白阿拉坦高娃（赤峰学院　数学与统计学院，内蒙古　赤峰　024000）



n次对称群Sn的不变子群的个数及其证明

白阿拉坦高娃
（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰024000）

摘要：使用不变子群的定义及n次对称群Sn的基本概念给出n=1，2，3，4时Sn的不变子群，并证明了当n≥5时Sn只有3个不变子群.

关键词：n次对称群Sn；不变子群；单群；交错群

n次对称群Sn是一个非常重要的置换群，因为任何一个有限群与Sn的某一个子群同构，这个子群有可能是不变子群，若是不变子群那么相应的可以找到商群被咱们利用，所以讨论有限群或n次对称群Sn时，Sn的不变子群必不可少的.文献［1～3］给出了S4有30个子群、S6有1455个子群、S7有11300个子群.本文使用不变子群的定义及n次对称群Sn的基本概念给出n=1，2，3，4时Sn的不变子群，并证明了当n≥5时Sn只有3个不变子群.

1　预备知识

定义1有限集的一一变换叫做一个置换，每一置换都可以表示为若干个不相连置换的乘积.

定义2一个包含n个元的集合的全体置换作成的群叫做n次对称群Sn，Sn的阶是n！.

定义3群G的一个子群N叫做一个不变子群，假如对于∀a∈G，都有

Na=aN

定义4n次对称群Sn的所有偶置换作成的群叫做交错群An，An的阶是

定义5只有平凡不变子群的群叫做单群.

定理1.1［4］群G的一个子群N是一个不变子群⇔aNa-1∈N（∀a∈G）⇔ana-1∈N（∀a∈G，∀n∈N）

定理1.2指数为2的子群一定是不变子群.

证明设N是群G的指数是2的子群.那么

（Ⅰ）当∀n∈N⊂G时，由子群的定义可知，

Na=N=aN

（Ⅱ）当∀a∉N但n∈G时，由子群N的指数是2可知，

G=Na∪N=aN∪N

即Na=aN

综上子群N是一个不变子群.

定理1.3任何一个群至少有两个不变子群｛e｝和群本身（这两个称为平凡不变子群）.

证明设G是一个群，那么只包含单位元e的集合是它的一个子群｛e｝，对于∀a∈G来说，

｛e｝a=｛ea｝=｛a｝=｛ae｝=a｛e｝

成立，那么｛e｝是G的一个不变子群.

对于∀a∈G来说，Ga=G=aG，即G是不变子群.

定理1.4设N是群G的子群H的一个子群，且N又是G的不变子群，则N是H的一个不变子群.

证明对于∀h∈H⊂G，∀n∈G，

因为N又是G的不变子群，所以∀a⊂G来说，∀ana-1∈N

那么

∀hnh-1∈N

即N是H的一个不变子群.

定理1.5［5］若n≥5，则An是单群.

2　主要结果——关于Sn的所有不变子群的个数及确定

2.1讨论S1的不变子群

S1=｛（1）｝，S2=｛（1），（12）｝=（12））

都是循环群，所以也是一个交换群，那么它们的子群都是不变子群，再由定理1.2可知

命题2.1S1只有一个不变子群：S1本身；S2只有两个不变子群，即平凡子群.

2.2讨论S3的不变子群

S3=｛（1），（12），（13），（23），（123），（132）｝有6个子群，分别是：

其中，子群

在S3里的指数是，那么它是S3的一个不变子群（由定理1.1可知），但子群（12）、（13）、（23）不是不变子群，因为

综上可得：

命题2.23次对称群S3存在且只存在3个不变子群；其中，除了平凡不变子群之外只有一个不变子群A3=｛（1），（123），（132）｝.

2.3讨论S4的不变子群

存在且只存在30个子群；其中，除去两个平凡子群之外，共有9个二阶循环子群，4个三阶循环子群，3个四阶循环子群Z4，4个Klein4元群，4个S3（在同构意义之下），3个8阶子群以及1个A4（可见文献［3］）.下面利用定理1.1，讨论的不变子群：

其中，子群

在S4里的指数是由定理1.2可知A4是S4的一个不变子群.

S4的一个Klein4元子群H=｛（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）｝也是S4的一个不变子群.因为对于∀τ∈S4，∀λ=（i1i2）（i3i4）∈H来说，

综上所述

命题2.34次对称群S4存在且只存在4个不变子群；其中，除了平凡不变子群之外，只有2个不变子群，即｛（1），

2.4讨论Sn（n≥5）的不变子群

命题2.4n次对称群Sn存在且只存在3个不变子群；其中，除了平凡不变子群之外，有唯一的非平凡不变子群An.

证明 （i）由定理1.2，显然子群An是Sn的一个不变子群.

（ii）若N是Sn的一个不变子群，且N≠An，令H=N∩An，因为An是Sn的不变子群，再由不变子群的交集也是不变子群可得，H也Sn的是不变子群，于是由定理1.4可知H是An的不变子群.由定理1.5，有H=｛（1）｝或H=An.

①若H=An，则N⊃H=An，即N=An或N=Sn；

于若H=｛（1）｝，则N中除单位元以外没有偶置换，下面证明N=｛（1）｝，首先N中元素的阶都小于3.因为若τ∈N，τ≠（1），τ的阶大于2，则τ≠（1），a2是偶置换，矛盾，因此∀τ∈N，有τ2=（1）；假设τ，λ是N中任意的奇置换，则τλ是偶置换，因此τλ=（1），于是τλ=τ2=（1）⇒τ=λ，由此N中最多只包含一个奇置换；若N=｛（1），τ｝是Sn的不变子群，则∀λ∈Sn，有τλ=λτ这是不可能的，因为设τ（i）=j，1≤i≤n，取λ∈Sn满足λ （i），λ（j）=k≠j，于是λτ（i）=k≠j=τλ（i）.即∃λ∈Sn，使得τλ≠λτ，因此N=｛（1）｝.综上，N=｛（1）｝、N=An或N=Sn.

参考文献：

〔1〕黄本文，廖小军，吕云翔，王秀花.计算7次对称群S7的所有子群［J］.武汉大学学报2005（2）.

〔2〕黄本文.计算6次对称群S6的所有子群［J］.高校应用数学学报A辑2001，16（1）：31～35.

〔3〕孙自行，崔方达.4次对称群S4的子群个数及其证明.阜阳师范学院学报（自然科学版），2005（12）.

〔4〕张禾瑞.近世代数基础（修订本）［M］.北京：高等教育出版社，1978.

〔5〕聂灵沼，丁石孙.代数学引论［M］.北京：高等教育出版社，2000.

〔6〕胡作玄，邓明立.20世纪数学思想［M］.济南：山东教育出版社，2001.

中图分类号：O153

文献标识码：A

文章编号：1673-260X（2016）06-0006-02

收稿日期：2016-03-22