⌾ 孙志刚

(作者单位：山东省招远市齐山镇十字道初级中学 265414)

确定等腰三角形及顶点坐标的技巧

⌾ 孙志刚

初中数学综合探究性问题中，经常渗透考察等腰三角形存在性及顶点坐标问题，是数学中考或竞赛中备受青睐的一个重要测试点，由于解决此类问题通常涉及三角形、圆的有关知识的综合运用，以及分类思想、对称思想的应用，而且学生在解决此类问题中往往分析不到位或者思维不全面，导致出错率很高，所以极具考查与训练价值。解决此类问题的关键，主要是线段垂直平分线与圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏。下面以举例形式作分析说明。

一、基本思想和方法

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在中考试题中占有重要的位置。

例1、已知线段AB，求作一点P，使ΔABP为等腰三角形。你能作多少个？

1．如图1，若线段AB为等腰三角形的底边，则可作线段AB的垂直平分线CD，在CD上除了点O(AB与CD的交点)外，其它任意一点与A、B的连线(PA、PB)均可作出等腰三角形(ΔABP)，所以依此方法能作无数个等腰三角形。

2．如图2，若线段AB为等腰三角形的一腰，且点A为顶角的顶点，则可以A为圆心，以AB的长为半径作圆。在此圆上，除了点B和点B'(过AB的直径BB’的两个端点)外，其它任意一点(P)与A、B的连线(PA、PB)均可作出等腰三角形(ΔABP)，所以依此方法也能作无数个等腰三角形。

3．同理，如图3，若线段AB为等腰三角形的一腰，且点B为顶角的顶点，则可以B为圆心，以AB的长为半径作圆。在此圆上，除了点A和点A'(过AB的直径AA’的两个端点)外，其它任意一点(P)与A、B的连线(PA、PB)均可作出等腰三角形(ΔABP)，所以依此方法还能作无数个等腰三角形。

综上所述，“已知线段AB，求作一点P，使ΔABP为等腰三角形。”可以作无数个。

二、基本技巧的应用

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的是“不漏不重”。

分析：此题比较容易看出存在这样的点P，使ΔAOP为等腰三角形。但难点在于：(1)究竟有几个符合条件的点？即要把满足条件的点一个不漏地找齐；(2)如何求这些点的坐标？

三、解题能力的升华

(作者单位：山东省招远市齐山镇十字道初级中学 265414)