李小兵（福建南安延平中学　福建南安　362300）



对初中数学实践操作性题型的探究

李小兵
（福建南安延平中学福建南安362300）

摘要：素质教育越来越重视对学生数学思考能力和解决问题能力的发展性评价，要使学生真正做到学以致用，学有所用。

关键词：素质教育 实践操作性试题 思考能力 解题能力

实践操作性试题逐渐成为中考命题的热点，特别是近些年各地数学中考的压轴题都是以这类题型为主。根据泉州市的《考试说明》，我们更应该关注学生学习数学“双基”的结果与过程，重视对学生数学思考能力和解决问题能力的发展性评价，我市中考数学命题也更多地立足于“能力立意”，体现“过程的教育”理念，倡导在“过程”中培养学生创新精神和应用意识，回归本源、强化课堂、培养思维。

题目来源于：南安市2013—2014学年度上学期初中期末教学质量抽查初三数学试题，第26题，作为一个压轴题，本题不仅考查了数形结合思想，还考查了转化化归思想，考查了运动变化思想、分类讨论思想等。首先，本题有着很明确的操作程序，工具简单，因此，如果学生在解题的过程中能拿相应的工具进行操作，则会有不错的效果及收获。

本题的第一步是填写PC与PD两线段的大小关系（如图1），答案并不是所有学生都能在看了一眼之后就能填定出来的。对于学习好的学生来说，第一步可能不会有什么问题的，但底子差的学生就很会感觉到这题是很有难度的，所以寻找合适的解决办法就相当关键了。有个别学生跟我说，我是用尺子量了，看着它们是差不多长的，所以填了“等于号”了。对于此情况，我给予肯定的回答，思路是正确的。相对来说，在这些考试中，图形准确性更高些，有时候可以通过最简单的方式去得到一个推测的结果，这也是解决问题的一个方向。我们再围绕着这个结果展开思考，就可以找到解决问题的路了。数学就是要鼓励学生学会进行假设的，再进行证明。

要证明两线段的相等，就寻找解决这个问题的方法。在证明线段相等的方法中，常用的方法主要有：1、这两线段是全等三角形的对应边，2、是等腰三角形的两腰（等角对等边），3、它们都等于第三条线段（转移转换），4、它们表示角平分线到角两边的距离，5、它们表示线段垂直平分线到线段两端的距离。而这些方法中以方法1更为常见，也相对更容易理解。学生在寻找解决方法的同时，也要分析着题中所包含的条件，以寻找合适的解决方案。当题目可以用多个可选解决方案时应该先用自己熟悉的方式方法进行思考。

综合分析题目的已知条件，可以提供的只有一个直角的角平分线，所以，在以上的几个方法中，证明三角形的全等可以说是一个不错的选择，可三角形在哪儿呢？在解决问题的过程中，有时添辅助线是必不可少的。构造出对我们解决问题有帮助的三角形来是很有必须的。构造的要点：这两个三角形要有些元素是相等的，如边或角，同时还应该让我们需要证明相等的两线段是作为对应边出现的。因此，学生要仔细分析题中可以用的条件，即明说或是暗示的相等条件，并找出这些条件对于我们的帮助是什么。本题中出现的有关于相等的条件只有一个，那就是角平分线，作用是什么呢？1、角被平分，产生两角相等，2、角平线上的点到两边的距离相等。本题的证明就是利用角平分线上的点到角两边距离相等这一定理构造出两个三角形，从P点作角两边的垂线段，从而产生了两个直角三角形，又让PC、PD作为对应边出现，这离我们证明三角形全等所需条件就差不多了，只要再稍加寻找相应条件便可以解决。

第2题的难度相对较大，这是个动点问题，只要能紧扣不变量，动中取静，找出哪些量或关系始终不变的，便能很好地解决问题了。这个也是解决所有动点问题的关键，如果思路老跟着动点到处跑，那肯定是没办法解决的。同时还要善于使用前题所采用的方法或结论。

我是这样讲解此题的，让学生按题目的要求，操作三角板，找出可能出现的结果。其中，特别注意加点的字，即 “直线”OA。因为直线与射线的差别，结果的数量可能就产生变化了。操作过程中即可直观地发现，符合情况的结果可能有两个，第一个为D点在O点的右边，第二个为D点在O点的左边，结合这两个结果画出图形并进行详细分析。

第一种情况：D点在O点的右边（如图2），同时以P，C，E为顶点的三角形与△OCD相似时，即让△PCE∽△ODC。由此可得，OC ＝OE＝1，则所求的OP即可看成△PCE的斜边上的中线，故CE＝2OP，OP＝1。

第二种情况：D点在O点的左边，即PD与边OB的反向延长线相交（如图3）。

此情况对于学生来说较难入手，OP似乎不容易算出来，所以，此时应该有个清楚的思路，将OP转移出来，用一条更容易计算的线段来进行代替，或是找出有相关的线段来代替。

如图3。过P作PH⊥OA，PN⊥OB，目的是构造出全等的三角形，以达到对线段的转移的目的。

由△PCE与△OCD相似，可以推导得到∠PCE=∠OCD；

Rt△PHC和Rt△PND中，有∠PCE=∠PDN（等角的余角相等可得），PH=PN，

所以Rt△PHC≌Rt△PND（A.A.S.），可得：PC＝PD，CH＝DN。

由此可得：∠PCO=∠DCO=∠PDO =22.5°

又∠BOM=∠ODP+∠OPD=45°

∴∠ODP=∠OPD=22.5°

∴OP=OD，

目的：要计算的OP就转化到直角三角形的边或是边的一个组成部分，CH＝CO－HO，DN＝DO+ON＝OP+ON，接下来只需设OP=x ，便可解出答案来。

在题目中寻找多解的信息图形在运动变化，可能满足条件的情形不止一种，也就是通常所说的两解或多解，如何避免漏解也是一个令考生头痛的问题，让他们动起手来，他们在动的过程中进行思考分析，即可寻求相应的结果，做到不重不漏。

本题第2小题的难度比较大。出此题的本意应该是要用来区分尖子生与一般的优秀生，但就结果来看，学生思考此题的过程中是遇到了不少困难。动点问题的思考方法应该让学生在学习的过程中自主思考，主要是注重思维的锻炼，否则，再遇到动点问题，学生依旧是毫无头绪。

本题为初三上学期的期末考试内容，学生还未接触圆的相关知识，否则学生还可以通过圆的弧弦对应关系等知识解决，甚至能更简单的，学生的思考上也会有更多的选择和方向。

参考文献

［1］封冰．初中数学素质教育下的“五主体思想”［J］．中学教学参考， 2010， 第16期:64-64．