李明侠, 刘玉忠

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)



非线性多时滞切换系统的稳定性

李明侠, 刘玉忠

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

研究了一类带有多时滞摄动的非线性切换系统的稳定性分析以及切换律的设计问题。由于时滞现象存在于大多数的切换系统中,而且时滞会使系统的性能变差,甚至破坏整个系统的稳定性。因此对于切换系统稳定性的研究,要把时滞考虑在内。首先,构造一个适当的Lyapunov-krasovskii函数(LKF);然后,对LKF进行求导,对于该导数通过引入自由权矩阵,利用积分不等式和shur补引理以及线性矩阵不等式理论(LMI)进行推导;最后,以线性矩阵不等式的形式给出了非线性多时滞切换系统稳定性的充分条件,并给出了稳定切换律的存在条件。将单个时变时滞推广到多时变时滞,使得非线性时变时滞系统的研究更具一般性。

非线性; 多时滞; 切换系统; 切换律

0 引 言

切换系统是由一系列子系统及一个切换规则组成,这个切换规则决定了哪个子系统被激活[1]。时滞现象较为普遍,时滞现象使得系统的分析更加复杂,而且时滞是导致系统不稳定的主要因素。基于上述原因,时滞切换系统稳定性研究受到了广泛关注。到目前为止,时滞切换系统的研究已有很大进展。时滞系统的研究根据其稳定性条件分为时滞相关稳定性判据和时滞无关稳定性判据,而现实的模型多为非线性,因此,对非线性时滞切换系统的研究具有很重要的理论价值和现实意义。

切换系统稳定性研究的3个最基本问题分别是:在任意切换信号下切换系统的稳定性;在给定切换序列下切换系统的稳定性;找到使系统能够稳定的切换序列,即切换系统的镇定问题[2]。本文主要研究切换信号的设计稳定。切换系统性分析的方法有多Lyapunov函数方法、单Lyapunov函数方法、平均驻留时间方法[3]等。刘正凡等[4]利用状态依赖控制策略对切换信号进行设计,使得一类参数不确定时滞非线性切换系统指数稳定。程桂芳等[5]研究了具有多时滞线性切换系统的稳定性。张等[6]研究了含有2个常时滞的线性切换系统的指数稳定性。本文研究了非线性多时变时滞切换系统的指数稳定性。

1 问题描述

考虑下列多时滞非线性切换系统:

(1)

(2)

(3)

其中:矩阵Λi,Γi,Ψi为已知常矩阵;系统矩阵Ai,A1i,A2i为适当维数的已知实矩阵。

定义1[7]给定常数γ>0,系统(1)称为指数稳定的,若存在一个切换σ(·)和正数c使得系统x(t,φ(t))的任何解满足下述条件:

(4)

定义2[2]对于任意T2≻T1≻0,使得Nσ(T1,T2)表示T1,T2之间的切换次数。如果对于Ta≻0,N0≥0,Nσ(T1,T2)≤N0+(T2-T1)/Ta成立,则Ta叫做平均驻留时间。

引理1[8]对于任意适当维数的矩阵Z,Y∈Rn和正定对称矩阵X∈Rn×n,下面不等式恒成立:

(5)

引理2[9]假设条件(2)满足,对于系统(1)的任意解x(t)和常数矩阵Wi>0,则下列积分不等式成立:

(6)

2 主要结果

本文研究了系统(1),为其设计适当的切换信号,利用多Lyapunov函数方法,使每个Lyapunov函数都沿子系统的解递减,以此来保证整个系统的指数稳定性。

(7)

μ≥1且满足

(8)

其中

证明 考虑下列LK函数

(9)

则LK函数沿着系统(1)的导数为

(10)

由引理2,

同理,

根据引理2,下列不等式成立:

对于任意适当维数矩阵G1i,G2i,G2i,G2i,由引理2,可得

(11)

(12)

(13)

(14)

由Shur补引理上式可化为

其中

当t∈[tk,tk+1)时,Vi(xt)≤e-γ(t-t0)Vi(tk)x(tk)

(15)

根据a,b的定义式和(9)的定义,下面不等式成立:

(16)

由式(15)和式(16),得

根据定理和指数稳定定义得系统(1)指数稳定。

3 结 论

本文通过引入自由权矩阵,运用平均驻留时间方法和多Lypunov函数方法以线性矩阵不等式的形式,给出了非线性多时滞切换系统指数稳定的充分条件,并给出了指数稳定的切换律。这个稳定性条件并不要求每个子系统都是稳定的。在文中给定的切换下系统是指数稳定的。

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Stability of nonlinear mulit-delay switched system

LIMingxia,LIUYuzhong

(School of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

The problem of exponential stability of uncertain switched nonlinear multiple time-delays systems is discussed. Delay phenomenon is often encountered in various switched systems, which makes the performance of the system worse,and it even disrupts the stability of the entire system. so the study of the switched system should take time-delay into account. First, we can construct a suitable Lyapunov-krasovskii function to calculate the derivative of the function. Then we can Introduce free-weighting matrix, utilize integral inequality, Shur complement lemma and linear matrix inequalities(LMI) for the derivation. At last, there is sufficient condition for the existence of a class of stabilized switching laws and derive in terms of linear matrix inequality. The single time-varying delay is extended to multiple time-varying delay, which generalizes the study of nonlinear time varying delay systems.

nonlinear; time-delay; switched systems; switching law

2015-09-24。

国家自然科学基金资助项目(11201313)。

李明侠(1990-),女,辽宁凌源人,沈阳师范大学硕士研究生; 通信作者:刘玉忠(1963-),男,辽宁新宾人,沈阳师范大学教授,博士。

1673-5862(2016)01-0018-05

TP273

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.01.005