文卫星

教学目标

1.理解数学归纳法的原理，了解完全归纳法与不完全归纳法的联系与区别；

2.用数学归纳法证题时能规范书写；

3.能体验数学归纳法的本质是用有限步的证明达到无限步验证，完成了从有限到无限的过渡.感悟数学归纳法是中国文化（善于归纳）与西方文化（长于推理）的完美结合.

教学重点数学归纳法原理的理解和证明过程的规范书写.

教学难点数学归纳法原理的理解.

教学过程

一、实例引入，提出问题

师：我们班有48名同学，有48个学号.第1号是女同学，第2是女同学，第3号是女同学，……，第25号还是女同学，按照这个规律排下去，咱班就都是女生了.

（设计目的 运用生活中实例说明不完全归纳法得到的结论不一定正确，既说明道理又有趣.受到女生欢迎而遭到男生“抗议”.）

师：看来刚才这种从特殊到一般的归纳是不对的，犯了以偏概全的错误.从这儿我们得到两个结论：

（1）我们班学号在1～25号的都是女同学；

（2）我们班都是女同学.

第一个结论是正确的.结论的内容是根据学号在前25的事实所作的完全概括，没有越出已知的事实，因此是正确的.这种把研究对象一一都考查到了的推理方法叫做完全归纳法.

第二个结论是不正确的.因为学号为26号是男生，这种根据部分事实推出更加一般的事实的推理方法叫做不完全归纳法.由不完全归纳法得到的结论不一定正确.

师：刚才是生活中的例子，再看数学中的例子：

在数列{an}中，若a1=1，an+1=12-an（n∈N*），求{an}的通项公式.

（设计目的 本题学生不会直接解答，但通过不完全归纳法很快得到：a1=1，a2=1，

a3=1，…，猜想an=1）

师：以上虽然得到an=1，但没有给出严格证明，这在数学上还不能被认为是正确的.怎么证明这个看似显然的结论？总不能一一验证下去，要另辟蹊径.[JP〗

二、生活经验，探索问题

师：张先生的儿子姓什么？（预设：有的说按传统习惯，姓氏在男性亲属中具有“遗传性”，张先生的儿子应该姓张.有的说，不一定，按法律规定他儿子也可以随母亲姓）

师：大家说的有道理.假如他儿子姓张，且要使他以后的各代孙子都姓张，需要满足什么条件？

（学生讨论预设：要保证他以后各代孙子都姓张，一是他家各代一定要有男孩，二是即要生男孩，还要孩子必须随父姓.然后请一个学生发言）

生：以后各代都有男孩，且都子随父姓.

姓氏遗传性正整数命题

奠基孔子姓孔当n=n0时，命题正确

递推

子随父姓，

代代相传设n=k（k∈N*且k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立

结论

孔子后代都姓孔命题从n0起的所有正整数n，结论都成立

（设计目的 用生活中的事例引入，一是能调动学生参与的兴趣，二是能把这些例子迁移到教学中，促进与加深对所学内容的理解）

师：对，子随父性，代代相传.但在目前的计划生育政策的条件下，一般人很难保证做到（当然也没有必要做到），但圣人孔子家族能做到吗？

我们来考察孔子后代姓什么.由于孔子大陆的后代受计划生育影响，不妨考察他的海外后代姓氏情况.

孔子的第80代孙子有的现居住在海外，按目前情况判断，孔子的80代孙及以后各代孙子都姓孔，这话对吗？

生：对，因为生活在大陆以外的华人不受计划生育政策的影响，且有子随父姓的习惯，至于每代都有男孩，根据遗传学规律，应该不成问题.

师：我们能从这个生活中的问题中提炼出什么？设法把它抽象成数学问题（学生讨论，教师参与，预设学生形成结论：人的代数是正整数，某位男子姓什么，由于子随父姓，代代相传，那么他的后代也姓什么，然后类比到正整数的命题.把结论整理成表，见上）

三、类比规律，生成原理

数学归纳法原理：对涉及正整数n的命题，若能证明：

（1）当n取第一个值n0（n0∈N*）时，命题成立；

（2）设n=k（k∈N*且k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，就可以断言该命题从n0起的所有正整数n结论都成立.这种方法为数学归纳法.

师：同学们请注意，递推步中为何要设“当n=k时”，而不是n=其它的字母？

生：用什么字母无所谓，不用k，就用s、t等都可以.

师：是否因为孔子的“孔”汉语拼音声母是“k”，就用“k”了！

（这当然是玩笑，目的是调节课堂气氛，同时引起学生对这一步的关注）

四、学以致用，初尝战果

例1 设数列{an}的公差为d，用数学归纳法证明：an=a1+（n-1）d.

例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+（2n-1）=n2.

（设计目的 让学生尝试用数学归纳法解题，主要观察其解题格式是否规范，是否忽略第一步，第二步是否用归纳假设.例2第二步学生会使用等差数列的求和公式而导致“假证”，用实物投影仪展示学生的典型错误，最后教师在黑板上规范写出解答过程，让学生一同书写）

阅读材料2则：

阅读1 数学魔术：0=1！

设n∈N*，先证：2+4+6+…+2n=n2+n+1.设n=k时命题成立，即2+4+6+…+2k=k2+k+1，则n=k+1时，2+4+6+…+2k+2（k+1）=k2+k+1+2（k+1）=（k+1）2+（k+1）+1，命题也成立，因而对n∈N*，2+4+6+…+2n=n2+n+1成立.又由等差数列求和公式得2+4+6+…+2n=n2+n，所以0=1.

阅读2 设f（n）=4729494n+1，当n∈N*时，它是一个完全平方数吗？

依次令n=1、2、3…等自然数，开始的时候，可以计算出f（n）的值都不是一个完全平方数，这样下去到n是一个41位的数，即当n=50、549、485、234、315、033、074、477、819、735、540、408、986、339时，所得f（n）的右边也不是一个完全平方式，考察了这么多次，似乎可以下结论：不论n是任何自然数，f（n）的值都不可能是一个完全平方数，但有人发现当取值在增加1时，即n=50、549、485、234、315、033、074、477、819、735、540、408、986、339、340的时候，f（n）=109、931、986、732、829、734、979、866、232、821、433、543、901、088、049，它是一个45位数的完全平方数.（洪波，《怎样应用数学归纳法》上海教育出版社，1979年7月版）

通过带领学生阅读，分析错误原因，强调用数学归纳法解题两个步骤缺一不可.同时这两个例子也很有趣，可以活跃课堂气氛（因为这时通常在下半节课，学生会疲劳）.

五、归纳总结，追求理性

通过上述二例已经看到数学归纳法的妙用，以下先总结用数学归纳法解题步骤及格式规范：

（1）验证n=1时，命题成立

（2）假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立二者缺一不可（3）结论：对一切的正整数n，命题都成立

再对数学归纳法作更深入的理解：

归，特殊入手规律窥.再猜想，凯旋而回.

纳，理性思索求通法.两步论，不容出差（cha读去声）.

法，归纳递推行天下.正整数，一个不落（la读去声）.

妙！两步完成无穷跳.有思想，还看今朝！

六、解答引例，巩固提高

引例（2）解 a1=1，a2=1，a3=1，…，猜想an=1.

证明：①当n=1时，已经验证猜想正确.

②设n=k（k∈N*且k≥1），ak=1成立，则当n=k+1时，

ak+1=12-ak=12-1=1，即当n=k+1时，猜想也成立.

由①、②知，an=1（n∈N*）都成立.

本例中的黑体字在前面例题中也一样要强调.

七、梳理知识，形成思想

1.归纳法归纳法

2.中国数学归纳法原理

老子在《道德经》说：“道生一，一生二，二生三，三生万物.”类似例子又如愚公所说：“子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有孙；子子孙孙无穷匮也.”这些都是中国数学归纳法原理.祖先的这些原理都是宏观的，显示古代中国人的智慧，只是由于时代的局限缺乏具体的操作性，而西方人的数学归纳法原理则给我们解决问题提供具体方法，即通过两步论证替代需要无限步验证的难题.这是人类智慧的结晶！

最后，我们用一幅对联来结束本课：

一生二，二生三，三生万物

父生子，子生孙，孙生万代

生生不息.