李富军

最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题.无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较多的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）、一次函数和二次函数的性质求最值等.由于其解题方法较灵活，综合性强，不少同学时常感到无从下手，下面对常见题型作一归纳，供同学们参考，

一、函数型

利用一次函数的增减性和二次函数图象的对称性及函数的增减性，确定某范围内函数的最大或最小值.

1.利用一次函数的增减性求最值

例1 （2014.黔南州）已知某厂现有A种金属70吨.B种金属52吨，现计划用这两种金属生产M、N两种型号的合金产品共80000套，已知做一套M型号的合金产品需要A种金属0.6kg，B种金属0.9kg，可获利润45元；做一套Ⅳ型号的合金产品需要A种金属1.1kg，B种金属0.4kg，可获利润50元.若设生产N种型号的合金产品套数为x，用这批金属生产这两种型号的合金产品所获总利润为y元.

（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.

（2）在生产这批合金产品时，Ⅳ型号的合金产品应生产多少套，该厂所获利润最大？最大利润是多少？

分析：（1）根据总利润等于M、N两种型号合金的利润之和列式整理即可，再根据M、N两种合金所用A、B两种金属的质量不超过现有金属质量列出不等式组求解即可；（2）根据一次函数的增减性求出所获利润最大值即可.

解：（l）y=50x+45（80000-x）=5x+3600000.

1.1x+0.6（80000-x）≤70000.

由题意得，0.4x+0.9（80000x-x）≤52000.

不等式组的解集是40000≤x≤44000.

∴y与x的函数关系式是y=5x+3600000（40000≤x≤44000）.

（2）5>0，故y随x的增大而增大.

∴当x=44000时，y最大=3820000.

即生产N型号的合金产品44000套时，该厂所获利润最大，最大利润是3820000元.

点评：本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质，即由函数y随x的变化情况，结合自变量的取值范围确定最值.

2.利用二次函数图象的对称性及函数的增减性求最值

例2（2014.徐州）某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图1.

（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？

分析：（1）根据待定系数法，可得二次函数解析式，根据顶点坐标，可得答案.

（2）根据函数值大于或等于16，可列不等式求出解集，可得答案.

解：（l）函数y=ax2+bx-75的图象过点（5，0）、（7，16）.

25a+5b-75=0，

a=-1.

∴{49a+7b-75=16

解得{b=20.

抛物线y=-x2+20x-75的顶点坐标是（10，25），故当x=10时，y最大=25.

答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元.

（2）∴函数y=-x2+20x-75图象的对称轴为直线x=10，

∴点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16）.

又函数y=-x2+20x-75的图象开口向下，

∴当7≤x≤13时，y≥16.

答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元，

点评：本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用顶点坐标求最值，利用对称点求不等式的解集，

二、几何型

1.利用两点之间线段最短，或点到直线之间垂线段最短求最值

例3 （2014·东营）如图2，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m，一只鸟从一棵

树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行___m.

分析：根据“两点之间线段最短”可知小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.

解：如图2，设大树高为AB=12m，小树高为CD=6m.

过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC.

∴EB=6m，EC=8m，AE=AB-EB=12-6=6（m）.

在Rt△AEC中，.

故小鸟至少飞行10m.

点评：本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，又考查了学生解决实际问题的能力.

2.利用轴对称的性质求最值

例4 （2014.张家界）如图3，A B.CD是半径为5的OO的两条M

弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF 上的任意一点，则PA+PC的最小值

为

.

分析：A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的值最小，即BC的值就是PA+PC的最小值，

解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H.

根据垂径定理，得到BE=1/2AB=4，CF=1/2CD=3.

∴CH=OE+OF=3+4=7 ，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7.

在直角△BCH中根据勾股定理得到

则PA+PC的最小值为.

点评：正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键.

3.利用展开图求最值

例5（2014.潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图4所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是10尺，则该圆柱的高 为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是____尺.

分析：这种立体图形求最短路径问题，可以转化为展开立体图形成为平面图形的问题解决，展开后可转化为图5，所以是一个求直角三角形斜边长的问题，根据勾股定理可求出.

解：如图5，一条直角边（即枯木的高）长20尺，另一条直角边长为5x3=15（尺），因此葛藤的最短长度为

点评：本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，再根据勾股定理求出解.