曹松峰

运用方程、不等式、函数等主干知识，通过建立数学模型，解决简单的实际问题，是初中数学学习的核心内容，因而成为考查学生分析、解决问题能力的重要载体.令人遗憾的是，由于部分学生基础知识、基本技能未能很好掌握，思维缺乏全面性和深刻性，运用数学思想方法的自觉性不足等，在做题时往往出错，会而不对、对而不全的现象时有发生.因此，剖析中考试卷中实际问题的错解成因，探求纠正的有效措施，就显得尤为必要，

一、不能正确提取数量关系

真正弄懂题意是正确解题的关键，迅速、精准地将文字语言用数学符号表征出来，实际问题就解决了一半.但不少学生没有养成良好的解题习惯，不能认真审题，抓不住关键词语，不能正确提取数量关系.在建立数学模型时，经常张冠李戴，把数字、字母或运算符号看错或漏掉，导致思维受阻或解题失误.

例1 （2014.吉林）小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑自行车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以晚10分钟从家出发，结果与原来到校的时间相同.设小军骑车的速度为x千米/时，则所列方程正确的为（）.

错解：C或D.

错因辨析：数量关系式没列对，单位不统一.速度的单位为千米/时，应将10分钟换算为1小时.

正解：B.

例2 （2013.安顺）某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提前5个月完成这一工程.原计划完成这一工程的时间是多少个月？

错解1：设原计划完成这一工程的时间为x个月，则（1+20%）x=x-5，解得x=-25.

错解2：设原计划完成这一工程的时间为x个月，则（1+20%）·1/x=1/x-5

错解：解这个方程，得x=30.答：略.

错因辨析：错解1没有根据“工作总量=工作效率×工作时间”的数量关系建立方程，错解2忽略了求解分式方程中的验根步骤.

正解：设原计划完成这一工程的时间为x个月，则（1+20%）·1/x=1/x-5，解这个方程，得x=30.经检验，所列方程的根为x=30.答：略，

二、忽视实际问题的条件

在一些实际问题中，所关涉的数学符号大都被赋予一定的实际意义，具有特定的取值范围.在解题过程中，不但应使其所构成的式子有意义，而且还需符合题目的条件和要求.不注意这一点，就很容易出现漏解、多解或错解.

例3 （2013.珠海）某渔船出海捕鱼，2010年平均每次捕鱼量为10吨，2012年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2010年～2012年每次捕鱼量的年平均下降率.

错解：设2010年—2012年捕鱼量的年平均下降率为x，依题意列方程，得10（l-x）2=8.1，解得x1=O.l=lO%，x2=1.9=190%.

错因辨析：捕鱼量的下降率最大降到100%，不可能超过100%，X2=1.9应舍去.

正解：同上，设元、列式，求得x值为x=10%，X2=190%，然后舍去X2=190%.

例4 （2014.新疆）如图1，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏同成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米.

错解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100 -4x）米.依题意得x（100-4x）=400，解得x1=20，x2=5.则l00-4x=20或l00-4x=80.答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米或5米、80米.

错因辨析：忽略“墙长为25米”的条件，没有对求出的两个x值是否都符合题意进行检验，

正解：设元，列式，求解，分别得到x，l00-4x的两组值，同上，因80>25，故x2=5舍去.即AB=20，BC=20.答：羊圈的边长AB，BC均为20米.

例5 （2014-长沙）某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销量y（件）与销售价x（元）的关系近似地看作一次函数如图2所示.

（1）求y与x的函数关系式.

（2）设公司获得的总利润（总利润=总销售额一总成本）为p元，求p与x之间的函数关系式，根据题意判断，当x取何值时，p的值最大？最大值是多少？

错解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，因函数图象过点（60，400）， （70，300），故400=60k+b，解得

300=70k+b.k=-10.故函数关系式为y：一lOx+1 000。b=1000.

（2）由题意，得p=（x一50）（一10x+1000），即p=-10x2+1500x-50000，因-10<0，故当x=-1500/2×（-10）=75时，p有最大值，p最大=-10×752+1500×75=50000=6250（元）.

错解辨析：在（2）的求解中，受思维定式影响，认为二次函数的最值一定在抛物线顶点处取得，没有考虑自变量x的取值范围，题目限定50≤x≤70，而x=75并不在这个范围内，

正解：（1）同上.（2）由题意，得p=（x-50）（-10+1000），即p=-l02+150x-50000.因-lO<0，又50≤x≤70，在对称轴x=75的左侧，p随x的增大而增大，故当x=70时，p有最大值，为6000.

三、缺失分类讨论

当问题具有开放性、不确定性时，需要按照一定的原则或标准，“既不重复又不遗漏”地把问题分为若干类，然后逐类讨论，梳理汇总，进而得出问题的答案，这就是分类讨论，方案设计类问题的求解，时常要运用这种思想方法，忽视分类、不知道如何分类、分类不科学是常见的错误.

例6某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.

（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润.

（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为’一元，

①求y与x的关系式；

②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？

（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0

错解1：（1）设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，则有10a+20b=4000，

20a+lOb=3500.解得a=100，即每台A型、B型电脑的销售利润分别为

b=150.100元、150元.

（2）①依题意，得y=100x+150（100-x），即y=-50+15000；②由100-x≤2x，解得，因y=-50x+15000，-50<0，故y随x的增大而减小，因x为正整数，故当x=34时，y取最大值，此时100-x=66.即商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大.

（3）根据题意得y=（100+m）x+150（100-x），即

错解2：（1）（2）同上.

（3）依题意，得y=（100+m）x+150（100-x），即当oO，y随x的增大而增大.故x=70时，y取得最大值.即商店购进70台A型电脑和30台日型电脑才能获得最大利润.

错因辨析：错解1对含有字母系数m的一次函数最值的讨论无从下手，无果而终；错解2在分类讨沦时，漏掉了m=50的情况，答案不完整，

正解：（1）（2）同上.

（3）依题意，得y=（100+m）x+150（100-x），即y=（m-y随x的增大而减小.故当x=34时，y取得最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润，②当m=50时，m-50=0，y=15000.即商店购进A型电脑数量满足的整数时，均获得最大利润.③当500，y随x的增大而增大.故x=70时，），取得最大值.即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润.

四、不能正确读图、识图

从单一的文字叙述向文字、图形（表）的交汇呈现方式发展，是近年来中考命题的一大特点.不能正确地从图形（表）中抓取有用信息，已成为解答实际问题失分的重要原因之一.

例7（2013.黄冈）钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡逻，某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达.如图3是该艇行驶的路程y（海里）与所用时间t（小时）的函数图象，则该巡逻艇原计划准点

到达的时刻是___.

错解：由图象关系可知，从出发到指定海域所用时间为3小时，故计划准点达到的时刻为4：00.

错因辨析：未能看懂图形，从出发到指定海域所用的时间并不是3小时，也就是说，横坐标3不是整个航行时间的终结，而是一个时间节点.

正解：易知原来速度为80海里/时，故障排除后的速度为100海里/时，设原计划全程所用时间为t小时，则有80t=80+100（t-2），解得t=6，故原计划准点到达的时刻是7：00.

五、缺乏数学活动经验

大多数学生对商品打折销售、银行存款利息、购房分期付款、出租车计价等“生活中的数学”，很少有机会经历和体验，思维滞留于教科书和练习题的固定题型上，一旦遇到“原生态”的实际问题，迷茫、出错就在所难免了.

例8（2014年巴中中考题，有改动）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量将减少10个；定价每减少1元，销售量将增加10个.商店若准备获利2 000元，则应进货多少个？定价为多少元？

错解：设定价为（52+x）元，则每销售一个获利（52+x-40）元，共销售（180-10x）个，依题意，得（52+x-40）.（180-lOx）=2 000，整理，得x2-6x-16=0，解得x1=8，X2=-2（不合题意，舍去），故当x=8时，52+x=52+8=60（元），180-lOx=180-lOx8=100（个）.

错因辨析：认为提价不能为负，将x2=-2舍去，说明对销售中诸如进价、定价、销售数量、利润等数量关系，缺乏全面的认识.

正解：上述错解再补充：当x=-2时，52+x=50（元），180-lOx=200（个）.

例9（2013.襄阳）某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用，该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：

A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；

B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球.

设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）.请解答下列问题：

（1）分别写出yA，yB与x之间的关系式.

（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？

（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案，

错解：（1）由题意，得yA=（lOx30+3xl0x）x0.9=27x+270，yB=lOx30+3（lOx -20）=30x+240.（2）当y4 =yB时，27x+270=30x+240.得x=10；当yA>yB时，27x+270>30x+240，得x<10；当yA10.故当2≤x<10时，到B超市购买划算；当x=10时，两家超市一样划算；当x>10时在A超市购买划算.（3）由（2）知，当x>10时，到A超市购买划算，15>10，故到A超市购买划算.

错因辨析：大多数学生除了用第（2）问的结果判断之外，找不出最佳的购买方案.其原因在于受第（2）问“只在一家购买”这一前提条件的束缚，在平时训练中，类似题目大多是在上一问的基础上直接回答，而错误解答本题第（3）问缺少直接生活经验是症结所在.

正解：（1）（2）同上.（3）由题意知x=15>10，故选择A超市，yA=27x15+270=675（元）.若先选择在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球需要（lOx15-20）x3x0.9=351（元），共需要费用lOx30+351=651（元）.因651<675.故最佳方案是先选择在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A趣市购买130个羽毛球.