“集合分类与等价关系”新讲＊

2015-03-20陈向阳

广西民族大学学报(自然科学版) 2015年3期

赵静，陈向阳

（广西民族大学理学院，广西南宁530006）

近世代数（又名抽象代数）是现代科学各个分支的基础，而且随着科学技术的不断进步，近世代数的思想、理论与方法的应用日臻广泛.“集合分类与等价关系”是近世代数课程的一个非常重要的知识点，对学好这门课程有很大的影响.对集合进行分类是研究集合自身性质的一种方法，通过“分类”把“大集合”变成相对“较小的集合”，从而有利于研究；此外，通过定义等价关系对集合进行分类也是构造新的代数对象的一种有效方法，比如构造商群、商环、域等等，我们最熟悉的有限域Zp（p为素数）和有理数域都是通过这种方法构造出来的.如果学生对这部分内容把握不到位的话，会严重影响后续课程的学习.

1 当前教材及内容讲授状况

目前，大多数教材把“集合分类与等价关系”这一部分内容作为预备知识单独一节放在“群”的讲述之前.近世代数课程本身就很抽象，学生在学习这部分内容的时候，由于“商群、商环”等概念还没有学，缺乏必要的实例，必定会觉得生涩难懂.即使在后面学习了“商”的概念之后，教师再加以巩固，由于间隔时间太长，又要重新补习，浪费很多宝贵的时间.

笔者自工作以来，不仅讲授本科生的近世代数、高等代数等课程，也讲授研究生的代数学.代数学是近世代数课程的延续和发展，也是数学专业研究生的必修基础课程.在给研究生讲述代数学的过程中，笔者发现，很多学生对“集合分类与等价关系”并不熟悉，尤其在讲述“分式环”这部分内容的时候，学生学习就感觉非常吃力，关键问题就在于本科学习近世代数的时候没有把“集合分类与等价关系”学好，没有把握其本质思想.

2 新讲的具体内容

2.1 改变讲授顺序

把“集合分类与等价关系”放在“正规子群”这个知识点的后面来讲述，然后再讲商群.这样，商群就是集合的分类的一个具体的例子.从而加强学生对这个知识点的理解.在学习商环、分式环等后继知识的时候，教师再带领学生一起把这一知识点复习一遍，这样，学生就会知道“集合分类与等价关系”确实是有用，至少可以通过它来定义商群、商环.

2.2 把抽象的概念具体化

学生之所以觉得抽象，根本原因在于没有把具有高度概括性的概念转化为具体的、直观的例子，缺乏容易理解的具体实例的支撑.所以，在授课过程中，教师要想办法用生活中的实例来阐述所讲授的知识.

首先，对于基本定义的讲授.现行的大多数“近世代数”教材一般是这样给出集合分类的定义：

若把集合分成若干个叫作类的子集，使得的每一个元素属于而且只属于一个类，那么这些类的全体叫作集合的一个分类.

教材给出的这个定义其实是很抽象的，学生往往搞不懂到底什么是集合的一个分类，这个“类”到底是什么.同学们在读中学的时候，所在同一年级的同学往往被分成几个班.其实这件事情就是集合分类的一个例子.在这个例子中，“某年级的全体同学”是一个集合，被分成的几个班级就是集合的分类.集合的每一个元素－－－每个同学都属于并且只属于一个班级.通过举例，学生就会明白：集合分类的思想无非就是把一个集合划分成若干互不相交的“小块”（即子集），每一个“小块”都是集合的一个类，这些“小块”放在一起就是集合的一个分类.

其次，怎样对集合进行分类？对集合分类是根据具体需要，依据该集合上的等价关系.

有些教材，例如张禾瑞的《近世代数基础》，是这样定义集合上的“关系”的：一个A×A→D（只含有“对”与“错”两个元素）的映射R叫作A上的一个关系，若R（a，b）＝对，就说a与b有关系，记为aRb；若R（a，b）＝错，就说a与b没有关系.

如果教师就按照课本把这个定义呈现给学生，那学生会完全搞不懂“关系”到底是什么.笔者在授课过程中，首先深入挖掘该定义的深层次内涵，然后在此基础上给出“等价关系”的定义.那么，如上给出的“关系”的定义的深层内涵到底有哪些呢？

第一，由定义中要求“R是A×A→D（只含有“对”与“错”两个元素）的映射”，我们知道集合A中任何两个元素要么有关系，要么没有关系；

第二，若R（a，b）＝对（即aRb，a与b有关系），但未必有R（b，a）＝对（即bRa，b与a有关系），即若a与b有关系，未必b与a有关系；

第三，“关系”实际就是集合内部元素间的某种联系，这种联系可以有多种，是根据不同需要来确定的.例如，把某班级看作一个集合，规定“如果两个同学来自同一个省份，则说他们有关系；否则，称之为没有关系”.按照这个规则，班级的任两个同学或者来自同一个省份，或者来自于不同的省份.也就是说，班级的任两个同学要么“有关系”，要么“没有关系”.凡是来自同一个省份的同学之间都是“有关系”的，而来自于不同省份的同学之间则“没有关系”.还是这个班级，如果规定“如果两个同学住在同一个宿舍，则说他们有关系；否则，称之为没有关系”.同样，按照这个规则，住在同一个宿舍的同学之间都是“有关系”的，而住在不同宿舍的同学之间“没有关系”.还有很多例子，比如，对于整数集合Z，两个整数a与b，若a｜b，则称a与b有关系；否则称之为没有关系.在这种“关系”的定义下，2与4有关系，但是4与2却没有关系.再例如，设G为群，N为G的子群，a，b∈G.若b－1a∈H，就称a与b有关系；否则，就称它们没有关系.

2.3 由等价关系确定集合的分类

在如上例1和例3中，这三种关系都满足：反身性：每个元素都与他自己“有关系”；对称性：若a与b有关系，则一定会有b与a也有关系；传递性：若a与b有关系，b与c有关系，则a与c也有关系.我们就把具有反身性、对称性和传递性的关系称为等价关系.因此，例1和例3定义的关系都是等价关系，而第二个例子中的“整除关系”不满足对称性，故不是等价关系.

设R为集合A上的等价关系，任取a1∈A，记A1＝｛b∈A｜a1Rb｝，即A1为集合A中所有与元素a的元素构成的集合；任取a2∈A＼A1，A2＝｛c∈A｜a2Rc｝如此继续下去，就会得到A的若干子集A1，A2，… 可以证明这些子集A1，A2，… 构成了集合A的一个分类.因此，只要集合上能定义等价关系，就可以从这个等价关系出发，构造出该集合的一个分类.

那么，为什么要对集合进行分类呢？

第一，对集合进行分类便于研究和管理.相信每个同学都不会把自己所有的衣服都堆放在一起，等穿衣服的时候再从这堆衣服中找.而是把衣服分门别类分别放置在不同的地方，比如有的同学会按照季节，把春夏秋冬的衣服分别存放.其实这就是把集合进行分类的一个最简单的例子，在这个例子中，这位同学的所有衣服是一个集合，根据需要，把衣服分成春夏秋冬四个季节的.集合的两元素（两件衣服）间的“关系”就是是否属于同一个季节，如果这两件衣服都属于同一个季节，那么就称它们有关系；否则称之为没有关系.

第二，构造新的代数对象.在例3中，把N改为群G的正规子群，按照如上定义的关系，把群G分成了若干不同的陪集类，把这些陪集类看作另外一个集合M，g1N，g2N∈M，定义（g1N）（g2N）＝g1g2N.可以证明，集合M在如此定义的“乘法”下，也是群，并且，这个群的单位元是N.商群扮演着重要的角色，由群的同态，我们知道“任何一个群G′，若G到G′存在满同态，则G′同构于G的某个商群”，即在群同构意义下，商群代表了与G存在满同态的所有群.

在学习了环和域的相关知识之后，可以从一个环和其理想出发，构造商环，甚至可以构造出域.例如，整数环Z，n为任意不为0的正整数，不难证明I＝nZ是整数环Z的理想，规定：a，b∈Z，若n｜（a－b），则称a与b有关系；否则，称其没有关系.此“关系”是等价关系，按照这个定义，集合Z被分成了n类.设集合Zn＝｛［0］，［1］，…，［n－1］｝为这n个类构成的集合，其中x∈［i］⇔x除以n的余数为i.集合Zn在运算∀［i］，［j］∈H，［i］＋［j］＝［i＋j］，［i］·［j］＝［ij］下，构成环，称为Z对理想I＝nZ的商环.特别的，当n为素数时，Zn是域.这样，从环和其理想出发，利用集合分类，构造出了与原来完全不同的代数对象“域”.

从上面的例子来看，通过集合分类的方法构造新的代数对象，好像只能把原对象做“小”，实则不然，环的局部化问题就是反例之一.设R为整环，P为R的素理想，S＝R＼P，在集合S－1R＝｛r/s｜r∈R，s∈S｝上定义关系：r1／s1＝r2/r2⇔∃u∈S，使得u（r1s2－r2s1）＝0.易知此关系为等价关系，故确定了集合S－1R的一个分类，仍以S－1R表示该集合的分类构成的集合.任取r1／s1，r2／s2∈S－1R，规定：r1/s1＋r2/s2＝（r1s2＋r2s1）/s1s2，（r1/s1）·（r2/s2）＝r1r2/s1s2，可以证明，S－1R在这两种运算下是域，称为环R在素理想P处的局部化.并且存在R到S－1R的单值嵌入：r｜→r/1，即S－1R比R“大”.我们熟知的有理数域就是通过整数环在其唯一的素理想零理想处的局部化.

已知S－1R为环R在素理想P处的局部化，设M＝｛Q⊆P｜Q为R的素理想｝，N＝｛S－1R的素理想｝.定义映射：f∶M→N，f（Q）＝S－1Q，可以证明该映射是一一映射.由此可以看出“局部化”实际上研究的是那些包含在理想P内的素理想；而“商”（R／P）研究的却是那么比P“大”的理想.所以，从这个角度来说，“局部化”和“商”是两个相反的过程，它们互为补充，是研究环的两个非常重要的工具.

2.4 由集合分类确定集合上的等价关系

通过上面的学习我们知道，在集合上定义一个等价关系，根据这个等价关系就可以确定集合的一个分类；反之，如果已知集合的一个分类，能不能定义其上的等价关系呢？答案是肯定的.设A1，A2，…为集合A的一个分类，定义A上的关系：∀a，b∈A若存在Ai，使得a∈Ai，b∈Ai，则称a与b有关系；否则，称之为没有关系.不难证明，这样定义的关系确实是集合A的一个等价关系.