林群

第一讲 庄子哲学与级数（文字转换）

一尺之锤，日取其半，那么每日取走的长度，便包含无限多个数据，12，14，18，…，它们相加表示1：

12+14+18+…=1.

这是无限等式，什么意思？拿什么验证？数据试验

一直加下去，越来越接近1. 再观察，每当左边多加几项，右边在小数点后就多加一个9，

12+14+18+…=0.999…

进一步说，右边无论要加多少9，都可以做的到，只要左边项数足够多.所以，这个过程最终出现0.9·，从而终结到1. 这个定义方法，不再隐晦，而且露骨，过程看得清：右边在小数点后怎样在加9，怎样变到1，凸显了无限等式

无限多个“庄子数据”相加=1

的可视化或构造性，达到彻底明白.

如果等式右边不等于1，例如

1+12+14+18+…=2，

那么，当使用比例表示

1+12+14+18+…2，

便回到右边是1的状态. 于是重复上例

1+12+14+18+…2=0.999….

意即每当分子多加几项，比例在小数点后就多加一个9. 进一步说，比例无论要加多少9，都可以做的到，只要分子项数足够多. 所以，这个过程最终出现0.9·，从而分子变到分母. 这个定义方法，不再隐晦，而且露骨，过程看得清：比例在小数点后怎样在加9，分子怎样变到分母，无限怎样变到有限， 凸显了无限等式

无限相加的分子=有限的分母

的可视化或构造性，达到彻底明白. 所以今后就看比例，采用比例表示.

现在放大到一般的级数. 为什么要讨论级数呢？若没有它，第0讲最后的反正弦的高便得不到计算，以致半途而废.

放大并不难：对上例只要求做文字转换，便进入级数状态（包括交错级数）. 暂设（或猜）这级数有和. 当使用比例表示

级数和（或和级数）=0.999…

（保证分子≤分母），意即每当级数多加几项，比例在小数点后就多加一个9. 从而分子（或分母）变到分母（或分子），显示了

无限相加的级数=有限和

的可视化或构造性，达到彻底明白. 反之，教科书教学生方法，属于存在性，看不见无限怎样变到有限，被蒙住了眼睛.

不够明白. 所以，构造性方法，0.9·，比起存在性方法，ε，两者

看似等价（容易证明或一道习题）但不等效.

由过程看不清变到可视化，由属于存在性变到构造性. 我们建议以0.9·消除ε投下的阴影.

习题或案例 举一反三，如果每日取走剩下长度的10%，或90%，结果又如何，让数据说话.

级数只是微积分求高的手段，目的还要回到求面积与弧长. 下讲先求弧长.

第二讲 山坡求长与求高：一回事

微积分专业爬山故事：坡度+坡长+坡高

（后者乃爬山最关心的三要素，例如坡度（或陡度），它关系到腿部的承受力）.当山坡是直的， 那就是三角测量： 求斜率，并用之测量斜边长及高.

人民日报（1997，8，6）

这里有故事：树有多高？ 直接测量：砍树或爬树；间接测量，利用公式：树高=斜率底边长. 所以斜率可以代替砍树或爬树.

那么，当山坡是曲的，

如何也用斜率来测量坡长与坡高？说来话长. 我们不满足于推导或证明公式，从头到尾侧重于暴露思想活动，或如何思考.

因为遵守创作路线图，先有思想，再预测结果，然后证明，

才能胸有成竹，事半功倍，甚或带来快速证明.

先问如何量坡长？有没有一个计算公式？

我们熟悉的，量坡长的自然且简单的方法，就是一步一步使用切线长若用割线，涉及曲线上两点. 切线只涉及曲线一点的性质.来量.

细说如下：由于山是立体图形，先简化成两山之间缆绳求长，于是变成了平面图.

我是近视眼，看不到这绳长. 这时只能化整为零，去求一小段的绳长.

化整为零

但每一段再小，也还是曲边三角形，并不是直边三角形. 所以又只能化曲为直，例如按与它“最近”或“相切”（严格定义以后再说）的直角三角形来求斜边长，或切线长

化曲为直

先想到，随着分点加多，或细分下去，切线长应该跟曲边三角形的小坡长相接近. 当使用比例表示，则两者之比应该接近于1. 进一步想到，比例应该在加9

切线长小坡长=0.999….

同理，当分子与分母各自相加，应该也有

所有切线长相加总坡长=0.999….

这里，前一个是关键假设（曲线可求长），后一个是自然推论，有快速证明（反证法，只有两行，留作习题）.所以说，先想好再证明，有的放矢，加快速度.

以上是山坡求长的思想活动与快速证明.

回到上面的公式：比例取0.999…是什么意思？意即每当分点多加几个，比例就多加一个9. 进一步说，无论要加多少9，都可以做的到，只要分点足够多. 所以，当分点加多，切线条随之加多，比例最终出现，从而分子变到分母，看清了无限等式

无限多条切线长相加定义总坡长

的过程或构造，达到彻底明白.

习题或案例 求单位圆周长

（过剩近似）

圆周长n长切线长相加=xtanθ=0.999…，

此处切线长是过剩近似（tanθ≥弧长）. 但图1的切线长是不足近似（≤弧长），稍有不同. 后者才有一般性（当我们跳出圆这一特殊曲线），这时保持关键性假设