李荣

摘 要 作物生长模型指根据作物生长规律对作物生长过程进行定量模拟，是对作物生理过程与其外部环境之间关系的抽象概括。探究了应用于作物生长模拟的5种生长方程的数学解析性，在模拟作物生长时各生长方程均表现出较好的模拟性。不同生长方程其模拟精度不同，Korf>Richards>Gompertz>Logistic>Mitscherlich；Korf方程比Richards方程能准确地解析作物生长的特性，更适宜用于探索作物生长的变化规律。

关键词 作物生长方程；数学模型；应用

中图分类号：S311 文献标志码：A 文章编号：1673-890X（2015）30-0-02

在对作物生理生态机理认知的不断深入和计算机技术的应用的基础上，作物生长模型的研究得到进一步的探究。作物生长模型是通过计算机进行量化研究和精确控制，采用数学模型来表达作物生理生态机理及生长规律[1]。作物生长方程类型主要包括Gompertz[2，3]、Mitscherlich（单分子式）[4，5]、Logistic[6，7]、Richards[8，9]和Korf[10，11]5种方程。本文对不同生长方程的解析式进行研究，探索各生长方程对作物生长的适用特征，筛选出能模拟作物生长的最佳方程，并推动其发展，从而得以科学地应用。

1 作物生长方程的研究进展

作物生长方程的建立是为研究在特定栽培措施下作物全生育期或某一生育期的某些生长特征变化过程的模拟，通过数量描述与作物生态及气象因子进行综合分析，来探究作物生长其内在规律。这既能预测作物在大田的生长状况，又能为作物高产提供理论参考。如能结合本地区生产实际，可更好地采取相关措施指导农业生产。作物生长方程可分为两大类[12]：（1）理论方程，其逻辑性强，方程参数意义明确，被应用于模型作物的生长状况。Brody（1954）提出了作物生长前期自加速阶段和生长后期自抑制阶段，即生长曲线的二阶段性，他用数学模型来描述作物生长曲线的二阶性[13]。之后又有学者探索出Richards模型、Gompertz模型和Logistic模型[14]。Richards模型较少使用，主要是模型参数较多；而Logistic模型和Gompertz模型被广泛采用，原因在于拟合作物生长效果好，在生长率、最大生长量等方面更能反映作物间的差异。此外，Mitscherlich和Korf方程也是应用较多的作物生长方程。

2 生长方程解析式

5种作物生长方程的数学解析式分别表示如下。Logistic作物生长方程：Y=A×exp[1+a×exp（-bx）]。Gompertz作物生长方程：Y=A×exp[-a×exp（-bx）]。Richards作物生长方程：Y=A×exp[1-exp（-bx）]a。Mitscherlich作物生长方程：Y=A×exp[1-exp（a-bx）]；Korf作物生长方程：。以上公式中，x为作物生长日数，Y为拟合因变量，A、a、b分别为生长方程参数。

2.1 Logistic和Gompertz方程

在Logistic生长方程中，A为作物株高最大值，a、b为待定系数（a>0，b<0）。当x为lna/b时为作物株高达到最大生长率时所需天数；Y为A/2时表示作物株高拐点，此时最大生长速率为Ab/4，该模拟方程的速生区间为{1/cln[b/（2+）]，1/cln[2eb/（2-）]}。在Gompertz生长方程中，A为作物株高的最大值，a、b为待定系数（a>0，b<0）。当x为b/c时，此时x为作物株高达到最大生长率时所需天数，Y为a/λ时作物株高的拐点，最大生长速率为ac/λ，该模拟方程的速生区间为{1/cln[2eb/（3+）]，{1/cln[2eb/（3-）]}。Logistic和Gompertz方程不仅能描述作物生长过程的良好特性，而且能据此反映作物生长规律的特征值，这些重要信息具有显式解，可直接求得并与实际值相近。对建立株型育种、生理育种、系统育种相结合的高效育种体系具有重要意义。

2.2 生长方程的数学性质及彼此关系

采用五种生长方程模型对作物生长进行模拟发现，对Richards作物生长方程（A、b、k均大于0）来说，有以下几种情形：当m小于1时为Richards方程的解析式y=A（1-be-kx）；当m 大于1时为Logistic模型y=A（1-be-kx）；当m等于0时为Mitscherlich方程的解析式y=A（1-bekx）；当m等于2时为Logistic方程的解析式y=A（1+be-kx）-1；当m趋近于1时变为Gompertz方程的解析式y=A×exp[-k×exp（-bx）]；当Korf方程中参数c趋近于无穷大时变为Gompertz方程解析式。

3 最优模型的筛选及检验与评价

根据所选作物不同指标，对所研究的五种作物生长方程进行迭代，估计参数A、a和b值。根据拟合度来评价其作物生长模拟效果。拟合度越接近于1，说明生长非常拟合效果越好[15-16]。诸多研究[17-21]表明，评价作物生长模型的拟合精度，其观测值与预测值间的决定系数越大，作物生长模型的拟合效果越好。尤海磊等[22]研究发现，在模拟作物生长时5种生长方程均表现出较好的模拟效果。同一作物生长方程采用不同的数据进行拟合，其作物生长方程的拟合精度也各异，不同作物生长方程其模拟精度不同，其拟合精度Korf>Richards>Gompertz>Logistic>Mitscherlich；同时，Korf方程比Richards方程能准确地解析作物生长的特性，更适宜用于探索作物生长的变化规律。

参考文献

[1]张正，李军，毕务良.玉米植株叶片着生高度的数学模型[J].首都师范大学学报，2006（8）：3-6.

[2]Charles P W. The GompertzCurve As AGrowth Curve[J].Proceedings of the National Academy of Sciences，1932，18（1）：1-9.

[3]吴承祯，洪伟.杉木人工林直径结构模型的研究[J].福建林学院学报，1998，18（2）： 10-113.

[4]Mitscherlich E A. Problems of Plant Growth[J].LandwirtschaftlicheJahrbucher，1919（53）：167-182.

[5]Ricker W E. Growth Rates and Models[J]. Fish Physiol，1979（8）：677-743.

[6]李文灿.对Logistic方程的再认识[J].北京林业大学学报，1990，12（2）：121-127.

[7]Klars von Gadow， GangyingHui. Modelling Forest Development[M].Germany：CUVILLIER ERLAG Goettingen，1998.

[8]Richards F J. Aflexible growth function for empirical use[J].J Exp Bot， 1959，10（29）：290-300.

[9]Ishikawa， Y. Analysis of the Diameter Distribution Using the RICHARDSD is Tribution Function（Ⅲ）[J]. Relationship BetweenmeanDiameter or DameterVariance and Parameter Mor Kof Uniform and Even-aged Stands.J Plann，1998（31）：15-18.

[10]Kiviste AK. Mathematical Functions of Forest Growth[M].Russion：Estonian Agricultural Academy，1988

[11]Zeide B. Accuracy of Equations Describing Diameter Growth[J].Can J For Res，1989（19）：1283-1286

[12]Yaussy A D. Comparison of An Empirical Forest Growth and Yield Simulator and AForest Gap Simulator Using Actual 30-year Growth from two Even-aged Forests in Kentucky[J].Forest Ecology and Management，2000（126）：122-129.

[13]Bohren BB.Comparison of Proposed Growth Curves Functionsin Chickens[J].Growth，1982（46）：259-274.

[14]Grossman M， Koops WJ. Multi-phasic Analysis of Growth Curvesin Chichens[J].PoultryScience，1988（67）：33-42.

[15]林忠辉，莫兴国，项月琴.作物生长模型研究综述[J].作物学报，2003（9）：750-758.

[16]胡希远.SAS与统计分析[M].杨凌：西北农林科技大学出版社，2007.

[17]盖钧益.试验统计方法[M].北京：中国农业出版社，2000.

[18]殷祚云.Logistic曲线拟合方法研究[J].数理统计与管理，2002（1）：41-46.

[19]丁思统，廖为明，董军，等.关于数学模型的评价与检验[J].江西农学大学学报，2006（8）：641-644.

[20]王沪闽.毛竹出笋数学模型的研究[J].林业勘察设计（福建），2007（1）：154-156.

[21]郑秀琴，冯利平，刘荣花，等.冬小麦产量形成模拟模型研究[J].作物学报，2006（2）：260-266.

[22]尤海磊，胡希远，高金锋，等.不同荞麦品种生长模型和生长特性的比较研究[J].干旱地区农业研究，2010，28（2）：53-58.

（责任编辑：赵中正）