潘云兰

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)



求重根的一类三阶迭代法*

潘云兰

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

给出了求非线性方程重根的一类迭代法,证明了这类方法的三阶收敛性,获得了迭代误差,指出了这个类的广泛性,即它包含了一些已知的方法.通过数值例子与一些已知方法进行比较,说明了新方法的有效性，即在某些情形下,新方法比一些已知方法收敛快,且在其他方法发散的情况下新方法还是以很快的速度收敛.

迭代法;收敛阶;三阶收敛性;重根

0 引 言

近似求解非线性方程f(x)=0在数学、物理和其他科学领域中具有非常重要的应用.除少数特例外,一般都通过迭代法求解这类问题,即从某个或某几个初始点开始,产生一个逼近方程f(x)=0解的迭代序列.Newton法是最著名的方法之一，其公式为

这个方法具有2阶收敛性，但它无法用于求重根.设非线性方程f(x)=0有m重根α,即f(j)(α)=0,j=0,1,…,m-1，但f(m)(α)≠0.当重数m事先不知时，由于f(x)的重根必为函数u(x)=f(x)/f′(x)的单根,故可通过对函数u(x)应用Newton法(1)来求f(x)的重根.但此时该方法只有1阶收敛性,且需要求f(x)的2阶导数，工作量增大，效率指数降低.当重数m事先知道时，可通过修改Newton法(1)来求α,即

这个方法也具有2阶收敛性.

为提高求重根迭代法的收敛阶，一些学者纷纷提出了新的方法.如文献[1]提出3阶Halley方法：

文献[2]提出3阶Euler-Chebyshev方法：

文献[3]给出的3阶方法：

文献[4]给出的3阶方法：

文献[5]通过对式(4)和式(5)进行组合，给出了下面的一类3阶方法：

式(7)中,θ∈R.这个方法类包含了下面2个新方法：

2)取θ=-1,得

文献[6]也给出了一类3阶方法：

式(10)中：C,D∈R;

受以上工作的启发，本文首先引入一类更为广泛的用于解非线性方程重根的3阶迭代法,它包含了以上提到过的所有方法;然后，分析了它的收敛性，导出了它的误差估计;最后,笔者给出了这个新类的几种特殊情形,并利用数值例子,对引言中提到的方法和本文的新方法进行了比较，比较结果显示:在大多数情形下,本文的新方法具有明显的优势.

1 一类新方法及其收敛性

为得到更多的解非线性方程重根的方法，引入如下更具一般性的方法类：

式(14)中：δ,β,γ,ρ,η,λ∈R;

下面定理给出由式(14)定义的方法类的收敛阶和误差估计:

定理1设D⊆R是开区间，f:D→R具有m+3阶导数，α∈D是f(x)的一个m重根，x0充分靠近α.若

(ρ+λ+η)m2-(η+2ρ)m+ρ≠0,则由式(14)定义的方法类是3阶收敛的，其误差可表示为

式(18)中：

N是量m,γ,ρ,η,λ,c1,c2,s1,s2,d1,d2的多项式，而

证明 记en=xn-α.把f(x),f′(x)和f″(x)在α处Taylor展开,得

从而

(20)

(21)

式(20)和式(21)中：

所以

(23)

由式(20)、式(22)和式(23)，可把式(14)写成

式(24)中：

(25)

5δλm2-βρm2-6δm3λ+βηm2+δm4ρ+δm4η+7δηm2-2βm3η-4δρm-3δηm+βρm+

2γm3ρ-5δηm3+βm4λ+βm4ρ+βm4η-3γm2ρ+γm3η+γm4λ+γm4ρ+γm4η]c1.

(26)

不难看出，要k1=0，只需

把式(27)代入式(26),再令k2=0,解出β,即得式(17).再把式(17)代入式(27)可得式(16).把式(16)和式 (17)代入式(24),经简化可得M的表达式(19)和误差公式(18).由条件知,M的分母不为零.定理1证毕.

2 特例与数值分析

通过调整δ,β,γ,ρ,η,λ的取值，式(14)可以给出各种各样的迭代法.如由式(2)定义的Newton法(简记NM);由式(3)定义的Halley法(简记HM);由式(4)定义的Chebyshev法(简记CM);由式(5)定义的Osada法(简记OM);由式(6)定义的Chun-Neta法(简记CNM);由式(7)定义的Chun-Bae-Neta法(简记CHBM)及其2个特例——由式(8)定义的CHBM1法和由式(9)定义的CHBM2法;由式(10)定义的Biazar-Ghanbari法(简记BGM)和它的特例——由式(13)定义的BGM1法；以及以下2个新的方法：

1)在式(14)中,取δ=-m3,β=4m2,γ=m(m-1)2,ρ=-m2(3-m),η=-2m(m2-2m-1),λ=(m-1)2(m+1),则得以下新的3阶方法(简记YXJM1):

式(28)中：Lf(x)如式(15)所定义;φ1(x)=-m3x2+4m2x+m(m-1)2;φ2(x)=-m2(3-m)x2-2m(m2-2m-1)x+(m-1)2(m+1).

式(29)中:φ3(x)=2m2x2+m(4-7m)x+(5m2-5m+2);φ4(x)=2m2x2-4m2x+2m2.

为说明方法(14)的有效性,笔者用上面提到过的其中不含有任意参数的10种方法:NM法、HM法、CM法、OM法、CNM法、CHBM1法、CHBM2法、BGM1法、YXJM1法和YXJM2法分别求解如下2个方程的重根：

很明显，f1(x)有4重根，f2(x)有3重根.

所有的数值计算都用数学软件Maple 14.0在PC上进行,并且设置128位计算精度,即(Digits:=128).本文选择如下的迭代终止条件:1)|f(xn+1)|≤ε;或2)迭代次数n≥1 000.

本文取ε=10-32.对f1(x)分别从2个初值x0=-0.5和x0=-2进行迭代;对f2(x)分别从2个初值x0=2和x0=1.5进行迭代.若1)满足，则用x*xn+1作为精确解α的近似值;若2)满足,则认为方法发散.把计算结果列在表2中.从表2结果可看出，本文方法比绝大多数其他方法收敛都快，且在困难情形下更有用.如当从初值x0=-0.5出发求f1(x)的重根时，有6种方法发散,而本文的2个方法只分别用了3或4步就求得了满足精度要求的近似解.

3 结 语

本文提出了一族新的求解非线性方程重根的3阶迭代方法，这个族具有很好的广泛性，包含了一系列已知的方法,且具有很好的鲁棒性，可很快求出其他方法无法求解的一些根.本文的这些方法是单点单步方法.还有一些学者从多点和多步2个方面构造求重根的高阶迭代法.对于多点法，可参阅文献[7]及其中的参考文献；对于多步法，可参阅文献[8]及其中的参考文献.对事先不知重数的情形,高阶迭代法的文献并不多,笔者将在此方向做点工作.

[1]Neta B.New third order nonlinear solvers for multiple roots[J].Appl Math Comp,2008,202(1):162-170.

[2]Traub J F.Iterative methods for the solution of equations[M].New Jersey:Prentice Hall,1964.

[3]Osada N.An optimal multiple root-finding method of order three[J].J Comput Appl Math,1994,51(1):131-133.

[4]Chun C,Neta B.A third-order modification of Newton′s method for multiple roots[J].Appl Math Comput,2009,211(2):474-479.

[5]Chun C,Bae H,Neta B.New families of nonlinear third-order solvers for finding multiple roots[J].Comput Math Appl,2009,57(9):1574-1582.

[6]Biazar J,Ghanbari B.A new third-order family of nonlinear solvers for multiple roots[J].Comput Math Appl,2010,59(10):3315-3319.

[7]Kumar S,Kanwar V,Singh S.On some modified families of multipoint iterative methods for multiple roots of nonlinear equations[J].Appl Math Comp,2012,218(14):7382-7394.

[8]Chuna C,Neta B.Basins of attraction for several third order methods to find multiple roots of nonlinear equations[J].Appl Math Comp,2015,268(1):129-137.

(责任编辑 陶立方)

Afamilyofmultiplerootfindingmethodswithcubicalconvergence

PAN Yunlan

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

A new family of iterative methods to find multiple roots of a nonlinear equation was obtained. Third order convergence was proved for these methods and iteration errors were given. The generality of the family was presented: the family includes, as particular cases, several well known families and methods. By comparing the proposed methods with some other methods through numerical experiments, the robustness and efficiency of the new methods were shown. It was showed that the presented methods converge faster than some other methods and even converge very fast at some cases while the other methods diverge.

iterative method;convergence order;cubical convergence;multiple root

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.04.002

2015-06-21；

：2015-09-14

国家自然科学基金资助项目(61170109)

潘云兰(1967-),女,浙江磐安人,副教授.研究方向:数值逼近;软件工程.

O241

：A

：1001-5051(2015)04-0366-06