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2015-05-30耿恒考

关键词:民主评议平均数中位数

耿恒考

一 知识要点

1.数据的代表

(1)平均数:一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商,称为这组数据的平均数.

(2)中位数:将一组数据从小到大依次排列,位于正中间位置的数(或正中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.

(3)众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数,

注意,平均数、中位数、众数都能反映一组数据的集中趋势,从各自的角度呈现这组数据的“平均水平”.平均数能充分利用所有数据的信息,是这组数据的一个“重心”,在生活中较为常用.但它容易受极端数据的影响,而且计算较繁.中位数的优点是计算简单,受极端数据的影响较小,但不能充分利用所有数据的信息.众数的可靠性相对较差(有时不唯一),也不能利用所有的数据信息,它不受极端数据的影响,求法最简便.当一组数据中个别数据变动较大时,宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”.

2.数据的波动

(l)极差:用一组数据中的最大值减去最小值所得的差,称为这组数据的极差.

(2)方差:在一组数据中,每个数据与平均数的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差.

若用表示数据的方差,用x表示这些数据的平均数,则:

注意,极差只能反映一组数据的波动范围,难以体现各个数据与平均数相比的波动情况.方差反映一组数据与其平均数间的离散程度,能充分利用所有数据的信息.方差越大,数据组的波动就越大.

二 解题技巧

1.在计算平均数时:

(1)如果n个数据中,各个数都比较大,而且都接近某个数a,我们可以将各个数都减去a,先算出所得差的平均数x,再求得x=x+a.这样可以大幅减少计算量,提高解题的正确率.

(2)当一组数据中有许多数据多次重复出现时,使用加权平均数公式计算会更简便.

2.在计算中位数时,要关注数据信息的呈现方式.不管是表格还是统计图,都要先将这些数据进行排序(由小到大或由大到小).

3.如果数据的平均数是,方差是,那么数据的平均数是,方差是数据的平均数是,方差仍是数据的平均数是,方差是

三 思想方法

统计学的基本思想是用样本去估计总体,在研究问题时,往往先从总体中随机抽取大小合适的样本,然后通过对所抽取的样本进行计算和分析,进而对总体的相应情况作出推断.

四 易错题解析

例1 如果一组数据8,8,x,6的中位数与平均数相等,求x的值.

解析:解这类题的错误常在于对数x的考虑不全面.数x是一个多大的数,要分类讨论:

(l)当x≤6时,数据排序为x,6,8,8.此时中位数是7,而平均数为,则,得x=6.

(2)当6(3)当x≥8时,数据排序为6,8,8,x,此时中位数是8,而平均数为,得x=10.

综上,x的值为6或10.

例2 如果一组数据6,8,10,x的众数与平均数相等,求这组数据的中位数.

解析:这组数据的平均数为

题中给出的已知数据有6,8和10,因此众数可能是6,8或10.

所以的值可能等于6,8或10,须分三种情况考虑,代入可知,唯当众数为8时,众数与平均数相等.故这组数据的中位数是8.

五 典型题赏析

1.平均数的应用

例3 某单位要从内部选拔高管一名,为此对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试,三人的测试成绩如表1所示,

根据录用程序,该单位组织200名职工对这三人用投票推荐的方式进行民主评议,三人的得票率(没有弃权票,每位职工只能推荐1人)如图1所示,每得一票记作1分.

(1)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选,那么谁将被录用?

(2)根据实际需要,单位将笔试、面试、民主评议三项测试的得分按4:3:3的比例确定个人的成绩.那么,谁将被录用?

解析:(1)首先算出三人的民主评议得分依次为50分,80分,70分,再求出甲、乙、丙三人的平均成绩分别为72.7分,76.7分,76分.因此乙将被录用.

(2)利用加权平均数公式可求得每个人的成绩分别为72.9分,77分,77.4分,因此丙将被录用.

感悟:要根据问题的特点灵活选用平均数的计算公式,以尽可能地使计算简便.

2.平均数、中位数、众数的应用

例4 某校信息技术竞赛小组20名同学一次竞赛的成绩统计如下:

(1)若成绩的平均分为73分,求x,y的值.

(2)在(1)的条件下,设此竞赛小组20名同学竞赛成绩的众数为a.中位数为b,求a-b的值.

解析:由表中信息可知,两个未知数x,y满足x+y=13.再利用平均分x=73,可以得到关于x,y的另一个二元一次方程.由此可以通过解方程组得出x=5,y=8.根据以上结果,可以得出a=80,b=75,便知a-b=5.

3.方差的应用

例5 甲、乙两人在相同条件下各打靶10次,各次的打靶成绩情况如图2所示.

(1)清填写上面的表格.

(2)请从不同的角度评价甲、乙两人的打靶成绩,

解析:(1)由折线图提供的信息可知,甲、乙两人的10次成绩分别为:甲9,5,7,8,7,6,8,6,7,7;乙2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.从而可知甲、乙成绩的平均数都是7;中位数分别是7,7.5;方差分别是1.2,5.4;命中9环及以上的次数分别为1,3.

(2)①从平均数和方差结合看,由于平均数相同,但,因此甲比乙的成绩更稳定些;②从平均数和中位数结合看,平均数相同,但乙的中位数高,因此乙的成绩好些;③从平均数和命中9环及以上的次数结合看,平均数相同,而乙命中9環及以上的次数比甲多,故乙比甲的成绩要好些;④从折线图的走势上看,甲一直在7环附近波动,没有什么起色,而乙从第5次开始成绩一直在上升,而且越来越好,故乙的潜力大.

感悟:在平均数相同的情况下,看稳定性就是比较方差的大小.

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