值频率为52.1 Hz；另外，悬臂板铅垂向振动计算频谱与实测频谱都有低频被激发出来的现象，在大约在7 Hz处有一个共同的峰值。

误差原因分析，轨道谱是造成计算误差的主要原因，其不平顺度直接影响轮轨接触力的准确性，进而对整个结果造成影响[8]。由于无法精确考虑实际轨道谱等级，导致本文计算结果与实测存在一定误差。可以看到，计算频率主要集中在50 Hz～200 Hz的低频段范围内，主要原因是计算模型未考虑钢轨，而实际车桥振动的高频成分也主要是由于轮轨与钢轨相互作用引起。由于工程应用时主要关注列车过桥引起振动的低频特性，本文计算结果可以满足要求。

由于车桥耦合受影响因素较多，难以精确模拟，误差要求15%～20%，即可满足工程应用要求。本文利用MATLAB计算程序得到的桥梁响应与实测值相比，不论是幅值还是频谱，误差均不超过20%，吻合较好，可以认为计算模型及程序正确。

4.2车速对车桥动力响应的影响

本文计算了列车车速在40 km/h、60 km/h和80 km/h共3个工况下车桥加速度响应。

表4中所列结果为6节车厢单方向最大加速度平均值，可以大致看出，车体垂向振动加速度幅值随着车速的增大而增大，且增速较快，说明垂向振动对车速较为敏感；相比之下，横向也有一定增大，但是不如垂向增幅明显。

表4　不同车速作用下车体振动加速度峰值 (m/s2)

图16　不同车速作用下箱梁板件加速度峰值Fig.16 Beam vibration acceleration peak under different speeds (unit:m/s2)

上述结果表明桥梁竖向振动比横向振动受车速影响更大，横向振动虽然受车速影响，但是振动幅值却维持在一个较小的范围内。

4.3列车运行平稳性评价

评价指标分别采用最大加速度指标和平稳性指标进行[12]，并将两种评价结果进行对比，如表5、6所示。

表5　不同车速时列车最大加速度指标评价(g)

注：最终评价值取6节车厢均方根值为代表值，同表6。

表6　不同车速时列车平稳性指标评价

对比两种评价方法，车体稳定性随着车速增大而逐渐降低，但最终的平稳性结论并不一致。基于最大加速度的评价只考虑振动幅值单一因素对平稳性的影响，导致最终评价等级完全不随车速变化，结论较为粗糙。而基于平稳性指标的评价标准考虑了整个行驶过程中各频率分量的贡献，是一个基于列车行驶全程的评价标准，因而更为合理。两种评价结果在车速达到最大值80 km/h时，平稳性均没有超出限值。

5　结　论

运用轮轨弹性接触关系，采用Newmark-β法，将31自由度空间车辆模型和宁波一号线连续梁模型在MATLAB中建模，并进行车桥耦合计算，并将计算结果与实测进行对比，本文在计算过程中得到以下结论：

(1)基于能量法得到的桥梁梁段单元模型可以用来进行车桥耦合振动分析研究；本文计算方法正确，可对新兴的城市轨道交通带来的振动响应进行初步预测。

(2)运行线路为直线时，车桥响应都有竖向振动比横向振动受车速影响更大的趋势；另外，列车过桥时，底板垂向加速度幅值最大，比腹板横向及悬臂板垂向振动加速度要显著的多，桥梁底板处结构噪声值得关注。

(3)基于平稳性标准的评价结果比基于最大振动加速度标准的评价结果更为合理，当车速达到最大值80 km/h时，平稳性没有超出限值。

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Dynamic responses of a vehicle-bridge coupled railway box girder system based on beam segment model

OUYANG Chong1,CHEN Yingbo2,XIE Weiping2,SUN Liangming2

(School of Civil Engineering,Wuhan University of Technology,Wuhan 430070,China)

Urban rail transportation may cause safety issues of bridge vibration and train running stability.Accurate,fast and better versatile calculation procedures for vehicle-bridge interaction will be very important of predict vibrations caused by new-emerging urban rail transit.The versatility of bridge models based on finite element software was not high,the bridge model established straightly with beam element could not consider the difference between lateral vibrations of bridge panels.Here,the beam segment finite element method was used to build a bridge model and establish a calculation program for the entire vehicle-bridge system in MATLAB; Furthermore,Ningbo Rail Transit Line 1 was taken as a numerical simulation object.The computed results were compared with the measured data.Finally,the influences of different train speeds on the train running stability were considered.The results showed that under the condition of straight-line running,the vertical vibration responses of the vehicle-bridge system are easier to be affected by train speed than its lateral vibration ones be; the vertical vibration acceleration of the bridge bottom plate is the maximum,its amplitude is much larger than that of the beam webs’ lateral vibration acceleration and that of the cantilever plate’s vertical vibration acceleration; the evaluation results based on the train stability index is more reasonable than those based on the acceleration index.

railway continuous box girder; beam segment finite element; vehicle-bridge interaction; stability

国家自然科学基金项目资助(51178365)

2015-06-15修改稿收到日期：2015-08-21

欧阳冲 男，硕士生，1989年生

谢伟平 男，教授，博士生导师，1965年生

E-mail:wpxie@sina.com

U448.21

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.015