王玲玲， 凌 晨

(杭州电子科技大学数学系，浙江杭州 310018)

广义非线性互补问题的局部误差界分析
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王玲玲， 凌 晨

(杭州电子科技大学数学系，浙江杭州 310018)

首先将一个定义在闭凸多面锥上的广义非线性互补问题转化为一个非光滑方程组，然后给出了它满足局部误差界性质所需的一个充分条件.局部误差界条件在算法设计及收敛性分析中均具有关键作用.

广义非线性互补问题;局部误差界;γ－联合严格单调;Hölder连续

0 引言

广义非线性互补问题(GNCP)是由经典非线性互补问题直接推广而来的，它在工程、经济、金融和非线性分析等领域均有着广泛的应用［1］.现有算法大多针对决策变量与函数个数相等情况下的GNCP而设计［2－5］，因而极大地限制了它的实际应用范围.本文讨论决策变量个数与函数个数未必相等的GNCP问题.在将其转化为方程组的基础上，给出了其满足局部误差界性质所需的充分条件.局部误差界条件在算法设计及收敛性分析中均具有关键作用.

1 问题的提出

2 GNCP的等价转化

设计求解GNCP的有效算法并分析其收敛性质，一个有效途径是将原问题等价转化成一个方程组问题.在此基础上，需要分析局部误差界性质，为此将式(2)转化成不含参数α和β的等价形式.首先给出如下条件:

条件1 矩阵AT列满秩.

引理1 假设条件1成立，则对任意x∈Rn，以下2个结论等价:

定理1 假设条件1成立，则x*∈Rn是GNCP的解当且仅当x*满足

定理2 假设条件1成立，则x*∈Rn是GNCP的解当且仅当x*满足下列方程:

证明 由定理1和Φ函数的定义即可得证.定理2证毕.

3 误差界条件

本节研究方程(8)的局部误差界性质.局部误差界性质在互补问题的算法设计与收敛性分析中起重要作用［7］.记

显然，对任意x，y∈Rn，min{x，y}=0⇔x，y∈Rn+，xTy=0.关于min{x，y}和Φ(x，y)，有如下引理:

引理2 对任意x，y∈Rn，均有

引理3 设x*，y*∈R+且x*y*=0，则对任意x，y∈R，有

定义1 设F，G是Rn→Rm的2个函数，

1)若存在常数μ，γ＞0，使得

则称函数F关于G在Rn上是γ－联合严格单调的.

2)若存在常数0＜δ≤1和L＞0，使得

则称F在Rn上是Hölder连续的.

记

定理3 设F关于G在Rn上γ－严格单调(相关常数为μ)，且F和G在Rn上Hölder连续(相关常数分别为L1，δ1和L2，δ2)，则对任意x∈Rn，

推论1 在定理3条件下，对任意x∈Rn，下式成立:

利用上述结果，得到式(8)的局部误差界性质.

定理4 设定理3条件成立，且γ≤min{δ1，δ2}，则存在常数η＞0，使得

4 结语

本文讨论了m≠n情形下的广义非线性互补问题，分析了该问题的等价方程组满足局部误差界性质所需的充分条件.利用所得结果，可设计求解广义非线性互补问题的Levenberg－Marquardt型算法并进行收敛性分析.

［1］Facchinei F，Pang J S.Finite－dimensional variational Inequality and complementarity problems［M］.New York:Springer，2003.

［2］Andreani R，Friedlander A，Santos S A.On the resolution of the generalized nonlinear complementarity problem［J］.SIAM J Optim，2001，12 (2):303－321.

［3］Chen Bilian，Ma Changfeng.Superlinear/quadratic smoothing Broyden－like method for the generalized nonlinear complementarity problem［J］.Nonlinear Anal，2011，12(2):1250－1263.

［4］Sun Defeng，Womersley R S，Qi Houduo.A feasible semismooth asymptotically Newton method for mixed complementarity problems［J］.Math Program，2002，94(1):167－187.

［5］Wang Yiju，Ma Fengming，Zhang Jianzhong.A Nonsmooth L－M method for solving the generalized nonlinear complementarity problem over a polyhedral cone［J］.Appl Math Optim，2005，52(1):73－92.

［6］Fischer A.A special Newton－type optimization method［J］.Optim Methods，1992，24(06):269－284.

［7］Yamashita N，Fukushima M.On the rate of convergence of the Levenberg－Marquardt method［J］.Computing，2001，15:239－249.

(责任编辑 陶立方)

On local error bound analysis for generalized nonlinear complementarity problem

WANG Lingling， LING Chen

(Department of Mathematics，Hangzhou Dianzi University，Hangzhou Zhejiang 310018，China)

The generalized nonlinear complementarity problem defined on a closed convex polyhedral cone was transformed into a system of nonsmooth equations，then a sufficient condition was presented under which the considered system would satisfy local error bound properties.The local error bound condition played a key role in the algorithm design and convergence analysis.

generalized nonlinear complementarity problem;local error bound;γ－jointly strongly monotony; Hölder－continuity

O241.1;O224

A

1001－5051(2015)01－0047－05

�:2014－03－21;

2014－09－07

国家自然科学基金资助项目(11171083;11301123);浙江省自然科学基金资助项目(LZ14A010003)

王玲玲(1990－)，女，河南开封人，硕士研究生.研究方向:非线性规划.

10.16218/j.issn.1001－5051.2015.01.008