樊启满

（江西省修水县职业高中）

原题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为6，且a+c=16.求△ABC面积的最大值.

此题是甘志国老师率先提出，他在《数学通讯》论坛里发了他的解法，引起了不小的争论。解法如下：由正弦定理及题设可得BA+BC=16，所以点B在以A，C为焦点、长轴长为16 的椭圆上，当点B从短轴的端点向长轴的端点移动时，△ABC的面积S在减小.不妨设点B在椭圆弧上运动且∠BAC是锐角，得S随∠BAC的减小而减小.

事实上底边AC的长是随着点B的位置不同而变化的，而设AC的长不变，解出的结果似有不妥.

我的解法：

由于圆内接三角形的对称性，当AB取一有定义时的值时，对应着四种三角形（如图），解此题只需考虑这种情况：即固定A点，A，B，C三点在圆上按顺时针方向排列.它又分为两种情况：点B在AO连线下方与点B在AO连线上方.

当点B在AO连线上及其下方时，面积的最小值为0，最大值为，此种情况不再赘述.下面只考虑另一种点B在AO连线上及其上方的情况：

当AB=4 时，角B最小，角A为直角；当时，角B为直角；当AB=8 时，角B最大，为钝角.

设AB=8-m，则m的范围为（-4≤m≤4），所以BC=8+m，三角形ABC的面积为：

显然这个函数是个偶函数，只需证明m∈［-4，0］上的单调性即可.

所以f（m）在上一定是增函数，函数值最大为28.

由于y1=（8-m）（8+m）在上是增函数，而y2=sinB在上是减函数，

考虑到g（m）=sinB，当时是减函数，且值域为时也是减函数，且值域为且恒有时

∵F（′m）时，F′（m）≥0，（fm）在m∈上是增函数，结合第一种情况，△ABC面积的最大值为