刘晶晶

（河北省承德市滦平县第二小学 河北滦平 068250）

矩阵的秩的应用

刘晶晶

（河北省承德市滦平县第二小学 河北滦平 068250）

高等代数是门专业基础课，线性代数占很大比重，矩阵作为线性代数的重要工具，把线性代数各章节贯穿成为一个整体。而矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终，其有关理论是高等代数课程中极重要的内容，在判断矩阵是否可逆、判断向量组的线性相关性、判断线性方程组是否有解以及有多少解、求矩阵的特征值等方面都有着广泛的应用。说到矩阵的秩就不能不提到向量组的秩，即向量组的极大无关组所含向量的个数，而极大无关组是一个向量组中的一组线性无关的向量，且向量组中任意的向量都可由这组线性无关的向量线性表出。我通过所学的知识，对矩阵的秩的应用，特别是在向量的线性相关方面，做出一些总结和归纳。

矩阵的秩 向量组 向量组的秩 线性相关性 线性方程组

一、矩阵的秩在向量组的线性相关性中的应用

1 定义：

则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。

2.判别方法：

对于n个n维向量构成的向量组, 利用行列式进行判别是一种比较便捷的方法.

推论1 n个n维向量构成的向量组线性相关的充分必要条件是其做成的方阵的行列式等于零.

推论2 n个n维向量构成的向量组线性无关的充分必要条件是这n个向量做成的方阵的行列式不等于零.

二、矩阵的秩在向量组的线性表示中的应用

1.定义

⇔有矩阵K，使B=AK

⇔方程AX=B有解.

三、矩阵的秩在线性方程组中的应用

1 定义 有了线性相关的判定和向量组的秩的概念，我们接下来讨论矩阵的秩与线性方程组的关系.所谓线性方程组，其形式为：

2 非齐次线性方程组有解的判别

称B为非齐次线性方程组（3.2）的增广矩阵.

2.2 定理：设有非齐次线性方程组

解法1：对增广矩阵B施行初等行变换变为行阶梯型矩阵

由此我们得到以下结论：

[1] 张贤达. 矩阵分析及应用[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004.

[2] 刘丁酋. 矩阵分析[M]. 武昌: 武汉大学出版社, 2003. 8.

[3] 林亨成, 陈群. 矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用[J]成都教育学报2006,91-92.

[4] 苏芳，徐湛，成礼智.矩阵的秩在线性代数中的应用[J].科技创新导报，NO.27（2010），205.