苏步青先生是20世纪对中国数学教育影响重大的数学大家，他亲临中小学第一线，为中学数学教师授课.在上世纪60年代主持编写上海市中学数学教材时，苏先生提出中小学教材可以“混而不错”的原则，率先放弃几何公理的独立性，增设了几何公理，强调代数与几何的融合.“混而不错”的教学理念，破除了过度形式主义的枷锁，有利于“与时俱进”地引入现代化的数学思想[1].高中数学课程标准也指出：“形式化是数学的基本特征之一.在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表述，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的.因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程的本质.”从上述论断中不难体会，适度地形式化是中学数学教材编写和数学教学实践的基本准则，“混而不错”是适度形式化、部分数学内容非形式化的经典论断.

笔者在教学实践中强烈地感受到“混而不错”原则的重要价值，下面结合学习相关文献的体会，以沪教版高中数学教材为例，谈谈笔者对“混而不错”的肤浅认识.

1 “混而不错”的理论支撑和实践背景

“混”，就是非形式化的意思，是数学教育中采用的非形式化方法.从数学概念和原理的发生发展的历史来看，很多概念都经历了漫长的演变过程.比如，牛顿、莱布尼茨时代的微积分没有形式化，微积分从非形式化的直观语言发展到ε-N，ε-δ的形式语言经历了两个世纪.认知的历史发生原理表明，学生学习数学的认知过程与数学发展过程史存在一定的联系，对于某些内容两者确实存在较强的同构关系.所以，在高中有限的学习时间里介绍极限概念和微积分，不得不用非形式化方法进行处理，沪教版高中数学教材中在数列极限部分就没有引入ε-N语言，而是借助于直观的语言描述极限概念.

“混而不错”与陈重穆先生提出的“淡化形式，注重实质”有异曲同工之妙，两者其实都是关注于数学思想的发生和发展，而形式化、严格化则是后来用逻辑整理历史的结果.因此，在编写教材时本着以史为鉴的原则，就应该对某些教学难点问题采取“混而不错”的非形式化处理方法.可以说，数学发展史是“混而不错”的理论支撑.

张奠宙教授认为，随着教育的普及，数学课程成为人人必修的科目，“简单化”的大众数学也就随之而来[2].这就要求我们在教材编写和教学实践中采取适当的非形式化方法深入浅出地处理某些数学内容，让学生容易接受，例如长度、面积、体积的概念，只能模糊地描述，总不能要求中小学生去理解“某集合类上定义的有限可加、运动不变的正则测度”.所以说，大众数学是“混而不错”的实践背景.

2 “混而不错”的内涵和教材中的典型案例

在数学教育上，非形式化已成为必不可少的手段，问题是如何掌握以使之适当.中学教材中有些说不清楚的东西暂时可以“混”过去，但不要错.“不错”是大前提，关注的是大方向、本质；“混”是放松严格性的要求，现阶段讲不清楚的问题用写意的方式说明，但仍不失其真.

上面这段话阐释了“混而不错”的内涵：在教材编写中“混”是为了容易接受；“不错”，则是不能离开数学本质.无论是给出结论还是增加公理，处理教材的各种“混”的方式都确保了“不错”的原则前提，给出的结论和增加的公理本身都是正确的.

教材鉴于学生知识不足和使其问题避繁就简、易于接受的考虑，在“混而不错”原则的指导下对某些问题作了浅引和回避处理，除了上文提到的例子外，在沪教版高中数学教材中有多处运用“混而不错”原则进行内容处理的典型案例.

在函数部分，对指数函数性质的研究是通过图象的，而作图的依据是描点后用光滑曲线连接，至于描什么点才能正好反映出函数图象的准确性态，这是微分学的问题，可以放到大学数学中学习和研究，因而高中教材中回避了严格作图的问题.

在三角部分，教材“任意角的概念”部分的编写也是秉承着“混而不错”的原则.角的定义在高中阶段推广到任意角，这种推广包括“形”上有所突破——规定了正角、负角和零角；在“数”上有所创新——引入弧度制使角与数达到某种统一.然而对于这种有向角的运算（如加、减），教材中并没有专门研究，而是默认与实数的运算类似（实际是将有向角与实轴上的实数一一对应），教材默认的任意角的运算，直接体现在“诱导公式”、“两角和与差的三角函数”等三角恒等式的推导过程中.

在解析几何部分，求曲线方程的步骤中，验证方程的纯粹性较为复杂，沪教版教材中省略了这个步骤，指出“……证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（在本教材中，这一步不作要求）”[3].

在立体几何部分，苏步青先生在编写中小学教材时“增设几何公理”的做法影响深远.比如，从人教社甲种本教材到如今各版本新教材的立体几何部分中都有平行公理（公理4）.

公理4 平行于同一条直线的两条直线相互平行[4].

该公理是可以由平面的平行公设（第五公设）和立体几何中的三个公理加以证明的.

证明：已知a∥b，b∥c，求证：a∥c.

证明 若a，b，c共面，假设a∩c=M，则过M有两条直线与b平行，与平行公设矛盾.

下面只考虑a，b，c不共面的情况.

首先，两条平行直线a，b确定平面α，两条平行直线b，c确定平面β，α∩β=b.

在c上取一点P.若P∈a，则P是α，β的公共点，故P∈b，与b∥c矛盾，故Pa，P，a确定平面γ.显然β，γ不重合，记β∩γ=d.

倘若α，γ重合，则P是α，β的公共点，故P∈b，与b∥c矛盾，故α，γ不重合，α∩γ=a.

若a∩d=A，则A∈aA∈α，A∈dA∈β，所以A∈b，与a∥b矛盾，故a∥d.

若b∩d=B，则B∈bB∈α，B∈dB∈γ，所以B∈a，与a∥b矛盾，故b∥d，而在同一平面β内，b∥c，P是c，d公共点，故c，d重合.

综上，a∥c.公理4证明完毕.

在概率部分，最典型的“混而不错”的例子是概率的统计定义，“频率在大数次试验中稳定于某一常数（概率）”[4]，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率μnn会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率PA=p.频率μnn稳定于概率p，并不是limn→∞μnn=p的意思，而是指：当n很大时，事件（[JB（|]μnn-p[JB）|]≥ε）发生的可能性很小，也就是说“对任意ε>0，有limn→∞P（[JB（|]μnn-p[JB）|]<ε）=1”，即频率依某种收敛意义趋于概率，满足概率论中的大数定律，而不是说频率的极限就是概率.由于严格的定义超出高中生的理解能力，因此教材在概率的统计定义方面做了“混而不错”的处理——以直观的语言描述代替严格的符号定义.

3 对教材编写“混”与“不混”的两点建议

深刻理解和切实贯彻“混而不错”原则，还应考虑适度形式化的另一方面：对于高中生能够理解的形式化表述，应该力求精准不“混”，在教材编写、教学实践和考试评价中应保持概念的一致性.众所周知，明确的概念是每个系统（教材就是一个系统）科学叙述的起点，课堂教学及数学习题中所提供的概念应以本系统所提供的为准，既不能出现本系统所未定义的概念，也不能违背本系统对概念的定义而作任何其他的解释，否则会导致学生思维的混乱.为此，笔者对教材编写提出两点相关建议.

第一，对于某些概念细节的“规定”应尽量精准、全面，避免不必要的“争鸣”.比如，“空集是否有限集”的问题，教材中没有明确规定，一线教师对此产生了不同的理解.人教A版是在“集合间的基本关系”中引入空集概念，苏教版和沪教版都在“集合及其表示”中引入空集概念，并且都紧接在“有限集、无限集”概念后面，容易被误认为是第三类别，这是引发“空集是否有限集”争论的重要原因.笔者翻阅了一些老教材，发现在人教社甲种本教材中，有限集和无限集是在“集合及其表示”中提出的，空集是在“集合的运算”中才出现的.实际上，定义空集是为了使得任何两个集合的交集运算的结果依然是集合，也就是说，空集的出现是因为运算的需要，空集并不是集合分类中与“有限集”“无限集”并列的第三类别.在数学知识结构中，为了系统的完备，需要定义一些概念，比如“零向量”本身并没有研究其方向性的必要，这个概念的提出只是因为向量加减法运算的需要.在编写教材时，可以在定义“空集”概念之后，附带一句“空集是有限集”以避免读者混淆.

第二，在“一纲多本”背景下，对于同一概念，各版本教材应力图表述一致.同一概念在各版本教材中的不尽相同的形式化表述，给一线教学和考试命题带来了不少困扰.比如，高中数学教材对一元二次方程根的个数问题没有专门规定，只是在相关问题涉及时“点到为止”，而各版本教材的约定是不尽相同的.人教A版在论及曲线与直线交点个数时[5]提到：对于方程ky2-4y+42k+1=0，当k≠0，Δ=0时方程只有一个解，而沪教版高中数学教材编写者的观点则体现在下面的例子中：

例1 （沪教版教材配套练习题[6]）已知α，β是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实数根.当m为何值时，α2+β2有最小值？并求出这个最小值.

教学参考资料上给出的答案是：当m=-1时取最小值12.而此时Δ=0，说明教材编写者的观点是：Δ=0时方程有两个（相等的）根.

正是由于各版本教材约定不一致，导致一线教师争论不休，下面的例题就是日常教学中经常遇到的概念“混”、教师争议较多的问题.

例2 如果方程x2-ax+2=0在区间（0，3）内有且只有一个实数解，则实数a的取值范围是 .（参考答案：a≥113或a=22.）

既可认为a=22时Δ=0，方程有两个（相等的）根，也可以认为此时方程只有一个根，两种看法都能做出合理的解释.这样的问题丝毫无关数学的本质，除了教材编写者应该明确规定相关概念外，习题的命题人也应该规避这种教材中没有明确的统一规定的、“混”而无益于数学教学实效的概念.

章建跃先生指出：“课本是使学生学做人做事的基本载体，脱离课本的教学不是好数学教学.教师最基本且重要的职责是教好课本，而‘教课本的核心是‘教概念.”[7]作为教学和评价的依归，课本的重要性不言而喻，各版本教材中概念的形式化表述的一致性是当前“一纲多本”背景下产生的新问题，也是教材编写者亟待解决的大问题.

编写教材时应该灵活运用“混而不错”的原则，注重适度形式化，在课堂教材实践中也应如此.数学是严谨的科学，而在中学数学教学中，“混而不错”原则揭示了数学的另一面——适度的非形式化通向数学本质的理解，通向“简单化”的大众数学的普及，通向全体国民整体数学素养的提高.

参考文献

[1] 张奠宙，于波.数学教育的“中国道路”[M].上海：上海教育出版社，2013：61-62.

[2] 张奠宙.大众化和“简单化”[J].数学教学，2012（5）：封底.

[3] 袁震东主编.高级中学课本数学高中二年级第二学期（试用本）[M].上海：上海教育出版社，2008，1：34.

[4] 袁震东主编.高级中学课本数学高中三年级（试用本）[M].上海：上海教育出版社，2008，8：9，92.

[5] 刘绍学主编.普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-1）[M].北京：人民教育出版社，2007，2：71-72.

[6] 袁震东主编.高级中学课本数学练习部分高中一年级第一学期（试用本）[M].上海：上海教育出版社，2006，8：35.

[7] 章建跃.以课本为本才是好数学教学[J].中小学数学（高中版），2011（10）：封底.作者简介 任念兵，男，1981年生，安徽安庆人.上海市浦东新区骨干教师，曾获第六届全国高中数学青年教师教学评优一等奖，在《中学数学杂志》等数学教育刊物上发表文章50余篇.