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正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+B中的一种错误求法

2015-12-02刘忠

中学数学杂志(高中版) 2015年6期
关键词:正弦轴对称性质

1 从一道考试题说起

《全品新题小练习(2014数学·理科)》(开明出版社)P13有这样一道题:

(2013·哈尔滨三中期末)已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈R,φ<π2),满足

f(x)=-f(x+π2),f(0)=12,f′(0)<0,则g(x)=2cos(ωx+φ)在区间0,π2上的最大值与最小值之和为( ).

A.2-3 B.3-2 C.0 D.-1

解 因为f(0)=12,所以f(0)=sinφ=12,故φ=π6+2kπ(k∈Z),又因为φ<π2,所以φ=π6.因为f(x)=-f(x+π2),所以f(x)=f(x+π),故f(x)的周期为π,所以ω=2πT=2,又由f′(x)=ωcos(ωx+φ),得f′(0)=ωcosφ<0,所以ω<0,所以ω=-2,所以g(x)=2cos(-2x+π6)=2cos(2x-π6).又因为x∈0,π2,所以2x-π6∈-π6,5π6,所以g(x)的最大值为2,最小值为-3,所以最大值与最小值之和为2-3.

这是一道错题!解法也是错误的!

2 错在何处

以上解法错在哪里呢?错在ω!而ω的错误是由“因为f(x)=-f(x+π2),所以f(x)=f(x+π),故f(x)的周期为π”导致的.其实,对于正(余)弦型函数,除了有一般函数具有的性质“若定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(a)(a≠0),则2a是y=f(x)的一个周期”外,还有其特有的性质.此处ω不仅可以取2,还可以取其它数.

我们先来证明正弦型函数的两个性质.

性质1 已知y=Asin(ωx+φ)+B(ω∈R,且ω≠0)且f(x)=-f(x+π2),则ω=4k+2(k∈N).

证明 由f(x)=-f(x+π2),知函数f(x)的图像向左平移π2个单位之后与原函数图像关于x轴对称,根据正弦型函数图像的特性,可知平移量π2=12T+kT=2k+12T(k∈N,T为f(x)的最小正周期),所以π2=2k+12·2πω(k∈N),所以ω=4k+2(k∈N).

性质2 已知y=Asin(ωx+φ)+B(ω∈R,且ω≠0)且f(x)=f(x+π),则ω=2k(k∈N,且k≠0).

证明 由f(x)=f(x+π),知函数f(x)的图像向左平移π个单位之后与原函数图像重合.根据正弦型函数图像的特性,可知平移量π=kT(k∈N,且k≠0,T为f(x)的最小正周期),所以π=k·2πω(k∈N,且k≠0),所以ω=2k(k∈N,且k≠0).

根据以上性质,我们知道,试题中ω应满足ω=4k+2(k∈N),而不是ω=2.因为ω=4k+2(k∈N)时的答案是2-3或0;而ω=2时的答案是2-3,所以试题及答案都是错误的.

3 正确解法

因为f(0)=12,所以f(0)=sinφ=12,故φ=π6+2kπ(k∈Z),又因为φ<π2,所以φ=π6.由f(x)=-f(x+π2),知函数f(x)的图像向左平移π2个单位之后与原函数图像关于x轴对称,所以π2=2k+12T(k∈N,T为f(x)的最小正周期),所以π2=2k+12·2πω(k∈N),所以ω=4k+2(k∈N).又由f′(x)=ωcos(ωx+φ),得f′(0)=ωcosφ<0,所以ω<0,所以ω=-(4k+2)(k∈N).所以g(x)=2cos(ωx+φ)=2cos(-(4k+2)x+π6)

=2cos((4k+2)x-π6).当k=0时,g(x)=2cos(2x-π6),由x∈0,π2得2x-π6∈-π6,5π6,所以f(x)的最大值为2,最小值为-3,所以最大值与最小值之和为2-3;当k=1时,g(x)=2cos(6x-π6),由x∈0,π2得6x-π6∈-π6,2π+5π6,所以f(x)的最大值为2,最小值为-2,所以最大值与最小值之和为0;当k∈N,k≥2时最大值与最小值之和也为0.

综上所述,函数的最大值与最小值之和为2-3或0.

作者简介 刘忠,中国中学数学教育界最高奖“苏步青数学教育奖”一等奖获得者,江西省首批中学正高级教师,江西省特级教师,中国数学奥林匹克高级教练员,永丰中学副校长.

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