李丽莎, 景 丽

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)



运筹学与控制论

不确定状态饱和连续系统的H∞控制

李丽莎, 景 丽

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

不确定状态饱和系统的模型是很常见的,在实际系统中很多不可避免的因素能导致这类模型不稳定。为了使不确定状态饱和系统具有较强的鲁棒稳定性,需要研究其H∞控制问题。用凸组合的方式表示系统的饱和项,并且对凸组合式进一步做了适当的不等式放缩处理;假设不确定项满足范数有界不确定性结构,根据Lyapunov稳定性理论,研究了不确定状态饱和系统稳定的充分条件,并将其转化为易于求解的线性矩阵不等式,同时给出了系统的状态反馈控制器的设计方法。状态饱和系统稳定且具有扰动衰减度γ。给出一个算例,并利用Matlab软件进行了仿真。使用文中方法能获得较好的鲁棒镇定系统,表明了结论的正确性和有效性。

连续系统; 状态饱和; 不确定性;H∞控制

0 引 言

状态饱和连续系统的模型广泛地应用于各种工业系统当中,如含有限电功率源的电力系统、汽车的速度、空调的温度等,都要满足一定的约束条件,因此对饱和系统的研究是十分重要的,该类系统的稳定性也成为了控制界研究的热点问题之一。文献[1-4]针对范数有界不确定性结构结合状态饱和函数的凸组合表示给出了状态饱和系统稳定的充分条件,并设计了反馈控制器。文献[5]研究了不确定状态饱和线性系统,采用凸域法将状态饱和函数表示成线性函数的凸组合,结合LMI算法,降低了吸引域的保守性。文献[6-8]采用扇形区域法处理饱和项,给出了输入饱和系统的稳定条件并做了吸引域估计。

H∞控制理论涉及航空、航天、电力系统等领域,近年来成为了很多学者研究的热点问题。文献[9]基于LMI线性矩阵不等式方法,研究了不确定系统的H∞控制问题,并给出了将不确定系统转化为确定系统的H∞设计方法。文献[10-11]解决了不确定系统在同时发生多个故障时,仍可以保持稳定的H∞控制问题。文献[12]通过引入无穷范数小于等于1的自由变量,给出了状态饱和离散系统的有界实引理。文献[13]利用积分不等式和引入自由权矩阵的方法,研究了不确定时变时滞切换系统的鲁棒H∞控制。文献[14-15]研究了在H∞扰动衰减指标约束下,给出了H∞容错控制器的设计方法。

上述文献都是基于状态饱和系统稳定性或H∞控制理论进行的研究,而在实际模型中,H∞控制理论结合不确定状态饱和系统的模型也是很常见的。因此,对于不确定状态饱和系统进行H∞控制有着现实的意义。

本文研究不确定状态饱和连续系统的H∞控制问题。首先,采用凸组合方法处理状态饱和函数。其次,利用LMI和Lyapunov函数方法,给出了系统稳定的充分条件并给出了系统的状态反馈控制器的设计方法。最后,给出反馈控制器的仿真算例,并利用Matlab软件仿真,验证了结论的正确性和有效性。

1 问题描述

考虑不确定系统:

(1)

其中:x∈Dn={x|x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn;-1≤xi≤1,i=1,2,…,n}⊆Rn是状态向量;A,B1,B2,C1,D11,D12是已知适当维数实常数矩阵;ΔA,ΔB1,ΔΒ2,ΔC1,ΔD11,ΔD12是系统中的不确定项。假设有如下结构:

其中:E1,E2,F1,F2,F3是已知适维常数矩阵;Σ(t)是Lebesgue可测的,且满足ΣΤ(t)Σ(t)≤I。

引理[9]对给定的常数γ>0,若对所有允许的不确定性满足

且存在一个对称正定矩阵P,使得

则不确定系统是二次稳定的,且具有衰减度γ。

设计状态反馈控制器:

(2)

使得系统(1)在反馈控制规律(2)作用下系统二次稳定,同时满足从外部扰动输入到系统的被控输出的传递函数的H∞范数小于给定的常数γ。

2 主要结论

定理 对于系统(1),对给定常数γ>0,ε>0,若存在一个对称正定矩阵P,对角占优矩阵G,使不等式

(3)

证明 系统(1)在状态反馈控制律式(2)作用下,设G是对角占优矩阵,且对角元素为负,则

由于

则系统可改写为

(4)

若系统(4)二次稳定,则系统(1)二次稳定。

根据引理,若系统(4)满足

(5)

则系统是二次稳定的。

对于式(5),不等式两侧左乘diag(P-1,I,I),右乘diag(P-1,I,I)并令X=P-1,则有

(6)

其中

所以式(5)就可以整理为

(7)

由Schur引理,令Y=KX,则(7)与下列线性不等式等价:

3 仿真算例

设系统(1)中的矩阵参数为

4 结 语

本文研究了不确定状态饱和系统的H∞控制问题,将状态饱和系统用凸组合的形式表示,利用LMI和Lyapunov方法,证明了系统的稳定性,同时给出了系统的反馈控制器设计方法,并用Matlab验证了结论的有效性。

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H∞control of uncertain continuous system with state saturation

LILisha,JINGLi

(School of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Model of uncertain system with state saturation is common. In actual systems, there are many unavoidable factors making the systems unstable. In order to make the uncertain systems with state saturation have stronger robust stability,H∞control is necessary. The saturation item of the system is represented by convex combination, and then it is appropriately processed with inequation scaling further; Under assuming that the norm of the uncertain item of uncertain state system is bounded, the sufficient condition for the state saturating system stability is obtained by Lyapunov function method. Transform it into easily solved linear matrix inequalities, at the same time design a state feedback controller for the system. state saturating systems are stable which have disturbance attenuationγ. An example is given and simulated with MATLAB in the paper. Using the method in this paper can robust stabilize the systems, which indicates the correctness and effectiveness of the results.

continuous system; state saturation; uncertainy;H∞control

2015-10-07。

辽宁省教育厅科学研究一般项目(L2014435)。

李丽莎(1990-),女,辽宁沈阳人,沈阳师范大学硕士研究生; 通信作者:景 丽(1967-),女,辽宁沈阳人,沈阳师范大学副教授,博士。

1673-5862(2016)01-0010-04

TP273 控制

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.01.003