刘瑞美

1 问题的提出

导数作为高考考查的知识点已经不是新内容了，随着高考制度的不断完善和日臻成熟，导数作为高考考查的重点知识模块已经被时代赋予了新的含义，出现好多亮点和经典试题，特别是近几年全国课标卷中的导数试题，考查亮点更多，纵观三年来的全国课标高考导数题大都出现在压轴题的位置且难度有加大的趋势.为了适应2016年全国新课标卷高考的到来，帮助广大备考师生加强、加深对导数试题的复习研究，笔者结合自己平时的研究，从中洞悉导数试题的考查特点和命题方向并对今后的复习备考提出相应的意见和建议，望通过拙文，能对正在紧张复习备考中的师生有所帮助和引领.

2 导数题的考查特点分析及典例剖析

2.1 以函数的单调性为铺垫，考查函数的极值与最值

函数的单调性是函数的重要性质，在高考试题中以考查函数的单调性为背景的试题屡见不鲜，可以说是高考试题中考查的常客.通过研究近几年的全国新课标高考数学试题可以发现，以研究函数的单调性作为铺垫来探究函数的极值和最值的问题是考查的一个方向.如2014年全国卷2理科第21题：已知函数f（x）=ex-e-x-2x.

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设g（x）=f2x-4bf（x），当x>0时，g（x）>0，求b的最大值；

（Ⅲ）已知1.4142<2<1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）

点评 本题考查利用导数研究函数单调性、切线、值域问题，等价转化等，其综合性较强，属于难题，第二问，须利用对数函数的单调性将不等式进行等价转化后，再利用导数研究函数的单调性、最值.第三问，要求适当的放缩与估值，要求学生有较强的推理能力和计算能力.另外将我国优秀文化遗产——估算首次纳入到高考试题中，在考查考生基本数学素养的同时，适当渗透数学文化，让考生体味我国古代劳动人民朴素的数学思想和数学素养.

2.2 以曲线的切线为铺垫，考查函数的零点

曲线的切线是研究曲线性质和几何意义的重要切入点，而导数的几何意义就是曲线在该点处切线的斜率，这样就将曲线和导数紧紧的联系在一起，是沟通数和形的天然桥梁，使得曲线与导数之间实现了无缝隙对接.为了突出导数的几何意义，以曲线切线为背景的试题层出不穷.如2015年全国课标卷1第21题就是以曲线的切线为铺垫，考查了函数的零点问题并在此基础上让考生体验高中阶段所学习的重要的数学思想方法.已知函数f（x）=x3+ax+14，g（x）=-lnx

（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；

（Ⅱ）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），讨论h（x）零点的个数

解 （Ⅰ）设切点为（x0，0），则f′（x）=3x2+a，f（x0）=0，由题意可知：x30+ax0+14=0，

3x20+a=0，x0=12，

a=-34，因此，当a=-34时，x轴为曲线y=f（x）的切线.

（Ⅱ）由题意知x>0，所以有：

（1）当x∈（1，+

时，g（x）=-lnx<0，从而h（x）=min{f（x），g（x）}≤g（x）<0，故h（x）在（1，+没有零点；

（2）当x=1时，

若a≥-54，则f（1）=a+540，h（1）=min{f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的零点；

若a<-54，则f（1）=a+54<0，h（1）=min{f（1），g（1）}=f（1）<0，故x=1不是函数h（x）的零点；

（3）当x∈（0，1）时，g（x）=-lnx>0.因而只要考虑函数f（x）在（0，1）内的零点个数即可.

（ⅰ）若a≤-3或a≥0，则f′（x）=3x2+a在（0，1）上恒正或者恒负，故f（x）在（0，1）上单调，且f（0）=14，f（1）=a+54，所以由数形结合易知当a-3时，f（x）在（0，1）上只有一个零点；当a0时，f（x）在（0，1）上没有零点.

（ⅱ）若-3

f（x）min=f（-a3）=2a3-a3+14.

1.若f（-a3）=2a3-a3+14>0，即-34

2.若f（-a3）=2a3-a3+14=0，即a=-34时，f（x）在（0，1）上有唯一的零点；

3.若f（-a3）=2a3-a3+14<0，即-3

当f（0）=14，

f（1）=a+54>0，

-3

当f（0）=14，

f（1）=a+54≤0，

-3

综上可知：当a>-34或a<-54时，h（x）只有一个零点；当a=-34或a=-54时，h（x）有两个零点；当-54

点评 本题主要考查曲线切线、利用导数研究函数的图像与性质、利用图像研究分段函数的零点，试题新颖，对曲线的切线问题，主要在某一点的切线与过某一点处的切线不同，在某点的切线该点是切点，过某点的切线该点不一定是切点，对过某点的切线问题，设切点，利用导数求切线，将已知点代入切线方程，解出切点坐标，即可求出切线方程.

该题第一问比较简单，考生大多能写出正确答案，但第二问要用到的知识点较多，对考生综合能力要求较强，特别是在分类讨论的时候，由于分类情况较多导致大多数考生书写混乱，再加上在平时的测试中考生的应试心里没有能得到很好的疏导，因而多数考生此题的得分率较低.

2.3 以曲线的切线为铺垫，考查函数中参数的取值范围

参数的取值范围问题是函数研究中的重要内容，也是高考常考题型，但探究函数中参数的取值范围有时候是相当困难的，要用到多种重要的数学思想方法，在高考试题中为了增加试题坡度，降低试题的难度，以曲线的切线作为铺垫，来探究参数的取值范围是近年来全国新课标卷的常用命题策略和方向.如2013年全国课标卷1理第21题：已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2.

（1）求a，b，c，d的值；（2）若x≥-2，f（x）≤kg（x），求k的取值范围.

点评 本题考查导数的几何意义、导数与函数的最值、导数与函数的单调性，考查考生的分类讨论能力以及化归与转化思想，利用导数的几何意义进行求解；构造函数“F（x）=kg（x）-f（x）”，对k的取值范围进行分类讨论，进而得到答案.

2.4 以曲线的切线为铺垫，考查不等式的证明

不等式的证明是中学阶段的一个难点问题，一直困扰着备考师生，若利用函数单调性，以导数为工具则可以大大降低试题的难度，为考生找到一条证明不等式的有效方法和路径.近年来以曲线的切线为背景并以此作为铺垫，考查不等式证明的问题也是全国新课标卷1的一个亮点，以切线为敲门砖，关爱考生的身心，实为命题专家的一番苦心，让每个考生都能得到应有的分数，体现了高考试题对考生的人文关怀.如2014年全国新课标卷1理第21题：设函数f（x）=aexlnx+bex-1x，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=e（x-1）+2.（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）证明：f（x）>1.

分析 （Ⅰ）由切点（1，f（1））在切线C上，代入得f（1）=2①.由导数的几何意义得f′（1）=e②，联立①②求a，b；（Ⅱ）证明f（x）>1成立，可转化为求函数f（x）的最小值，只要最小值大于1即可.该题不易求函数f（x）的最小值，故可考虑将不等式结构变形为xlnx>xe-x-2e，分别求函数g（x）=xlnx和h（x）=xe-x-2e的最值，发现g（x）在（0，+）的最小值为g（1e）=-1e，h（x）在（0，+）的最大值为h（1）=-1e.且不同时取最值，故xlnx>xe-x-2e成立，即f（x）>1.

注意这种方法具有一定的局限性，f（x）min≥g（x）max只是不等式f（x）>g（x）的充分不必要条件，即当f（x）>g（x）成立，最值之间不一定有上述关系，须慎重行事.

点评 本题主要靠导数的几何意义、不等式的证明，利用导数求函数的最值.考查分类讨论思想，意在考查考生的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.导函数解答题中贯穿始终的数学思想方法，在含有参数的试题中分类与整合思想是必要的，解题时常把不等式问题转化为函数的最值问题，把方程的根转化为函数的零点等.

2.5 以函数的单调性为铺垫，考查函数中参数的取值范围

函数的单调性是高考考查的永恒主题，但岁岁富有新意.以函数单调性为背景的试题让人心花怒放，换句话说当考生看到试题时有点兴奋不已的感受，是否能将本题拿到满分实在是一个未知数.因而以函数单调性作为铺垫，考查函数中参数取值范围是近几年全国新课标命题的热点问题，大都是第一问较容易，后面的问题解决对大部分考生来讲还是有点困难的.如2015年全国新课标2理第21题：设函数f（x）=emx+x2-mx.

（Ⅰ）证明：f（x）在（-，0）单调递减，在（0，+）单调递增；

（Ⅱ）若对于任意x1，x2∈[-1，1]，都有f（x1）-f（x2）≤e-1，求m的取值范围.

点评 本题主要是探究函数单调性和参数取值范围问题，是高考中的常考题型，其中第（Ⅰ）问可先求导函数f′（x）=m（emx-1）+2x，再根据m的范围讨论导函数在（-，0）和（0，+）的符号即可；第（Ⅱ）问f（x1）-f（x2）≤e-1恒成立，等价于f（x1）-f（x2）max≤e-1.实际上由x1，x2是两个独立的变量，故可研究f（x）的值域，由（Ⅰ）易得最小值为f（0）=1，最大值可能是f（-1）或f（1），故只需f（1）-f（0）≤e-1，

f（-1）-f（0）≤e-1，从而得到关于m的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号并借助于数形结合，从而得解.

2.6 小题精彩，难度不小

在全国新课标卷的客观题中也有一些标新立异的好题，但对考生数学能力和学习数学潜能要求较高，由于考生的知识和思维差异，导致部分考生只能望而却步，或者半途而废.如2015年全国卷1理第12题：设函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是（ ）.

A.＼[-32e，1） B.＼[-32e，34）C.＼[[SX（〗32e，34） D.＼[32e，1）

分析 令g（x）=ex（2x-1），y=ax-a，由题知存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=ax-a的下方.因为g′（x）=ex（2x+1），所以当x<-12时，g′（x）<0，当x>-12时，g′（x）>0，所以当x=-12时，[g（x）]min=-2e-12.

当x=0时，g（0）=-1，g（1）=e>0，直线y=ax-a恒过（1，0），

故-a>g（0）=-1，且g（-1）=-3e-1≥-a-a，解得32e≤a<1，故选D.

点评 本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题.对存在性问题有三种思路，思路1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数小于该函数的最大值（或大于该函数的最小值）；思路2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路3：分类讨论，本题用的就是思路2.

再如，2014年全国卷1理11题：已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是

A.（2，+∞） B.（1，+∞）C.（-∞，-2） D.（-∞，-1）

分析 当a=0时，f（x）=-3x2+1，函数f（x）有两个零点33和-33，不满足题意；当a>0时，f′（x）=3ax2-6x，令f′（x）=0，得x=0或x=2a.x∈（-

，0）时，f′（x）>0；x∈（0，2a）时，f′（x）<0；x∈（2a，+）时，f′（x）>0，且f（0）>0，此时在x∈（-

，0）必有零点，故不满足题意；当a<0时，x∈（-

，2a）时，f′（x）<0；x∈（2a，0）时，f′（x）>0；x∈（0，+）时，f′（x）<0，且f（0）>0，要使得f（x）存在唯一的零点x0且x0>0，只需f（2a）>0，即a2>4，则a<-2，选C.

点评 本题主要是考查函数的零点、导数在函数性质中的运用和分类讨论思想的运用，在研究函数的性质时要结合函数的单调性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结合能力.另外，本题在审题的过程中一定要注意两个关键词：①“f（x）存在唯一的零点x0”，②“这唯一的零点x0>0”，否则容易出错.

3 备考建议

3.1 注重基础知识，加强知识的交汇性训练

针对2016年以后的高考形式发展，结合近几年全国新课标卷的导数试题命题特点，在导数复习过程中要注重对基础知识的再挖掘，适当加大对导数试题的研究，在深度和广度上多加训练.另外在知识交汇处试题的设置，应有鲜明的时代特色，体现出新课程的理念，映衬着高考支持并服务于新课程的意向；应在把握数学本质的基础上，以新颖的视角、创新的手法进行精心的构思和艺术化的“剪裁”；应以问题为中心，知识为纽带，横纵之间相互渗透、交汇，各种思想方法融汇贯通，彰显能力立意的命题宗旨；试题的设置应体现高考不仅要检测考生的思维层次和数学素养，区分、选拔优秀人才，而且更要体现新课程的精神和实质，展示新课程改革的成果.近几年高考导数试题，考查知识的交汇性问题比较多，而且交汇性问题的命制思路已日趋成熟.因而在课堂教学中我们要注重基础知识，加强能力培养，从注重学习结果向注重学习过程转变；要从学会转向会学，要从学生被动接受转向主动发现，要从信息单向传递转向信息多向交流，以适应新课程改革的新要求.

3.2 加强对几种常见函数研究

通过仔细研究发现：近几年全国新课标导数试题大都与如下几种常见函数有关： ①y=x·ex ②y=xex③y=ex[]x[SX）] ④y=x·lnx⑤y=x[]lnx ⑥y=lnx[]x[SX）]

如2014年理科第21题：f（x）=exlnx+2ex-1x，于是f（x）>1xlnx>xex-2e，

令g（x）=xlnx，h（x）=xex-2e，因而只要证明g（x）min≥h（x）max即可.

3.3 重视数学思想方法的应用，培养考生的运算能力

解决数学问题离不开数学思想方法，数学思想方法在解决问题中有着举足轻重的地位，方法选择得当，往往有出奇制胜的效果，方法思路混乱，可能导致思维受阻.另外要加强对考生运算能力的培养，有不少考生就是因为运算不强导致计算错误而影响解题的进度，使得解答陷入困境.

3.4 注重回归课本，加强对往届试题研究

课本是教学之本，在最后的复习过程中一定要加强对课本习题、重点例题的探究，注重对教材的挖掘和利用，好多好的高考试题都源于教材，而高于教材，是对教材的二次开发和再利用，因此一定要用好教材，加强对课本的研究.另外要加强对往届高考试题的研究，从中发现命题的特点，找出命题的规律，进行有效复习.

总之，对于2016年全国高考回归全国卷，由于分省独立命题的时间较长，一时间很难适应全国卷的特点等，还是要多研究近几年的高考试题，以不变应万变.