赵曜

定积分及微积分基本定理由于各地高考考纲中对考生的要求较低，其在高考中的相关题目大多为基础题型.然而这并不意味着这方面的知识不需要多加练习并熟练运用，因为在高考题尤其是压轴题的不等式证明中，联系定积分及其几何意义往往会有出奇制胜的神奇效果.

先来看一道例题.

例1 证明：12+13+…+1n

分析1 本题要证的结论是一个十分优美的不等式，而且此不等式在近年高考中以不同形式多次出现并要求考生证明.例如，2014年高考陕西卷理科数学压轴题、2015年高考广东卷理科数学压轴题的证题核心都是上述不等式.

传统的证明方法是将不等式右边裂项，并与左边一一对应寻找关系构造函数求解.

证明1 设函数f（x）=x+ln（1-x），x∈（0，1）时，f′（x）=1-11-x=-x1-x<0，f（x）单调递减，所以f（x）

取x=1n∈（0，1），n∈N+，则有1n

分析2 仔细观察原不等式，不难发现左边的和式中每一项都是函数f（x）=1x的函数值，而右侧则是函数g（x）=lnx的函数值，从而考虑将其看作原函数与导函数，这样一来右侧的原函数便可以看作对导函数的一个积分，再设法将左边与面积相联系，得到如下解法.

证明2 作f（x）=1x的图像（图1），设点（n-1，0），（n-1，1n），（n，0），（n，1n），（n∈N+且n≥2）围成的n个矩形的面积之和（即图中阴影部分）为S1，曲线y=1x，x∈[1，n]与x轴围成的曲边梯形面积为S2，根据图像显然有S2>S1.

又由于S1=1×12+1×13+…+1×1n=

∑ni=21i，S2=∫n11xdx=lnn所以原不等式得证.图1

从上面的证明中，相信大家已经领略到了积分法证明不等式的优美之处.虽然比较之下函数构造法的复杂度不高、计算量也不大，但在分析问题的过程中，通过一目了然的函数图像，积分法的思路显得远比函数法简洁且易于捕捉.

在上题中，定积分的主要作用在于赋予不等式中某一项或几项几何意义，然后再通过面积的比较直截了当地证明原不等式.下面的这道例题也使用了这种方法，不过在面积的比较上使用了一些技巧.

例2 设函数f（x）=ln（x+1），若-1f（x）-f（x2）x-x2是否恒成立？证明你的结论.

分析与证明 看到此题要证明的不等式结构，很容易联想到曲线割线的斜率.如果作出f（x）=lnx的图像，不难看出结论是显然成立的，但若要利用割线斜率来证明此题需要使用到拉格朗日中值定理，而中值定理却并不属于高考涉及的知识.

因此重新观察原不等式.注意到函数f（x）结构十分简单，因而如果熟练掌握利用定积分证明不等式的思想，不难想到将原函数函数值之差转化为导函数f′（x）=1x+1的定积分.如此一来，原不等式化为如下形式：

∫xx1f′（x）dxx-x1>∫x2xf′（x）dxx2-x.（*）

转化之后，下一步便是同上题一样作出f′（x）图像，联系上式积分式的几何意义，尝试寻找与面积相关的关系.

如图2所示，取点A，B，C，D，E，F，则∫xx1f′（x）dx即为曲边体形AEFD的面积，设为S1；同理设S2=SEBCF=∫x2xf′（x）dx.同时又有DF=x-x1，FC=x2-x.于是（*）式又进一步化为

S1DF>S2CF.图2

由于不易直接判断两边分式的大小，考虑借助中间量EF.过E作MN平行于x轴交直线AD、CB于M，N，注意到

S1DF>SMEFDDF=EF=SENCFCF>S2CF，

所以原不等式得证.

此题为湖南长沙高考模拟的一道理科数学压轴题，原题答案给出的证明方法是通过构造函数分别比较不等式两边与1x+1的大小.事实上，在上述证明中，中间量线段EF的长对应的值即为f′（x）=1x+1.尽管这两种方法看上去异曲同工，但在实际解题过程中，中间量的寻找难度却相差很大.定积分把抽象的代数式转化为了具体的几何图形及其面积，大大降低了寻找中间量的难度，从而有效地保证了解题思路的流畅连贯，不至使思路受阻而无法解出此题.

这两道例题的方法相似，都是通过面积的比较直接证明不等式.可以用这类方法解决的题目，其所求证的不等式大多具有较为明显的结构特点：如例题一，原函数与导函数同时出现在不等式中；或如例题二，不等式或变形后的不等式中涉及函数值之差.在这类问题的解决过程中积分法一旦能够有用武之地，它的优势通常都是十分显著的.这是因为此类题目在出题时制定的标准答案多为导数方法，题目的难点和易错点也大都存在于函数的构造、导数的计算等过程中，因而使用定积分常常能够巧妙的避开这些困难之处另辟蹊径，更加有效地逼近答案.

但定积分在不等式证明中的作用绝不仅限于此.我们知道，放缩是不等式证明中最重要最有效的方法之一，实际上利用定积分也可以实现对不等式的“放缩”.常见的放缩是通过添加、删除或改变常数、代数式等来实现，而接下来要介绍的方法则是对整个命题进行强化，其实质都是通过证明原命题的充分不必要条件来达到证明原命题的目的.

例3 已知函数f（x）=xex，求证：对任意x∈（0，1），f（1-x）

分析1 先化简原命题，代入自变量得1-xe1-x<1+xe1+x，整理得e2x<1+x1-x，尝试作差并构造函数证明.但二次求导之后发现构造出的函数难以研究其单调性，因此重新对原不等式进行变形，寻找易于处理的形式，并再次二次求导证明单调性.

证明1 要证1-xe1-x<1+xe1+x，只需证（1-x）e2x-（1+x）<0，设函数g（x）=（1-x）e2x-（1+x），x∈（0，1），则g′（x）=e2x-2xe2x-1，g′′（x）=-4xe2x<0，所以g′（x）单调递减，所以g′（x）

证明2 要证原命题，即证f（1）-f（1-x）>

-[f（1+x）-f（1）]，即∫11-xf′（t）dt>∫1+x1[-f′（t）]dt，强化命题，只需证对任意x∈（0，1），f′（1-x）>-f′（1+x）

即证1-（1-x）e1-x>-1-（1+x）e1+x，即xe1-x>xe1+x显然成立，所以原不等式得证.

证明2中对命题的一次强化正确性是比较显然的.由于不等号两边积分式的积分区间长度相同，如果保证了左段函数值总是“对应地”（关于直线x=1对称地）大于右段函数值，那么函数左段的定积分自然也大于右段的定积分.或者更为直观地说：设两曲边梯形A和B等底，使A和B的底边重合，若A的上轮廓总是高于B的上轮廓，A的面积当然要大于B的面积.这其实类似于立体几何中的祖暅定理.

基于这个结论，我们把对原函数函数值的比较转化为了对导函数函数值的比较，从而极大地降低了证明的难度，得到了一个甚至直接观察就可以证明的不等式.相比之下，第一种方法首先需要进行多次变形的尝试以找到一个易于构造函数、构造出的函数易于分析的不等式结构，然后又需要计算二阶导数来分析函数单调性并利用单调性证明原不等式，显得十分的复杂、繁琐.

以上的三道例题充分证明了定积分在不等式证明中是一个化繁为简、出奇制胜的有力工具，而不仅仅是一个在高考中只能用来解答基础题的知识.利用定积分证明不等式不仅能降低证明的难度，更能使证明过程更加简洁、优美，在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，必能获得事半功倍的效果.