赵宇, 王国玉, 黄彪, 王复峰

(北京理工大学 流体机械工程研究所，北京 100081)



基于代理模型方法的串列泵优化设计

赵宇, 王国玉, 黄彪, 王复峰

(北京理工大学 流体机械工程研究所，北京 100081)

摘要：针对叶轮机械传统优化设计周期长、优化效率低等不足，提出了一种基于代理模型的优化设计方法，并应用于串列泵的优化设计，分析了关键设计参数对串列泵性能的影响。选择首、次级叶轮叶片安放角和相位角作为优化参数，选择效率和最小轴向截面平均压力系数作为优化设计目标函数，用来表示串列泵的外特性和空化特性。采用不同的方法建立代理模型，并采用敏感度分析方法和Pareto front方法进行参数影响分析和最优点的选取。采用数值计算的方法对优化后的串列泵外特性和空化特性进行验证，得到结论如下：提出的方法可以较好地应用于串列泵的优化设计，优化结果表明串列泵设计流量附近的效率和空化性能均得到提升。首、次级叶轮相位角对串列泵性能影响较小；首、次级叶轮叶片安放角对串列泵效率的敏感度之比和设计的载荷之比相同，首级叶轮叶片安放角是串列泵的空化特性的主要影响因素。

关键词：轴流泵；串列叶栅；系统优化设计；代理模型方法；空化特性

串列叶栅是指多排叶栅直接相连的布置方式，具有灵活的气动特性，目前在航空发动机[1-3]和水下螺旋桨推进中[4-5]已经得到应用。串列泵是一种采用串列叶栅布置的泵，和普通的双级泵相比，由于减少一级导叶而显著减小泵级的轴向尺寸和质量，从而使得串列泵具有结构紧凑和功率密度高的特点；又由于两级动叶轮直接串联，前后级叶轮流动的相互作用会导致前后级叶轮流场变化，因此串列泵具有特殊的能量特性[6-7]。对于传统泵来说，效率和空化性能不可兼得[8]，而串列泵通过调整前后叶栅的载荷分配可以兼顾效率和空化性能[9-10]。尽管串列泵具有上述诸多优点，但与传统泵相比，其优化设计过程需要考虑更多的参数，因此更为复杂。王立祥等[10-11]采用实验方法对串列泵进行优化设计，分步顺序处理不同设计参数对整体性能的影响，该优化设计过程具有周期长，并且无法得到各设计参数的影响权重等缺点。

系统优化方法和敏感度分析方法的发展推动了准确高效的现代设计方法的进步，Shyy等[13]提出了一种基于代理模型优化设计方法，并较好地应用于解决航空动力学以及火箭燃料推进问题。和传统的优化方法相比，基于代理模型的系统优化设计方法具有以下优点[14]：可以同时处理由多种不同方法获得的数据，例如实验结果或仿真结果；可以同时考虑多个设计变量对结果的影响，不用对每个变量进行单独分析；可以处理存在多个最优点的优化问题；提供多种准则的优化过程而且可以有效过滤实验或仿真结果中固有的噪声。基于代理模型的优化设计方法在航空动力学中已经得到广泛的应用。John S等[15]应用系统优化方法对离心泵叶片的优化设计，结果表明系统优化方法可以快速收敛并且优化结果良好。 Zhang等[16]采用多目标优化方法设计轴流式多相流泵，结果表明泵级压增上升10%的同时效率可以提升约3%。 J. Fan等[17]采用基于代理模型的方法对射流泵进行优化设计，结果表明射流泵的效率增加4%的同时输入功率可以减小20%以上。此外，J H Kim[18]，Mustafa Gölcü等[19]也分别采用系统优化设计方法对水力机械进行优化设计。

本文采用了基于代理模型的系统优化设计方法，对一串列泵进行优化设计，采用计算流体动力学方法(computational fluid dynamics, CFD)来获取数据，建立了代理模型，对设计参数进行优化，并进一步分析了首、次级叶轮进口安放角度和相位角等关键设计参数对串列泵性能参数的影响。

1系统优化设计方法

系统优化设计方法流程主要包含实验设计、数值实验、代理模型的建立和验证等过程。

1.1实验点设计

在实验点设计中，通过设计方法选定实验点。然后采用数值计算的方法获取每个实验点对应的数据，进而建立代理模型。

在建立代理模型之前，目标函数和设计变量之间的关系是未知的，一般采用较为简单的随机分布方法。如果考虑到数值实验的计算成本，实验点的个数需要被控制，可以采用更复杂的实验点分布方法，例如拉丁超立方分布方法(Latin hypercube sampling, LHS)，该方法是一种受约束的实验点设计方法,首先将设计空间的每个坐标轴区间等分成互不重叠的子区间，然后在每个因素的每个子区间内只进行一次实验点分布[25]。在本次研究中，在基于LHS方法的同时采用面心分布方法(face-centered composite design, FCCD)[25]设计实验点。FCCD方法在设计空间的面心和顶点位置布置实验点，用来保证设计空间边界附近实验点的数目。

1.2代理模型

对于不同的问题，应当采用不同的方法建立代理模型并进行比较，从而得到最好的方法。本文分别采用多项式法(polynomial response surface, PRS)[26]，克里金法(Kriging, KRG)[27]和径向神经网络法(radial-based neural network, RBNN)[13]建立代理模型，并比较不同代理模型预测结果的差异。

1.2.1多项式响应面法

在多项式方法中，假设目标函数是若干个设计变量多项式的线性组合：

(1)

式中：βi是系数矩阵。对于大多数工程问题，二阶多项式拟合精度均可达到工程需求，同时考虑计算成本，本文中采用二阶多项式方法。

1.2.2克里金法

克里金法是全局模型和局部偏差的组合，该方法假设局部偏差只与考察对象位置之间的距离有关：

(2)

(3)

式中：Ndv表示设计变量的维数，σ是实验点响应值的标准差，φk是衡量k方向上相关性的参数。

1.2.3径向神经网络法

在径向基函数神经网络法中，假设网络为单输出，它是一种三层(输入层，隐含层，输出层)前向结构网络，隐含层有一组单元节点，每一个节点均有一个称作中心的参数矢量，每一个节点计算网络输入矢量与中心参数矢量间的欧氏距离，而后通过一非线性函数映射，将结果传递输出层；而输出层对隐含层各节点的输出函数值作线性组合。

目标函数可以表示为

(4)

(5)

式中：‖si-x‖是权重函数和输入量之间的矢量距离，α是归一化参数。

1.3模型验证

为了选取合适的模型来进行问题分析，需要建立统一的误差分析方法来评价模型的精度。常见的模型验证方法有分割验证，交叉验证，自助验证法等，本文采用的是交叉验证[28]。

交叉验证建立在分割验证的基础上将实验数据分成k个子集(k阶)，然后选定一组实验数据，用其他的所有实验点来建立代理模型，利用该组实验数据进行验证，然后选择另一组实验，重复建模-验证过程。该方法需要建立k次代理模型，然后对k次模型验证的结果进行平均，从而得到交叉验证的最终结果。交叉验证方法的优点是几乎能提供无偏的误差估计，而且由于每个点都被使用一次来进行验证，所以交叉验证能大大减小预测误差的方差。本文采用一阶交叉验证方法，其衡量参数PRESS(predictionerrorsumofsquares)：

(6)

1.4敏感度分析

采用代理模型获取自变量和目标函数的关系之后，可以进行敏感度分析，敏感度分析可以直观体现自变量和目标函数之间的关系，在各工程领域获得广泛的应用。本文采用的敏感度分析方法是Sobol方法[29]。

(7)

各项的平方在标准空间的积分为对应的变化量：

(8)

定义整体变化量如下：

(9)

从而可以定义对于变量xi的局部敏感度如下：

(10)

全局敏感度如下：

(11)

2基于代理模型的串列泵优化设计

2.1问题建立

本文研究对象是一个基于奇点分布法设计的串列泵[9]，设计流量为0.461m3/s，设计扬程为13.8m(首级叶轮设计扬程为5.5m，次级叶轮设计扬程为8.3m)，设计效率为83.7%。表1给出了串列泵首、次级叶轮的基本参数。串列泵三维几何模型如图1所示。

表1　串列泵首、次级叶轮基本参数

图1　串列泵三维几何模型Fig. 1　3D geometry model of tandem pump

与普通轴流泵相比，串列式轴流泵的性能影响参数增多，其中较为显著的是叶片的安放角，同时考虑串列泵的两级叶轮直接连接，首、次级叶片的相对周向位置可能会对串列泵的性能产生影响，所以选择首、次级叶轮安放角，首、次级叶轮相位角作为设计变量。图2分别给出了3个设计变量的示意图。在图2(a)、(b)中，三排叶栅分别表示首次级叶轮和导叶；在图2(c)中导叶段被省略，两排叶栅分别表示首次级叶轮。表2列出了本次优化过程的设计变量及其变化范围。

图2　设计变量示意图Fig. 2　Schematic concept of design variables

设计变量最小值/(°)初始值/(°)最大值/(°)首级叶轮安放角-50+5次级叶轮安放角-50+5相位角-300+30

选择效率作为串列泵能量性能的衡量参数。对于空化性能，考虑到首级叶轮内部首先发生空化，选择首级叶轮内部最小轴向截面平均压力作为空化性能衡量参数，据此，定义最小轴向截面平均压力系数如下

(12)

式中：pav,min是最小轴向截面平均压力；p∞是环境压力；U∞是串列泵进口轴向速度。在本文的优化设计中，原始模型的效率和最小轴面平均压力系数的取值分别为83.7%、-1.43。

2.2实验设计

图3　设计空间中实验点分布Fig. 3　Experimental points in design space

考虑实验成本，在设计实验过程中，采用拉丁超立方分布和面心分布相结合的方法共选取45个实验点，图3给出了设计空间中实验点的分布情况。

2.3数值实验

本次优化设计采用数值计算方法获得实验点的数据，即串列泵的效率和全沾湿条件下首级叶轮内部最小截面平均压力系数，数值方法如下。

2.3.1控制方程

连续性方程和动量方程如下

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：αnuc是空化核子的体积分数，取值为5×10-4；RB是空泡直径，取值为1×10-6m；pv是饱和蒸汽压，取值为3 169 Pa；Cdest、Cprod分别为凝结和蒸发系数，取值为50和 0.01。

2.3.2湍流模型

对于全沾湿流动和空化流动，均采用滤波器湍流模型[30]封闭上述方程组，在滤波器湍流模型中，采用和标准k-ε湍流模型相一致的k方程和ε方程采用的标准方程形式。其湍流粘性μt定义如下

(18)

式中：F为滤波函数，由滤波尺寸λ和湍流特征长度的比值决定：

(19)

在标准k-ε模型中加入滤波函数后，对尺度小于滤波器尺寸的湍流，采用标准k-ε模型计算来求解，对尺度大于滤波器尺寸的湍流结构，采用直接计算方法来求解。本文计算采用ANSYS-CFX 12.1商业计算软件，通过二次开发将上述的FBM模型引入，滤波尺寸选择最小网格尺寸的1.5倍。

2.3.3网格和边界条件设置

采用全结构化网格划分串列泵内部流场。为了提高网格质量，将整个计算域分成4个部分，分别为入口段、首级叶轮、次级叶轮和导叶段。不同部分采用不同的网格划分方法：入口段采用商业软件ANSYS-ICEM 12.1商业软件划分流场网格，首级叶轮、次级叶轮和导叶段采用商业软件ANSYS-TurboGrid 12.1划分流场网格，导水锥和叶片周围采用O型网格；近壁面进行加密，保证y+=ρlΔyuτ/μl≈1(其中Δy为距离壁面最近一层网格厚度，uτ为壁面摩擦速度)。轮缘间隙内包含10个节点。

为了验证网格对结果的影响，对不同节点数的网格进行计算。图4给出了网格节点数目和串列泵能量参数之间的关系，从图中可以看出，效率和扬程系数在网格节点数为2.21×106后基本不变。综合考虑计算的精度和经济性，最终确定的计算网格总节点数为2.21×106。图中，扬程系数和效率定义为

(20)

(21)

式中：H为串列泵扬程，P为串列泵轴功率。

图4　网格无关性验证Fig. 4　Effect of grid refinement

计算域的进口采用总压进口条件；出口设置质量流量出口条件；固壁采用无滑移边界条件；壁面函数为标准壁面函数；动叶轮和静叶轮交接面类型选择Stage界面，动叶轮之间的交接面类型选择Frozen Rotor界面。通过监测各参量的残差精度来确定计算的收敛性，收敛标准是10-4。对于空化流动计算，通过调节不同的进口压力获得不同的装置有效空化余量取值；出口设置质量流量条件。计算采用相同的网格和边界条件，以全沾湿工况计算结果为初始值，进行迭代计算，通过监测各参量的残差精度来确定计算的收敛性，收敛标准是10-4。

2.3.4计算方法验证

利用上述计算方法针对一个比转速为ns=700的单级轴流泵的外特性和设计流量下的空化特性进行预测。图5给出了计算结果和实验结果的对比情况。从图中可以看出，本文所采用的计算方法可以很好地预测该轴流泵的外特性和空化特性。

(a)外特性　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(b)空化特性图5　单级泵外特性和空化特性曲线Fig. 5　Performances of a single stage pump

2.4模型建立及验证

通过数值计算可以获得不同实验点即不同模型泵的效率和首级叶轮内部最小轴截面平均压力系数。根据计算所得的目标函数值，分别采用二阶多项式法，克里金法和径向神经网络法建立代理模型。 图6给出了3种代理模型的三维等值面分布图，3个坐标轴分别表示3个设计变量，不同颜色对应于不同的目标函数取值。

从图中可以看到，采用二阶多项式法和克里金法建立的代理模型预测结果相近，而采用径向神经网络法建立的代理模型和前两种方法相差较大。

采用交叉验证方法对3种模型进行评价，结果如表3所示。从表中可以看出三种模型的误差值均超过10%，所以有必要进一步修正设计空间，重新设计实验点分布。但可以进行初步分析，从表中可以看出误差相对较小的是二阶多项式方法建立的代理模型，所以初步分析基于二阶多项式代理模型结果。

(b)克里金法(KRG)

(c)径向神经网络法(RBNN)图6　不同代理模型预测目标函数三维等值面分布Fig. 6　Predictions of 3D contours of objective functions using different surrogate models

PRSKRGRBNN效率/%10.8812.5358.30最小平均压力系数/%43.8343.2557.36

2.5结果分析与讨论

图7给出了基于二阶多项式模型的敏感度分析结果。图7(a)是3个自变量对于最小截面平均压力系数的敏感度分析结果，图7(b)是3个自变量对于效率的敏感度分析结果。图中空心框表示局部敏感度，实心框表示全局敏感度。结果表明，首、次级叶轮安放角对效率和最小平均压力系数影响较大，而相位角的影响很小，和前两者相比可以忽略。在修正设计空间时，可以去掉相位角，从而降低设计空间的维数，使二次优化过程得到简化。

图8给出了基于二阶多项式代理模型计算结果的最优点选取情况，目标函数空间中横坐标为最小截面平均压力系数，纵坐标为效率。综合考虑效率和最小截面平均压力系数2种因素，同时考虑到代理模型预测精度较低，所以选择目标函数空间里的修正空间范围较大，位置如图中线框表示，即最优点应当落在该范围内。

图7　敏感度分析Fig. 7　Global sensitivity analysis

图8　目标空间代理模型预测结果Fig. 8　Predictions in objective space

将上述修正空间映射到设计空间内，可以得到最优点对应的各个设计变量的取值范围如下(已忽略相位角)：首级叶轮安放角在-1～-8°，次级叶轮安放角在-1～-6°。基于此，在此范围内重新建立设计空间，进行二次优化。

2.6二次优化

二次优化的目标函数不变，由于相位角对串列泵性能影响较小，所以在二次优化时忽略。表4给出了二次优化的设计变量。

表4　二次优化设计变量

二次优化设计实验过程中，采用拉丁超立方分布方法在修正的设计空间内选取20个实验点。采用数值计算方法获取实验点数据，然后分别采用二阶多项式法，克里金法和径向神经网络法建立代理模型。

图9给出了3种代理模型预测结果的三维示意图，图中2个水平面内的坐标轴分别表示二次优化的2个设计变量，竖直坐标轴表示目标函数，不同颜色表示不同的目标函数取值。对3种模型进行验证，结果如表5所示。从表中可以看出二次优化的代理模型误差大大减小，表明建立的代理模型具有足够的精度。从表中还可以看出，二阶多项式方法建立的代理模型误差最小，基于该代理模型进行最优点的选取以及进一步的分析。

表5二次代理模型验证结果

Table 5PRESS of surrogate models of the second optimization

PRSKRGRBNN效率/%0.342.011.59最小平均压力系数/%0.170.400.24

基于二阶多项式方法建立的代理模型对各设计参数进行敏感度分析，图10分别给出了2个自变量对于最小截面平均压力系数和效率的敏感度分析结果。

从图10(a)中可以看出首次级叶轮叶片安放角对最小截面平均压力系数的敏感度较高，表明首级叶轮叶片安放角和串列泵的空化性能关系密切，2个自变量的全局敏感度均大于局部敏感度，表明2个设计参数存在相互影响，表明次级叶轮叶片安放角也会对串列泵的空化性能产生影响，但影响力较小。从图10(b)中可以看出，首、次级叶轮叶片安放角均会对效率产生影响，但次级叶轮叶片安放角占据主导地位，首、次级叶轮叶片安放角对效率的敏感度之比约为4∶6，与串列泵的设计参数：首、次级载荷之比相同。下面基于二阶多项式模型的预测结果寻找最优工况。

(a)二阶多项式法(PRS)

(b)克里金法(KRG)

(c)径向神经网络法(RBNN)图9　二次优化不同代理模型预测的三维响应面Fig. 9　Predictions of 3D response surfaces using different surrogate models in the second optimization

图10　二次优化敏感度分析Fig. 10　Global sensitivity analysis of the second optimization

图11给出了目标函数空间内的代理模型预测的目标函数点分布情况。颜色加深的点对应于效率最高或者最小截面压力系数最大的工况，这些工况点形成帕氏最优状态(Pareto front)[32]，从帕氏最优状态可以看到，效率和最小压力系数是相互矛盾的性能参数(trade-off)，即对于模型泵来说，如果效率较高，则最小截面压力系数较小，即空化性能较差，如果最小压力系数较高，即保证了较好的空化性能，则效率不能达到较高水平。

综合考虑2种因素，选择最优点如图11所示。映射到设计空间中可以找到最优点的设计变量取值为：首级叶轮-3.7°，次级叶轮叶片安放角为-2°。采用数值方法对优化结果进行初步验证可以得到效率和对小压力系数分别为85.5%和-1.31。

图11　目标函数空间内的预测结果和帕氏最优边界Fig. 11　Predictions and Pareto front in objective space

2.7优化结果验证

为了对优化结果进行进一步验证，图12给出了采用数值计算方法得到的优化前和优化后的串列泵外特性和空化特性曲线。从图中可以看出，优化设计后的串列泵设计点附近的效率有所提升，同时设计点的空化特性得到改善。表明该优化方法可以很好地应用于串列泵的优化设计。

图13给出了优化前后在设计流量，无空化条件下的串列泵首次级叶轮子午面平均压力云图。从图中可以看出，首级叶轮经过优化后，进口处的低压区域面积有所减小，表明在设计流量下，进口处流动损失减小，空化性能得到改善。次级叶轮经过优化后，沿叶高方向压力梯度减小，表明优化后的叶轮可以抑制次级叶轮内部的二次流动，减小流动损失。

(a)外特性　　　　　　　　　　　　　　　(b)空化特性(设计流量)图12　优化模型和原模型对比Fig. 12　Comparisons of prototype and optimum pump

图13　优化前后串列泵子午面压力图对比(设计流量)Fig. 13　Average static pressure contour of meridian interface in front and rear impellers at design flow rate

3结论

本文基于代理模型对串列泵进行优化设计，分析了首、次级叶轮进口安放角度和相位角对串列泵性能的影响。采用敏感度分析方法和Pareto front方法进行参数影响分析和最优点的选取，并对优化后的串列泵外特性和空化特性进行验证，得到的主要结论如下：

1) 基于代理模型的系统优化设计方法可以较好地应用于串列泵的优化设计；优化结果可以提升串列泵设计流量附近的效率和空化性能。

2) 首、次级叶轮相位角对串列泵性能影响较小；首、次级叶轮叶片安放角对串列泵效率的局部敏感度之比约为4∶6，和设计的载荷之比相同，首级叶轮叶片安放角是串列泵的空化特性的主要影响因素。

参考文献：

[1]SAHA U K, ROY B. Experimental investigations on tandem compressor cascade performance at low speeds[J]. Experimental thermal and fluid science, 1997, 14(3): 263-276.

[2]FEINDT E G. Exact calculation of the flow of a staggered tandem cascade with moving second blade row[J]. Archive of applied mechanics, 2001, 71(9): 589-600.

[3]QIU X, DANG T. 3D inverse method for turbomachine blading with splitter blades[C]//International Gas Turbine and Aeroengine Congress and Exhibition. ASME paper 2000-GT-0526, 2000: 8-11.

[4]LIU Pengfei, ISLAM M, VEITCH B. Unsteady hydromechanics of a steering podded propeller unit[J]. Ocean engineering, 2009, 36(12/13): 1003-1014.

[5]孙琴, 顾蕴德, 郑淑珍. 串列螺旋桨及其设计方法[M]. 北京: 人民交通出版社, 1985.

SUN Qin, GU Yunde, ZHENG Shuzhen. Tandem propeller and design method[M]. Beijing: China Communication Press, 1985.

[6]王国玉, 陈荣鑫, 余志毅, 等. 串列式双级轴流泵性能的数值模拟[J]. 机械工程学报, 2007, 43(12): 39-45.

WANG Guoyu, CHEN Rongxin, YU Zhiyi, et al. Numerical simulation of the performance of tandem axial flow pump[J]. Journal of mechanical engineering, 2007, 43(12): 39-45.

[7]赵宇, 王国玉, 白泽宇, 等. 串列式轴流泵首次级叶轮能量特性及相互作用分析[J]. 排灌机械工程学报, 2013, 31(3): 210-214.

ZHAO Yu, WANG Guoyu, BAI Zeyu, et al. Characteristics and interaction of front and rear impellers of axial flow tandem pump[J]. Journal of drainage and irrigation machinery engineering, 2013, 31(3): 210-214.

[8]张克危. 流体机械原理[M]. 北京: 机械工业出版社, 2000.

ZHANG Kewei. Theory of hydraulic machine[M]. Beijing: China Machine Press, 2000.

[9]赵宇, 王国玉, 吴钦, 等. 基于计算流体力学的串列轴流泵空化性能分析[J]. 机械工程学报, 2014, 50(6): 171-176, 184.

ZHAO Yu, WANG Guoyu, WU Qin, et al. Analysis of cavitation performances of an axial flow tandem pump based on computational fluid dynamics[J]. Journal of mechanical engineering, 2014, 50(6): 171-176, 184.

[10]王立祥, 傅健. 关于喷水推进串列式轴流泵叶轮参数选择与计算的探讨[J]. 船舶, 2003(6): 47-51.

WANG Lixiang, FU Jian. Parameter selection and calculation of tandem axial flow waterjet pump impeller[J]. Ship & boat, 2003(6): 47-51.

[11]傅健. 喷水推进串列式轴流泵水力性能的探索与研究[D]. 上海: 中国舰船研究院, 2004.

FU Jian. A Study on hydrodynamic performance of tandem axial flow waterjet pump[D]. Shanghai: Marine Design and Research Institute of China, 2004.

[12]YU Zhiyi, LIU Shuyan, WANG Guoyu. Numerical investigation of the performance of an axial-flow pump with tandem blades[J]. Journal of Beijing institute of technology, 2007, 16(4): 404-408.

[13]SHYY W, PAPILA N, VAIDYANATHAN R, et al. Global design optimization for aerodynamics and rocket propulsion components[J]. Progress in aerospace sciences, 2001, 37(1): 59-118.

[14]QUEIPO N V, HAFTKA R T, SHYY W, et al. Surrogate-based analysis and optimization[J]. Progress in aerospace sciences, 2005, 41(1): 1-28.

[15]BOOKER A J, DENNIS J E Jr, FRANK P D, et al. Optimization using surrogate objectives on a helicopter test example[M]//BORGGAARD J, BURNS J, CLIFF E, et al. eds. Computational Methods for Optimal Design and Control. Boston: Birkhuser Boston, 1998: 49-58.

[16]RAI M M, MADAVAN N K, HUBER F W. Improving the unsteady aerodynamic performance of transonic turbines using neural networks[C]//Proceedings of the 38th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. Reno, NV, 2000: 2000-0169.

[17]MADSEN J I, SHYY W, HAFTKA R T. Response surface techniques for diffuser shape optimization[J]. AIAA journal, 2000, 38(9): 1512-1518.

[18]PAPILA N, SHYY W, GRIFFIN L, et al. Shape optimization of supersonic turbines using global approximation methods[J]. Journal of propulsion and power, 2002, 18(3): 509-518.

[19]VAIDYANATHAN R, TUCKER K, PAPILA N, et al. CFD-based design optimization for single element rocket injector[M]. Florida: University of Florida Department of Mechanical and Aerospace Engineering, 2003.

[20]ANAGNOSTOPOULOS J S. A fast numerical method for flow analysis and blade design in centrifugal pump impellers[J]. Computers & fluids, 2009, 38(2): 284-289.

[21]ZHANG Jinya, ZHU Hongwu, CHUN Yang, et al. Multi-objective shape optimization of helico-axial multiphase pump impeller based on NSGA-II and ANN[J]. Energy conversion and management, 2011, 52(1): 538-546.

[22]FAN J, EVES J, THOMPSON H M, et al. Mincher. Computational fluid dynamic analysis and design optimization of jet pumps[J]. Computers & fluids, 2011, 46(1): 212-217.

[23]KIM J H, KIM K Y. Hydrodynamic performance enhancement of a mixed-flow pump[C]//Proceedings of the 26th IAHR Symposium on Hydraulic Machinery and Systems. Beijing, China, 2012.

[24]GÖLCU M. Artificial neural network based modeling of performance characteristics of deep well pumps with splitter blade[J]. Energy conversion and management, 2006, 47(18/19): 3333-3343.

[25]MCKAY M D, BECKMAN R J, CONOVER W J. A comparison of three methods for selecting values of input variables in the analysis of output from a computer code[J]. Technometrics, 2000, 42(1): 55-61.

[26]MYERS R H, MONTGOMERY D C, ANDERSON-COOK C M. Response surface methodology: process and product optimization using designed experiments[M]. 3rd ed. Wiley, 2009.

[27] SACKS J, WELCH W J, MITCHELL T J, et al. Design and analysis of computer experiments[J]. Statistical science, 1989, 4(4): 409-423.

[28]KOHAVI R. A study of cross-validation and bootstrap for accuracy estimation and model selection[C]//Proceedings of the 14th International Joint Conference on Artificial Intelligence. San Francisco, CA, USA, 1995, 2: 1137-1143.

[29]SOBOL′ I M. Global sensitivity indices for nonlinear mathematical models and their Monte Carlo estimates[J]. Mathematics and computers in simulation, 2001, 55(1-3): 271-280.

[30]JOHANSEN S T, WU Jiongyang, SHYY W. Filter-based unsteady RANS computations[J]. International journal of heat and fluid flow, 2004, 25(1): 10-21.

[31]KUBOTA A, KATO H, YAMAGUCHI H. A new modelling of cavitating flows: A numerical study of unsteady cavitation on a hydrofoil section[J]. Journal of fluid mechanics, 1992, 240: 59-96.

[32]HORN J, NAFPLIOTIS N, GOLDBERG D E. A niched Pareto genetic algorithm for multiobjective optimization[C]//Proceedings of the First IEEE Conference on Evolutionary Computation, 1994. IEEE World Congress on Computational Intelligence. Piscataway, NJ, 1994: 82-87.

Optimization design of tandem pump based on surrogate method

ZHAO Yu, WANG Guoyu, HUANG Biao, WANG Fufeng

(Research Institute of Fluid Mechanical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

Abstract：In this paper, we propose a global design optimization method based on a surrogate model for an axial-flow tandem pump, in order to overcome the disadvantages of conventional optimization methods, including their long design period and lower efficiency. We discuss the influences of the primary design parameters on pump performances, and used fixed blade angles in both the front and rear impellers, as well as the phase angle, as design variables. We selected efficiency and the minimum average pressure coefficient on the axial sectional surface as the objective functions, which represent the energy and cavitation performances, respectively. Surrogate models were constructed based on various methods. In addition, we used global sensitivity analysis and Pareto front methods to further analyze the design parameters and optimum point. The results show that the optimization results can enhance tradeoff performances well, with respect to both efficiency and cavitation performance, in the vicinity of the design flow of the tandem pump. The influence of phase angle on performance can be neglected relative to the influence of the other two design variables. The impact ratio on efficiency of a fixed blade angle in the two impellers is the same as in their designed loading distributions. A fixed blade angle in the front impeller has a great influence on cavitation performance.

Keywords：axial-flow pump; tandem cascades; global design optimization; surrogate method; cavitation performances

中图分类号：TV131.32

文献标志码：A

文章编号：1006-7043(2016)03-438-11

doi:10.11990/jheu.201410085

作者简介：赵宇(1989-), 男, 博士研究生;通信作者：王国玉, E-mail: wangguoyu@bit.edu.cn.

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51239005, 51479002).

收稿日期：2014-10-31.

网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160104.1648.020.html

网络出版日期：2016-01-04.

王国玉(1961-), 男, 教授, 博士生导师.