米 雪, 李德生

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)



文章编号: 1673-5862(2016)01-0045-06

一类三阶非线性中立型阻尼泛函微分方程的振动性

米 雪, 李德生

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

关于带阻尼项的中立型泛函微分方程振动性理论的研究,大多围绕着二阶微分方程进行,对于高阶微分方程讨论的较少。对一类三阶非线性中立型阻尼泛函微分方程,通过构造广义Riccati变换,并巧妙使用权函数及积分平均方法的技巧,简化了证明步骤,建立了2个新的保证此方程解振动的定理。当r1(t)=1时,该方程即为文献[13]中讨论的方程, 且在证明过程中改进了文献[13]中的Riccati变换,故所得定理包含并推广了文献[13]的结果。由于该方程的一般性,所得结论不仅普遍适用于前人讨论的三阶泛函微分方程。亦为以后三阶及更高阶泛函微分方程振动性理论的研究做了铺垫。最后给出了2个具体实例来说明文章的主要结论。

振动性; 三阶非线性微分方程; 阻尼项; Riccati变换方法

0 引 言

考虑如下一类非线性三阶阻尼微分方程

(E)

的振动性,全文假设下列条件成立:

定义 假设D={(t,s):t0≤s≤t<+∞},D0={(t,s):t0≤s

1)H(t,t)=0,t≥t0;H(t,s)>0,(t,s)∈D0

那么说函数H属于Ω类,记作H∈Ω。

近年来,泛函微分方程振动性理论的研究取得了一定的进展。然而关于泛函微分方程振动理论的研究大多是围绕着一阶和二阶微分方程进行的,对于高阶微分方程讨论的较少[1-15]。关于方程(E)的特殊情形,已有许多文献作过研究。MiroslavBartusek[7-8]等讨论了如下方程

(E1)

SaidR.Grace[15]研究了如下方程

(E2)

定理2[15]假设

本文的目的是研究方程(E)的振动性,所得结果是新的。当方程(E)中r1(t)=1时,方程(E)即为林文贤[13]讨论的方程。因此本文推广了林文贤[13]给出的有关结果。

1 引 理

引理 假设x(t)为方程(E)的最终正解,令y(t)=x(t)+p(t)x(σ(t)),则存在T≥t0,当t≥T时,有y(t)>0,y′(t)>0,y″(t)>0。

证明 由x(t)为方程(E)的最终正解及条件(A3)知,存在t1≥t0,使得当t≥t1时,有x(t)>0,x(σ(t))>0,显然,y(t)>x(t)>0,且

(1)

1) (r1(t)y′(t))′<0 或 2)(r1(t)y′(t))′>0。

如果1)成立,则存在常数M>0,t3≥t2,当t≥t3时,

(2)

对式(2)在[t3,t]上积分,由(A1)得,

(3)

故y′(t)最终为负,由(A1)及1)知y″(t)最终为负,因此y(t)最终为负,与假设y(t)>0矛盾。因此2)式成立。则存在常数l>0,使得

(4)

(5)

又由(A1)及2)知,存在T≥t4,当t≥T时,有y′(t)>0,y″(t)>0。证毕。

2 主要定理

(6)

(7)

对任意常数T≥t0,k≥1,β>0,当t≥T≥t0时,有

(8)

其中:

则方程(E)振动。

证明 设x(t)为方程(E)的非振动解,不失一般性,不妨设x(t)为方程(E)的最终正解(当x(t)为(E)最终负解类似可证)。故存在常数t1≥t0,当t≥t1时,有x(t)>0,x(σ(t))>0,x(τ(t))>0,令y(t)=x(t)+p(t)x(σ(t)),由引理1,知存在常数t2≥t1,当t≥t2时,有x(t)=y(t)-p(t)x(σ(t))≥(1-p)y(t),故由(A2)知

(9)

(10)

上不等式两边同乘H(t,s),并在[t3,t]上积分,得

又由上式及式(8)知

(11)

及

(12)

下证

(13)

先假设

(14)

由式(6)知,存在常数μ>0,满足

(15)

另一方面,由(14)式知,存在常数δ>0,使得

(16)

则当t>t4时,

即对所有t>t4,有

因δ为充分大的常数,故

(17)

与式(12)矛盾。因此式(13)成立。由式(12)及式(13),有

与式(7)矛盾。因此,方程(E)振动。

定理2 假设条件(A1)～(A3)成立,函数H∈Ω,如果有函数R∈C([t0,∞),R),使得(r2R)′∈C1([t0,∞),R+),存在常数α>1,k>1,β>0,及任意常数T≥t0,当t≥T时,有

(18)

其中:

则方程(E)振动。

证明 设x(t)为方程(E)的非振动解,不失一般性,不妨设x(t)为方程(E)的最终正解(当x(t)为(E)最终负解类似可证)。故存在常数t1≥t0,当t≥t1时,有

x(t)>0,x(σ(t))>0,x(τ(t))>0,令y(t)=x(t)+p(t)x(σ(t)),定义函数w(t)如定理1。则存在常数α>1,使得当t≥t1时,有

(19)

(20)

在式(20)两边乘H(t,s)并在[T,t]上积分,其中T≥t1,得

则对任意常数k>1,有

故当t≥T时,有

由函数H(t,s)的性质,当t≥t0时,有

即

与式(18)矛盾。因此,方程(E)振动。

3 例 子

例1 考虑方程

(21)

即条件式(7)、式(8)均满足。因此,由定理1知方程(21)振动。

例2 考虑方程

(22)

因此,由定理2知方程(22)振动。

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Oscillation of third order nonlinear neutral differential equations with a damping term

MIXue,LIDesheng

(School of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Most of the scholars who have studied the oscillation theory of neutral nonlinear differential equations with a damping term focus on the second order differential equations. There are a few conclusions about high order equations. This note is concerned with the oscillation of third order nonlinear neutral differential equations with a damping term. In this paper, by using a generalized Riccati transformation technique, general weight function and integral averaging technique skillfully, we simplify the proof steps and obtain two new sufficient conditions for the oscillation of the above equation. The equation changes into the equation of [13]whenr1(t)=1and we improve the generalized Riccati transformation of [13] . Thus the new theorems include and improve the theorems of [13]. We shall improve and unify the results given in the above mentioned papers because of the generality of equation. The results of this paper are also in preparation for the further study of oscillation of third order and higher order differential equations. Two examples are inserted to illustrate the main results.

oscillation; third order nonlinear differential equation; damping term; Riccati transformation technique

2015-08-16。

辽宁省教育厅高等学校科学研究资助项目(L2010513)。

米 雪(1991-),女,辽宁沈阳人,沈阳师范大学硕士研究生; 通信作者:李德生(1963-),男,吉林抚松人,沈阳师范大学教授,博士。

O175.10

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.01.011