《普通高中数学课程标准（实验）》第七条指出，“要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里”[1].可以说，把握教学内容本质是实现有效教学的根基.不论课堂教学形式怎样变化，教师教学技能多么高超，如果一个教师不能深刻认识并准确把握教学内容的本质，就不能引导学生发现并理解所学内容的本质，也就不能实现学习中的有效迁移.

因此，教师必须深刻理解所教内容的本质，把握知识之间的纵横联系，并在教学中，合理选用、恰当运用教学方法或方式，引导学生学会运用联系的观点指导数学学习，认识内容本质，并在持续的学习中通过相互诠释意义，进一步深刻理解这一本质，进而在学习相关内容过程中实现思维的“正迁移”，从而不断提高学习能力和创新能力.

1 提出问题

例如“等比数列的前n项和”是数列这一章的重要内容之一，特别是等比数列前n项和公式及其推导更是重中之重.在众多的推导方法中，教材中选择的所谓“错位相减法”尤为重要，主要是因为此法可以解决一类数列求和问题，更具有一般性.

但是在实际教学中，很多教师都对这个公式推导过程中，等式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1（q≠0，1）两边同时乘以公比q感到难以理解，学生更是在这种模模糊糊、似懂非懂的教学中感到一头雾水，最后只得记住结论会应用、记住步骤会操作罢了.到底乘以公比q是怎么想到的？理论根源到底是什么却始终不能参透.

有的教师认为：“错位相减法”的本质可以类比等差数列前n项和公式推导过程中的“倒序相加法”，即构造一个新的式子，通过两式的线性运算，得到一组常数列，从而推出公式.但是此种说法还是不能很自然地解释“等式两边同时乘以公比q是如何想到”的.那么等比数列前n项和公式的推导方法到底是如何想到的呢？

2 本质探寻

我们先来看下面的事实.

在整式乘法中，平方差公式是一个重要的恒等式，我们总是习惯写成如下形式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

其实，如果写成（a-b）（a+b）=a2-b2的形式，通过类比会得到下面一系列式子：

（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3，

（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4，

……

（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=an-bn.

如果我们令上式中的a=1，b=q，就得到下面的式子：

（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）=1-qn.

对比等比数列前n项和的式子Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，不难发现：如果等式的右边提出公因式a1，等式就变成了Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）的形式.而其中的一部分因式与等式（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）=1-qn中的一部分因式完全相同.于是就会想到，如果在等式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1的两边同都乘以1-q，便会得到：

（1-q）Sn=a1（1-q）（1+q+q2+…+qn-1）. （1）

即（1-q）Sn=a1（1-qn），当q≠1时，就得到了等比数列的前n项和公式的一种表达式.

观察（1）式还可以发现，此式可以看成是在等式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 （2）两边同时乘以公比q，得到等式qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn （3），然后（2）和（3）两式再对应相减而得到的.至于为什么要“错一位”，则是在等式相减的过程中，注意到了两个式子中有一些相同项，为了两式做减法更为方便直观而进行的一种“技术操作”.

因此，“错位相减法”的本质问题也就是教学难点，既不在于错位，也不在于相减，而是为什么要在等式（2）两边同时乘以公比q，理解了这个本质问题，“错位相减”这一方法就会显得自然而然.

至此，我们看到了在推导等比数列前n项和公式中“等式两边同时乘以公比q是如何想到的”这一本质问题的内因.教学中，如果能够抓住这个本质问题，就可以在此基础上，探索出新的推导方法.比如：

因为Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，

变形得Sn=a1+q（a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2），

即Sn=a1+qSn-1.

进一步变形可以得到Sn=a1+q（Sn-1+a1qn-1-a1qn-1），

即Sn=a1+q（Sn-a1qn-1）.

移项得到（1-q）Sn=a1（1-qn），以下略.

3 基本结论

“大道至简”，从上面对等比数列前n项和公式推导过程中所运用的“错位相减法”本质的认识和理解过程，我们不难看出，对方法的数学本质的认识越是深刻，对数学方法本身的理解就越会是自然的，越会觉得这个方法是简单的，而这样自然简单的方法当然是值得推广的，至少可以解决一类这样的问题.

尽管“学之道在于悟”，但是如果缺少了教师适时、适当、适度地点拨和指导，学生又如何想的深、悟的透.仅仅依赖学生自身领悟能力的“悟”，必然导致让学生在大量机械重复的练习中，自己去感悟所学内容本质的情形，耗时费力，效果甚微[2].

章建跃博士在文章《追求数学课堂的本来面目》提出了“三个理解”的观点，即理解数学、理解学生、理解教学这一有效教学的观点，其中，理解数学是第一位的.因此，深刻把握数学教学内容的本质，准确抓住教学过程的真实问题是教师科学施教的根基.

深刻理解数学教学内容的本质，需要教师认真研读整节、整章、乃至整个学科的全套教材，将本节课的内容放置于一章、一个模块甚至整个中学数学知识体系中来审视，明了本节知识在整个中学数学知识体系中的地位和作用，明晰知识之间纵向联系和横向联系[3].特别是，要充分利用先行知识为后续学习的知识提供稳定的认知固着点，并能够有效利用后续的知识较为全面和理性地诠释先行的知识，从而做到在整体上和系统上准确把握教材，引导学生理解内容本质，解决真实问题，这样做也可以避免一步到位，提高教材使用的有效性.

例如，三角函数起源并服务于平面几何，是圆的几何性质的一种解析表达.而三角公式实质上就“脱胎”于几何命题.为了促进学生抓住三角函数的“灵魂”，避免把公式的理解陷于机械记忆与训练的窠臼，教师需要设计有效的教学情境，增强学生的直观操作和感性认识，使学生不仅能够看到形式公式内部隐藏的几何背景，还可以使学生感悟到平面几何法研究三角的真正价值，并且领悟到知识的形式演变与研究动机之间的内在联系[4].同时，教师还要抓住三角函数与向量、函数等相关知识之间的联系，促进学生系统认识和整体把握知识.

当然，深刻理解数学教学内容的本质，还需要教师认真仔细地分析教材的编写意图，特别是要深入体会教材中一些重要栏目的教法预设，明确这些栏目的教学作用.另外，在教学设计与实施的过程中，教师还应该具有文献研究意识，对某一数学教学内容的发展历史、相关内容的教学研究现状以及存在的问题进行文献梳理，在充分研究的基础上结合自身的教学经验，创造性的开展教学设计与实施.正如我国数学家华罗庚先生所重视和提倡的，教学不是为了创造新知识，而是为了更有效的传承知识，汲取前人的经验和智慧.

可以说，基于数学教学内容本质理解基础上的纵横关联、互相诠释是培养学生理性精神和发展学生思维品质的有效方法.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2]章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考[J].数学通报，2011.6.

[3]章建跃.数学教育改革中几个问题的思考[J].数学通报，2005.7.

[4]徐章韬.面向教学的数学知识——基于数学发生发展的视角[M].北京：科学出版

社，2013.119-123

作者简介 白雪峰，男，1972年生，北京人，中学高级教师，北京市优秀教师，北京市特级教师，北京数学会理事.主要从事中学数学教师培训和中学数学教育教学研究工作.在全国中学数学青年教师教学观摩与评比中获一等奖，主持或参与了国家、市区多个课题的研究工作，多篇论文获得全国和北京市一等奖.近年主编了《教师教学基本能力解读与训练（中学数学）》《帮你迈好教师职业生涯第一步》等教师培训教材，参与编写了《数学思想方法指导下的初中数学教学》等10余部论著，发表数学教学论文40余篇.