余晓娟（汉江师范学院　数学与财经系，湖北　十堰　442000）



欧拉公式的可视化论证及教学导议

余晓娟
（汉江师范学院数学与财经系，湖北十堰442000）

摘要：介绍了欧拉公式的两种可视化论证方法，并提出了相关的教学建议.

关键词：欧拉公式；复指数幂；教学

1　引言

为了得到复数的指数表示法，文献［1］中写到“引入熟知的欧拉公式……”，对于这一点的处理，教师应至少为自己提出以下三个问题：

（1）欧拉公式是怎么来的？

（2）有何方法可以论证欧拉公式？

（3）欧拉公式和复数的指数表示以及复指数函数的定义之间有何关系？在其他方面还有什么用途和意义？

这些问题的提出和解答对学生理解复指数幂的运算法则以及两大初等解析函数（复指数函数和复三角函数）的表达式和性质有着至关重要的作用.

1740年10月18日，瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler，1707-1783）在给伯努利的信中说是同一个微分方程的解，因此应该相等.［2］

1743年，欧拉发表了这个结果，即

2　欧拉公式的可视化论证

文献［2-3］从不同的角度给出了欧拉公式的几种证明，但学生理解起来不够直观，这里引入Tristan的“可视化”方法［4］，我们现在分别从质点运动和幂级数展开的角度来对欧拉公式加以论证.

2.1从质点运动的角度

这一论证基于以下前提：

（1）对eiθ没有认识，即不知道eiθ是复平面单位圆上一点.

（2）z0·z是指：对z的模拉伸|z0|倍，同时辐角旋转argz0个角度.

注：Tristan将这一变换称为“伸扭（amplitwist）”变换，amplitwist一词是从“amplification”和“twist”两个词语中各取一部分凑在一起.

想象一个质点沿C中一曲线L运动，t时刻的位置是一个复数Z（t）.则其在t时刻的瞬时速度如图1所示.

图1　质点运动轨迹

可见，该点将沿单位圆运行.运动过程中，保持|Z（t）=1|，t时刻时该点在单位圆上运行了一个距离t，也即t就是Z（t）=eit的辐角，这就是欧拉公式的几何表述.

2.2从幂级数展开的角度

这一论证基于以下前提：

（1）已知ex的幂级数表达式为

（2）为了使eiθ有意义，我们可认为［3］

图2　级数收敛过程

从图2可以看出，（2）式中各项的和最终收敛于复平面上的一点，但现在我们尚不知道，这一点就是eiθ.下面我们从另一个角度来说明这一点就是eiθ.由于

设f（θ）=cosθ+isinθ，下说明|f（θ）=1，且argf（θ）=θ，这是容易的.也即f（θ）是复平面上一个模为1，辐角为θ的复数，从而f（θ）=eiθ，而欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ也得到了验证.

2.3可视化方法的进一步探讨

当随便翻开一本现代数学教科书，我们面对的往往是抽象的证明和大量的符号及推理，这与我们关于实际世界的感官经验完全脱节，尽管书中正在研究的现象往往是借助与几何直觉或物理现象才发现的.这反映了一个事实，即几百年来数学的表述被过度抽象化和逻辑化了，而形象思维和几何直观则被放到了一个被忽视的角落.如同在一个鼓励阅读的国度却被禁止谈话和交流一样，这样做是具有讽刺意义的.其导致的直接后果是部分学生在面临抽象的符号和繁琐的论证时产生了畏难甚至恐惧的内心体验，渐渐地对学习数学失去了兴趣，更谈不上有创造性的发展了.［5］

可视化方法提供了一种全新的、看得见的论证方式来解释若干数学问题，比起抽象的符号和推理，其更接近问题的本质，也更易被学生所理解和接受.

著名数学家克莱因在《高观点下的初等数学》一书中特别推崇一种描述数学的发展和结构的方法，即强调数学概念的生成和发展，强调各分支的相互联系，强调逻辑推理后面的直觉和内涵，［6］这正是可视化方法的一种外在体现，即将数学的各分支相互融合，将数学与其他学科相融合，将逻辑推理和直觉推测去融合，去“体会”数学结论或原理内部的几何内涵或物理意义，从而更加多维度多层次的理解数学.

3　教学导议

鉴于以上思考，教师可将欧拉公式部分内容设计以下教学流程：

3.1渗透数学文化，重视知识的发生过程

在教材中第一次接触欧拉公式即介绍复数的三种表示形式时，就介绍欧拉公式的由来，数学家欧拉对近现代数学的贡献以及欧拉公式的特殊形式中展现的数学美等等.可采取安排课前预习，自己查阅相关资料，然后课上分享的形式调动学习者的积极性，引发学生积极思考.

3.2尊重认知规律，在解决问题中巩固新知

复指数幂对学生来说是全新的内容，学生接受起来有一个过程.有了上述的铺垫，学生渴望解决问题的愿望比较强烈，此时应尊重学生的遗忘规律，及时巩固复习，可进行复指数幂的运算、复数的三种表示形式间的转化、级数的展开式等方面的练习，以强化学生对这一知识点的掌握.

3.3密切联系旧知，为后续学习做好铺垫

学生在应用欧拉公式进行复指数幂的运算时，发现其运算法则和实指数幂的运算法则是一样的，教师此时可引导学生进行更深层次的思考，ex+yi即ez可否作为函数的形式存在，就像实指数函数ex一样？作为函数的ez又具备哪些性质呢？复指数函数的性质和实指数函数的性质又有哪些异同呢？有了对这些问题的思考，学生在不久后学习初等解析函数时就不至于显得突兀，理解指数函数和三角函数的表达式及其性质时就比较自然了.

参考文献：

〔1〕钟玉泉.复变函数论（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2004.10—64.

〔2〕李劲.欧拉公式eix=cosx+isinx的几种证明及其在高等数学中的应用［J］.河西学院学报，2008，24（5）：1-5.

〔3〕郑玉敏.浅谈欧拉公式的成因［J］.黑龙江生态工程职业学院学报，2011，24（5）：106-107.

〔4〕［美］Tristan Needham.复分析可视化方法［M］.北京：人民邮电出版社，2009.75—78.

〔5〕Yu Xiaojuan.Literature Review ofApplying Visual Methodto Understand Mathematics［J］.ICETA.2015.22 （5）：01063-p1-p5.

〔6〕［德］Felix Klein.高观点下的初等数学 （第二册）［M］.上海：复旦大学出版社，2008.

中图分类号：O174

文献标识码：A

文章编号：1673-260X（2016）06-0001-02

收稿日期：2016-02-25