由 样, 刘玉忠

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)



线性时滞切换系统的鲁棒H∞控制

由 样, 刘玉忠

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

在研究一类区间时变时滞线性系统稳定性的基础上,针对一类时变时滞线性切换系统状态反馈的H∞控制问题,研究了系统的鲁棒H∞控制器的设计问题,利用多Lyapunov函数方法定义了更为一般的Lyapunov函数,通过使用倒数凸组合的方法得到了系统在切换规则下达到鲁棒镇定且满足H∞的充分条件,以及系统的鲁棒H∞控制器存在的充分条件。此条件充分考虑到时滞上下界的信息,使得到的结果具有更小的保守性。与此同时,在计算Lyapunov函数的导数时使用Jensen积分不等式的放缩方法和线性矩阵不等式的方法,同样降低了保守型。最后,使用线性变换降低了计算的复杂程度。为了方便利用Matlab工具箱求解线性矩阵不等式,将最终得到的充分条件转化成线性矩阵不等式的形式表示。

时滞切换系统; 鲁棒H∞控制; Jensen积分不等式;倒数凸组合; 线性矩阵不等式

时滞现象在控制工程方面是普遍存在的,近些年,很多方法已经用于时滞系统的稳定性研究和控制器的综合,一些时滞依赖稳定性的研究结果已经发表,这些有效的结果是降低保守性、改善稳定性的标准。对于时滞系统的研究已经取得了一些研究成果,文献[1]基于Lyapunov泛函,研究了时变时滞属于一个区间的线性时滞系统的指数稳定性问题,文献[2]利用倒数凸组合的方法,结合Jensen积分不等式方法研究了时变时滞系统的稳定性问题。但是对时变时滞切换系统的研究成果还不够丰硕。文献[3]利用平均驻留时间方法,利用倒数凸组合以及矩阵不等式方法研究了一类时变时滞切换系统的稳定性问题,文献[4]利用积分等式的方法通过引入自由权矩阵研究了时滞切换系统的稳定性问题,文献[5]利用积分不等式和自由权矩阵的方法研究了不确定时变时滞切换系统的鲁棒H∞控制问题。

本文通过定义更为一般的Lyapunov函数,利用Jensen积分不等式和倒数凸组合方法研究了线性时变时滞系统的鲁棒H∞控制问题,这种方法不需要时滞函数的导数的信息,只要求时滞函数的上方有界。

1 问题描述

考虑如下的时滞系统

(1)

其中:x(t)∈Rn表示状态变量;u(t)∈Rm表示输入向量;ω(t)∈Rl表示干扰输入;Z(t)∈Rq表示输出向量;σ(·):[0,∞)→{1,2,…,n}=N表示分段常值切换信号,σ(t)=i表示第i个子系统在t时刻被激活,Aσ(t),Ahσ(t),Bσ(t),Dσ(t),Cσ(t),Chσ(t),Eσ(t),Gσ(t)都是适当维数的常数矩阵;φ(t)表示一个用来确定系统初始状态的连续函数;h(t)表示时变时滞,满足

(2)

其中μ为常数。

设计状态反馈控制器u=Kσ(t)x(t),结合系统(1)和切换规则σ(t),则系统(1)可写为

(3)

2 主要结果

(4)

则存在子控制器和切换规则使得切换系统(1)满足鲁棒H∞性能,如果不等式(4)有解,则相应的子控制器为Ki,切换规则可选取为

其中

其他位置是0或者是相应的对称形式,“*”为相应的对称矩阵:

对Vi(t)沿切换系统(3)的轨迹,在切换序列作用下对时间t求导数。

(5)

(6)

由Jensen积分不等式和引理可得

(7)

(8)

由Schur补引理结合不等式(4),可知

(9)

其中φi为7×7的对称矩阵,

矩阵中其余元素求法与φi11求法类似,其他位置或是“0”或是“φi”的对称形式

结合不等式(4)和不等式(10),当ω(t)=0时,存在一个常数β,满足

因此,系统(3)在条件(i)下是渐近稳定的。

不等式(4)含有非线性形式,不是线性矩阵不等式,不能利用MATLAB进行求解,所以要设法将不等式(4)转化成线性矩阵不等式。

在ψ的左右两边分别乘以对角矩阵

证明过程与定理类似。

3 结 论

本文讨论了线性时变时滞系统的鲁棒H∞控制问题,通过定义更为一般的Lyapunov函数,结合Jensen积分不等式和倒数凸组合技术得到需要的条件,系统稳定性和控制器存在的充分条件,然后将条件转化成线性矩阵不等式的形式表示。

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RobustH∞control for a class of linear switched systems with time-varying delay

YOUYang,LIUYuzhong

(School of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

On the basis of studying the stability of time-varying delay linear systems, which is a differentiable function for a given interval, and aiming at the control problem for a class of switched time-varying delay linear systems, this paper considers the designing issue ofH∞robust controllers for a system, a more general Lyapunov function is defined by multiple Lyapunov function method, and through reciprocally convex approach, sufficient conditions are obtained, which make the system reaches robust stabilization, meetH∞Performance Bound and ensure the existence of the controllers, these conditions sufficiently consider the upper and lower bound of delay, make the developed results have less conservatism, at the same time, As the same time, Jensen integral inequality approach and linear matrix inequality (LMI) are employed so as to get a less conservative result, when the derivative of Lyapunov function is calculated, finally, linear transformation is used to reduce the calculating complexity. For convenience, Matlab toolbox is utilized to solve linear inequalities so as to express the sufficient conditions got at last with the form of linear matrix inequality (LMI).

time-delay switched systems; robustH∞control; Jensen integral inequality; reciprocally convex approach; linear matrix inequality

2015-09-14。

国家自然科学基金资助项目(11201313)。

由 样(1990-),女,辽宁丹东人,沈阳师范大学硕士研究生; 通信作者:刘玉忠(1963-),男,辽宁新宾人,沈阳师范大学教授,博士。

1673-5862(2016)01-0014-04

TP273

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.01.004