姜 文 英

(衡水学院　数学与计算机学院，河北　衡水 053000)



一道高等代数习题的推广和应用

姜 文 英

(衡水学院数学与计算机学院，河北衡水 053000)

摘要：对线性空间的讨论不仅要从整体上把握其结构，更要从局部—线性子空间的角度来分析讨论．利用集合与线性空间的相关知识，将高等代数中的一道习题结论进行了推广和证明，并进一步探讨了该结论的应用．

关键词：线性空间；线性子空间；向量

北京大学数学系几何与代数小组编的《高等代数》(第三版)有如下一道习题：

证明用数学归纳法．

当s =1时，由V1是非平凡子空间知，存在向量，结论成立．

假设s= k 时结论成立，则s= k +1时，有V 的k +1个非平凡子空间，由归纳假设至少有一个向量α不属于中任何一个．如果，则结论成立．如果，取，考虑k +1个向量的向量组，其中必有一个向量不属于这k 个子空间中的任何一个．否则至少有两个向量同属于某一个，从而这两个向量的差也属于Vj，这与α∉Vj矛盾．于是中有向量，不妨设为γ=lα+β不属于中任何一个．

又由α∈Vk+1，β∉Vk+1，知γ∉Vk+1，命题得证．

命题3[2]设是数域P上n 维线性空间V 的任意s 个非平凡子空间，证明存在V的一组基，使这组基的n 个基向量均不在中．

最后，存在αn∈V，使，且线性无关，因此得到V的一组基，使其每一个基向量都不在中．

上述结论说明，线性空间V不能简单地被有限个真子空间所覆盖，于是命题2可简单地叙述成下面的定理．

定理 (覆盖定理)数域P 上的有限维线性空间V 不能被它的有限个真子空间覆盖，即不存在真子空间使得

例1 设V1是n 维线性空间V 的真子空间，证明至少存在两个子空间W1, W2，使V=V1+W1=V1+W2

证明 取V1的一组基，扩充为V的一组基则V=V1+W1．W1也是V的真子空间，由定理知存在向量．同样因为及W1都是V的真子空间，由定理知存在向量．依次做下去，找到显然是线性无关的，故它们是V 的一组基．令

例2 设V 是数域P上的一个n 线性空间．证明存在V 中一个无穷的向量序列的任何n 个向量都是V的一组基．

参考文献：

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].3版.北京:高等教育出版社,2003:272．

[2] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].武汉:华中师范大学出版社, 2004:196-197.

(责任编校：李建明英文校对：李玉玲)

Promotion and Application of an Exercise of Advanced Algebra

JIANG Wenying
(College of Mathematics and Computer Science, Hengshui University, Hengshui, Hebei 053000, China)

Abstract:Discussion on the linear space can not only grasp the structure as a whole, but also analyze more from the partlinear subspace. Based on the knowledge of set and linear space, the conclusion of an exercise of advanced algebra is promoted and demonstrated, and the application of the conclusion is further discussed.

Key words:linear space; linear subspace; vector

作者简介：姜文英(1975-)，女，河北故城人，衡水学院数学与计算机科学学院副教授，理学硕士.

收稿日期：2015-03-27

中图分类号：O151.21

文献标识码：A

文章编号：1673-2065(2016)01-0009-02