华腾飞

在解（证）有一定难度的几何问题时，条件并不明显，而寓于概念、存于性质或畲于图中，审题时，就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息，常常需要添加辅助线.应如何添加辅助线呢？可以说没有一成不变的方法，应因题而异，采用灵活多变的添加的方法，一般补成常见的基本图形，为顺利解（证）题目创造条件，下面通过例题说明怎样捕捉题设和图形中有用的信息源，通过多种思维产生新的有用信息，进而采用“补形”的方法，达到简捷解（证）问题的目的，

一，补图构造直角三角形或正三角形

例1 如图1所示，在四边形ABCD中， BC=2，CD=3.求AB的值.

分析：信息源：

产生信息：60°角作为直角三角形的一个锐角时，直角三角形三条边的比是

补全图形：①延长AD交BC的延长线于E；②延长AB交DC的延长线于F

简解：CD=3，

故

故

例2 如图2所示，已知六边形ABCDEF的六个角都是120°，若其连续四边AB、BC、CD、DE的长依次为1、9、9、5，求这个六边形的周长.

分析：信息源：六边形的六个角都是120°.

产生信息：120°角的邻补角是60°，有两个角为60°的三角形是等边三角形.

补全图形：把六边形ABCDEF的边BC、DE、AF分别延长得正三角形PMN.

简解：由图形易知△PCD、△NAB、△MEF、△PMN为正三角形，△PMN的边长为19.进而可知ME=5.AF=13.则六边形ABCDEF的周长=正三角形PMN的周长一1-5-9=42.

点评：以上两例解法都是捕捉了题中的特征信息“60°”角，从而获得了补全图形的两种方式.因此当题设或结论中有特征信息“15°、30°、60°或120°、150°”角时，可把命题图形完善成“正三角形”或“含30°锐角的直角三角形”试之.这样做从表面上看图形变复杂了.实质上使不规则图形化成了规则图形，化繁为简，为顺利简捷解题创造了条件.

二、补图构造等腰三角形 例3 如图3所示，在△ABC中，AD是 的平分线，过B作 ，交AD的延长线于E，M为BC的中点，求证：

分析：信息源：AD是 的平分线， ，M为BC的中点，

产生信息：①角平分线所在直线是角的对称轴；②等腰三角形“三线合一”定理.三角形中位线定理，

补全图形：延长AC交BE的延长线于F.化一般△ABC为等腰△ABF.

简证：过C作CP∥BF交AB于P，而得到的△ACP和△ABF都是等腰三角形，得FC=AB-AC.E为BF的中点，再由M为Bc中点得

点评：本题捕捉了角平分线与垂线重合的信息，采取补得等腰三角形的方法，此类题型在初中平面几何和中考中很多，希望同学们注意其思想方法.

三、补图构造特殊的四边形（如平行四边形、矩形、菱形、正方形）

例4 如图4所示，一边靠学校院墙另三边用总长为50m的篱笆围成的长方形场地，说出边长为多少时，长方形的面积最大，

分析：信息源：长方形.面积最大，三边总长50m篱笆不变.

产生信息：周长一定的所有矩形中，正方形面积最大，

补全图形：把矩形补成如图4所示的正方形.

简解：不难得知当BC=1/2AB，即AB=25m，BC=AD=12.5 m时，场地的面积最大，

点评：本题的解法之所以如此简捷巧妙，是因为捕捉到了“面积最大”这个信息，而想到了正方形.

四、补图构造圆

例5如图5所示，已知AB=AC=AD，如果 是 的k倍，那么 是 的

倍.

分析：信息源：A B=A C=AD.

产生信息：B、C、D三点到A的距离相等，即B、C、D都在以A为圆心、AB长为半径的圆A上，

补全图形：以A为圆心，AB长为半径作 A.

简解：圆心角∠DAC是∠CAB的k倍，则CD的度数是BC度数的k倍，推得圆周角∠DBC也是∠BDC的k倍.

点评：本题巧用信息AB=A C=AD，作 A，用圆心角、弧、圆周角的关系使难题迎刃而解，充分体现了补图解题的妙处.

例6如图6所示，以边长为 cm的等边三角形三边为弦，分别作弧相交于点 求阴影部分的面积.

分析：麟信息源：等边△ABC. 产生信息：①AB、BC、CA为等弧；②O’为“四心”重合于一点；③∠AO'C=∠BO'C=∠AO'B=120°，AB、BC、CA所对的圆心角也是120。.

补全图形：找出AB、BC、CA的圆心O1、O2、O3，连接01A、O1B、02B、02C、03C、o3A.

简解：由 cm，得O1A =2cm，图中阴影面积等于半径为2cm的圆面积与六边形A01B02C03面积之差，

点评：本题由弧想到弧所在的圆，找出圆心，补全图形，化零为整，返璞归真.这是求几何图形中阴影面积的重要途径，对解（证）其他题型也会有启迪，

五、补图构造全等三角形（相似三角形） 例7 如图7，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD BE，AD=BC.

（1）求证：AC=AD+CE；

（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ DP，交直线BE于点Q.当点尸与A，B两点不重合时，求 的值.

分析：（1）根据同角的余角相等求出∠1=∠E.再利用“角角边”证明△ABD和△CEB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后根据AC=AB+BC整理即可得证.

（2）如图8，连接DQ，由∠DPQ=∠DBQ=90°得到D、P、B、Q四点在以DQ为直径的圆上，从而可以得到

解：（1）证明：如图7，因BD上BE，故∠1+∠2=180°-90°=90°.因∠C=90°，故∠2+∠E=180°-90°=90°，故∠1=∠E.因在△ABD和△CEB中，∠1=∠E，∠A= ∠C=90。，AD=BC，故△ABD≌△CEB （AAS）.故AB=CE.故AC=AB+BC=AD+CE.

（2）如图8，连接DQ，因∠DPQ=∠DBQ=90°，故D、P、B、Q四点在以DQ为直径的圆上.故∠DQP=∠DBP.

故Rt△DPQ∽Rt△DAB.故

因DA=3，AB=EC=5，故

点评：本题是单动点问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质.本题通过连接DQ，得到相似三角形，问题迎刃而解.