张晓东



思想训练营/思想方法

二次根式的“怪现象”
——二次根式中常见的数学思想方法

张晓东

二次根式是苏科版数学八年级下册中的内容，一些同学在进行二次根式的运算中经常会碰到一些“怪招”，它实质是考查二次根式背后所蕴含的数学思想方法.在学习二次根式时，我们要注意认清这些“怪现象”，养成“见招拆招”的好习惯，真正提高数学解题能力、掌握数学思想方法、认识数学学习的本质及精髓.

一、借用整式和分式的性质及运算法则——类比转化思想

二次根式是在学习了整式、分式以后的第三种数式.在进行二次根式的运算时，我们往往要用到整式运算和分式运算中的某些性质及法则进行解决，这也是数学中把未知解的问题转化为在已有知识范围内可解问题的一种重要的思想方法——类比思想.

【分析】本题中所谓的化简就是对式子进行分母有理化，把分母上的二次根式化去.可以采用两种方法进行：

解法一：

解法二：

“类比转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题.在初中数学中，转化思想始终贯穿于整个学习过程.

二、计算时整体代入比单独代入简单——整体思想

【分析】本题是求代数式值的问题，常规方法是代入计算，但本题中所给两字母是互为有理化因式，它们的和、差、积这些整体的值是比较简单的数字，所以用整体代入要比单独代入的方法更好.

∴a+b=-2，ab=-1.

∴a3b+ab3=ab（a2+b2）=ab［（a+b）2-2ab］=-1×（4+2）=-6.

整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理.

三、二次根式计算与绝对值的联系——分类讨论思想

数学思想是人们对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼升华的数学观点，在人类认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学模型和解决数学问题的指导思想.如果同学们能充分掌握数学思想，那么不仅能提高学习数学、解决数学问题的能力，而且也能从题海中走出来，通过归纳总结真正掌握数学知识.

作者单位：（江苏省太仓市沙溪实验中学）