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必修5中的两个有趣的数列

2015-12-02连毅端��

中学数学杂志(高中版) 2015年6期
关键词:那契公比偶数

连毅端��

在必修5的数列部分中,课后的“阅读与思考”涉及到两个数列:斐波那契数列与九连环数列,其中斐波那契数列的通项公式的求解没有给出,而有关九连环的数列的通项公式的求解过程很多学生反映不好理解,介于此,本文重点就如何求两个有趣数列的通项公式,以飨读者.

首先我们来看如何求斐波那契数列的通项公式an,这里介绍两个方法:待定系数法与特征方程法.

已知斐波那契数列{an}满足a1=a2=1,an+2=an+1+an,求an.

解法一 待定系数法

解 由an+2-αan+1=β(an+1-αan),得an+2=(α+β)an+1-αβan,

令α+β=1

αβ=-1α=1-52

β=1+52

从而an+2-1-52an+1=1+52(an+1-1-52an),即an+2-1-52an+1an+1-1-52an=1+52.

所以an+1-1-52an为等比数列,公比是1+52,首项=a2-1-52a1=1+52

所以an+1-1-52an=1+52·1+52n-1,

an+1-1-52an=1+52n,

an+11+52n-1-52·an1+52n=1.

an+11+52n--3+52·an1+52n-1=1.

bn=an1+52n-1,bn+1=5-32bn+1.

利用待定系数法可知:bn=5-510(5-32)n-1+5+510,所以an1+52n-1=5-510·5-32n-1+5+510,经整理得:an=15(1+52)n-15(1-52)n.

解法2 特征方程法

解 特征方程:x2-x-1=0的特征根是x1,2=1±52.

设an=A1·(1+52)n-1+A2·(1-52)n-1,A1+A2=1,

A1·1+52+A2·1-52=1, 得

A1=15·1+52,

A2=-15·1-52.

an=15(1+52)n-15(1-52)n.

通过求出的通项公式,我们会发现一个有趣的现象:这样一个完全是自然数的数列,通项公式却是用无理数来表达的,这是用无理数表示有理数的一个范例,而与斐波那契数列相关的有趣内容读者可以网上查阅.

接下来再看如何求九连环数列的通项公式.

已知九连环数列{an}满足a1=1,a2=2,an=an-1+2an-2+1(n≥3),求an

解 an=an-1+2an-2+1(n≥3),

an+an-1+1=2(an-1+an-2+1),

an+an-1+1an-1+an-2+1=2,

所以数列{an+an-1+1}为等比数列,公比为2,首项是4.

an+an-1+1=4·2n-2=2n,

an+an-1=2n-1, ①

an+1+an=2n+1-1. ②

由②-①:an+1-an-1=2n,

当n=2k时,

a2k+1-a2k-1=22k,

a3-a1=22,

a5-a3=24,

a7-a5=26,

a2k+1-a2k-1=22k,

a2k+1-a1=22-22k·221-22,

a2k+1=22k+2-13,

所以an=2n+1-13(n为奇数).

当n=2k+1时,a2k+2-a2k=22k+1,

a4-a2=23,

a6-a4=25,

a2k+2-a2k=22k+1,

所以a2k+2-2=23-22k+1·221-22,

a2k+2=22k+3-23,

所以an=2n+1-23(n为偶数),

所以an=2n+1-13,(n为奇数)

2n+1-23,(n为偶数)

从而a9=13(29+1-1)=341,即解九连环最少需要移动圆环341次.

通过课本的这两个例子,我们从中可以挖掘出很多有趣的内容,这些内容也是学生很感兴趣的,因此,课本的“阅读与思考”可以作为很好的课题让学生拓展知识面,值得每一个学生去探索.

作者简介 连毅端,男,福建泉州人,石狮市优秀教师.

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