马志斌1 ，祁 飞1，刘 焕1，陈庆虎1，2

(1.浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004;2.浙江大学 物理系, 浙江 杭州 310027)



交流驱动的二维约瑟夫森结阵列的摇摆整流效应

马志斌1 ，祁 飞1，刘 焕1，陈庆虎1，2

(1.浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004;2.浙江大学 物理系, 浙江 杭州 310027)

对2种非对称钉扎势的二维约瑟夫森结阵列在交流驱动下的涡旋-反涡旋的定向运动进行了研究，发现整流电压显著地依赖于涡旋密度和交变电流的幅值，表现出非单调行为.基于模拟的涡旋结构、涡旋反涡旋对的出现，很好地解释了所获得直流电压与交变电流振幅的特征关系.

Josephson结阵列；钉扎；超导涡旋；棘轮效应

0 引 言

棘轮系统是凝聚态物理和统计物理的热门课题,涉及从生物学到物理学中一系列广泛的领域[1-5]. 棘轮效应在微纳米技术的应用前景引起了人们的广泛兴趣和研究热潮，如针对纳米粒子、胶体、电子或者磁通量子的受控运动.这类系统的主要特点是在缺失任一网格宏观动力驱动的情况下能够以一定速度输运粒子.实现这一目标的最简单的方法是在非对称性势或棘轮势中交变地驱动单粒子运动.近年来，超导体的棘轮效应受到极大的关注，具有重要的基础研究价值和应用前景.利用棘轮效应可以移去超导设备中由噪声所产生的不需要的受限涡旋[6].最近，研究人员实现了一些针对磁通量子运动的非对称钉扎势的设计方案，例如:超导薄膜的钉扎节点的空洞-反空洞阵列[7];层状超导体中非对称棘轮设计等[8].在小尺寸约瑟夫森结系统中，如超导量子干涉仪[9]、 一维梯形结构[10-11]、长程约瑟夫森结[12]及准一维量子约瑟夫森结阵列[13]等，都可以实现涡旋的整流效应.

大尺寸二维约瑟夫森结阵列对实验研究统计力学十分有效[14].该系统有显著的集体效应，其具体机制还没有足够的研究.Shlaóm等[15]在实验上研究了二维约瑟夫森结阵列的整流效应.他们调整了超导岛的距离,获得了棘轮势，可以明显观测到直流电势整流现象和一些有趣的特征.他们发现整流现象显著依赖于交流电流，并且涡流方向出现反转，其具体机制至今还不十分清楚.

本文基于超导序参量的位相动力学，利用二维XY模型的局域电流的动力学，数值模拟了在一个方向均匀而另一个方向不均匀的钉扎势，以及在2个方向都不均匀的大三角形的非对称钉扎势作用下, 交变电流驱动的二维约瑟夫森结阵列的涡旋系统，给出了均匀系统在交变电流驱动下及在几种特殊磁通密度下涡旋分布和电流电压特征.

1 理论模型与计算方法

本文采用电阻分流结动力学[16]，研究了在二维正方格子上的非对称的约瑟夫森结阵列的动力学特性.二维约瑟夫森结阵列的哈密顿量为[17-18]:

约瑟夫森结中2个超导岛之间的电流是约瑟夫森超导电流、正常电流和噪声电流的总和，即

式(2)中:R是正常态电阻;ηij是噪声电流,在温度为T时满足:

外加交变电流为

Iext=Iacsin(2πωact). (4)

式(4)中:外加电流沿Y方向；Iac是交流振幅；ωac是交流频率.

比较常见的棘轮模型[19]是:在X方向，以p个格点作为一个周期，通过控制每个格点上的超导临界电流I0(x)，使其在[I0min,I0max]范围内线性增加作为实验模型的近似.相应的棘轮势的振幅通过ΔU∝ΔI0=I0 max-I0 min来调节.同时保持Y方向的I0(y)恒为1.0.这样便在约瑟夫森结阵列的X方向引入了棘轮势.这种钉扎势在一个方向上还是均匀的.

本文将研究一种新的包含很多超导岛的三角形钉扎势，它在2个方向都是不均匀的.在实验上也是比较容易实现的，因为在超导薄膜上挖出空洞的技术已经非常成熟.这种三角钉扎，如图1所示，图中白色区域表示超导区域，黑色三角形区域表示钉扎势.如果在水平方向外加电流，涡旋将沿着竖直方向运动，显然，涡旋沿着竖直向上和竖直向下所感受的钉扎力及钉扎长度是不一样的，这会明显带来不同的耗散的结果.

笔者采用二阶Runge-Kutta算法求解微分方程，在模拟中，系统在X和Y方向上均采用周期性边界条件(模型见文献[20])，这样方便在X和Y方向上运用快速傅里叶变换进行优化计算.在考虑了每个节点的电流后,可以得到超导相动力学方程

=-. (5)

数值模拟结果在下一节给出.

2 结果分析与讨论

首先笔者模拟了A型钉扎的涡旋运动.在交变电流的驱动下对于不同磁通密度f，电势差和交流振幅Iac关系如图2所示.在交变力的驱动下，涡旋沿着棘轮方向，即钉扎势不均匀的方向运动.当磁通密度f较低时，直流电压随交流振幅的升高，开始近乎线性地增加，达到一个极大值.随交流振幅的进一步升高，直流电压缓慢下降.

笔者认为这是由于在相同的交变电流频率下，增加的涡旋运动速度使得涡旋感受的钉扎势的差别减小，因为这个钉扎势有一定的钉扎范围.在某些磁通密度下有一个不明显的第二个较宽的峰.线性升高的区域，其直流电压也不是随磁通的个数成正比关系，表现较强的集体行为.例如，在磁通密度f=1/32时，对于32×32的阵列，存在32个涡旋.但是从图2中可以看到，该响应是单个涡旋的12倍，而不是32倍.达到峰值的交变电流的振幅也是不同的，与磁通密度有关.另外，笔者发现在高磁通密度时，涡旋运动方向在低Iac值处发生反转，随着磁通密度的增大，<0的区域相应变宽.这是由于高磁通密度会有空位的方向远动.

对于B型钉扎，即三角形钉扎，笔者在图3中给出了不同磁通密度下的直流电压与交变电流振幅的变化关系.

从图3中可以看出，随着Iac的增大，对于单一磁通密度f，直流电压开始时逐渐增大.随交流振幅的进一步升高，由于快速涡旋运动对钉扎势的有效抵消，直流电压缓慢降低，与A型钉扎的机制基本相同.但是可以注意到，当交流振幅进一步增大时，直流电压又开始增大，与A型钉扎明显不同.为解释上述现象，笔者研究了相应的涡旋分布.图4～图6分别是Iac=0.2,0.5,0.8不同磁通密度下的涡旋分布，(a)～(d) 依次对应f=0.25,0.125,0.062 5,0.031 25这4种磁通密度.

从图4(d)中看到涡旋趋于分布在图1中的三角钉扎的位置，表明在低磁通密度下，涡旋间的相互作用较弱，单个涡旋很好地被钉扎势所束缚.图5中涡旋则基本呈现一种均匀分布，表明涡旋间的相互作用较强，呈非单个涡旋的钉扎行为.从图6中可以看到,在较低涡旋密度时，随交变电流的升高突然出现反涡旋.反涡旋的出现，系统中可运动的涡旋数目明显增加，使得系统的值快速增大，很好地解释了图3中的增大的现象.而对于高磁通密度，由于反涡旋在交变电流振幅小的时候就已经存在，所以不会突然改变其在电流振幅升高时的涡旋性质，因而保持单调下降.这种电压第2次显著增加的现象在A型钉扎中是没有的，主要原因是2种钉扎的特点不一样，A型是均匀钉扎，而B型是非均匀钉扎.

3 结 论

本文提出了一个在超导薄膜中引入一个新的三角形的棘轮势.利用二维XY模型数值模拟研究了在棘轮势作用下的二维Josephson结阵列系统,在交变电流驱动下超导涡旋运动和直流电压与交变电流振幅的特征，发现棘轮势对涡旋的调制是有效的.不同于均匀的棘轮势，能用高振幅交变电流调制出反涡旋，其运动特征显著影响电流电压特征，出现多个非单调行为.这种钉扎势在超导薄膜上是容易实现的，故对超导材料实现灵活的整流效应有一定的参考意义.

[1]Jülicher F,Ajdari A,Prost J.Modeling molecular motors[J].Rev Mod Phys,1997,69(4):1269-1281.

[2]Reimann P.Brownian motors:noisy transport far from equilibrium[J].Physics Reports,2002,361(2):257-265.

[3]Menon G I.Beaming in on radioactive materials:micro XAS[J].PSI Scientific Report,2006,372A(3):96-97.

[4]Astumian R D,Hanggi P.Brownian motors[J].Phys Today,2002,55(11):33-39.

[5]Linke H.Ratchets and brownian motors:basics,experiments and applications,special issue[J].Appl Phys A,2002,75(2):167-352.

[6]Lee C S,Jankó B,Derényi I.Reducing vortex density in superconductors using the ratchet effect'[J].Nature,1999,400(6742):337-340.

[7]Villegas J E,Savel′ev S,Nori F,et al.A superconducting reversible rectifier that controls the motion of magnetic flux quanta[J].Science,2003,302(5604):1188-1191.

[8]Cole D,Bending S,Savel'ev S,et al.Ratchet without spatial asymmetry for controlling the motion of magnetic flux quanta using time-asymmetric drives[J].Nat Mater,2006,5(4):305-311.

[9]Zapata I,Bartussek R,Sols F,et al.Voltage Rectication by a SQUID Ratchet[J].Phys Rev Lett,1996,77(11):2292-2295.

[10]Falo F,Martínez P J,Mazo J J,et al.Ratchet potential for fluxons in Josephson junction arrays[J].Europhys Lett,1999,45 (6):700-706.

[11]Trías E,Mazo J J,Falo F,et al.Depinning of kinks in a Josephson-junction ratchet array[J].Phys Rev E,2000,61(3):2257-2266.

[12]Beck M,Goldobin E,Neuhaus M,et al.High-efficiency deterministic Josephson vortex ratchet[J].Phys Rev Lett,2005,95:090603-090610.

[13]Majer J B,Peguiron J,Grifoni M,et al.Quantum ratchet effect for vortices[J].Physical Review Letters,2003,90(5):056802.

[14]Newrock R S,Lobb R S,Geigenmüller U,et al.The two-dimensional physics of Josephson junction arrays[J].Solid State Physics,2000,54:263-512.

[15]Shalóm D E,Pastoriza H.Vortex motion rectification in Josephson junction arrays with a ratchet potential[J].Phys Rev Lett,2005,94(17):177001-177004.

[16]Mon K K,Teitel S.Phase coherence and Nonequilibrium behavior in Josephson junction arrays[J].Phys Rev Lett,1989,62(6):673-676.

[17]Baek I C,Yun Y J,Lee J I,et al.Superconducting transition of a two-dimensional Josephson junction array in weak magnetic fields[J].Physical Review B,2005,72(14):144507.

[18]Chen Q H,Luo M B,Jiao Z K.Second-order phase transition in the fully frustratedXYmodel with next-nearest-neighbor coupling[J].Physical Review B,2001,64(21):212403.

[19]Marconi V I.Rocking ratchets in two-dimensional Josephson networks:Collective effects and current reversal[J].Physical Review Letters,2007,98(4):047006.

[20]Marconi V I,Domínguez D.Melting and transverse depinning of driven vortex lattices in the periodic pinning of Josephson junction arrays[J].Physical Review B,2001,63(17):174509.

(责任编辑 杜利民)

Rockingrathcetintwo-dimensionalJosephsonnetworksdrivenbyACcurrent

MA Zhibin1, QI Fei1, LIU Huan1, CHEN Qinghu1，2

(1.CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering，ZhejinagNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China; 2.DepartmentofPhysics,ZhejiangUniversity,HangzhouZhejiang310027,China)

The directed motion of vortices and antivortices driven by AC currents in the two-dimensional Josephson junction arrays with two kinds of asymmetric pinning potential were studied numerically. It was found that the rectifying voltage showed non-monotonic behavior and strongly depended on the vortex density and the amplitude of the AC currents. Based on the simulated vortex structures and appearance of vortex-antivortex pairs, the observed characteristics of DC voltage and the amplitude of the AC currents were explained in detail.

Josephson junction arrays; pinning; vortex; Ratchet effect

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.04.005

2015-01-28；

：2015-04-14

国家自然科学基金资助项目(11174254)；浙江省自然科学基金资助项目(Z7080203)

马志斌(1988-)，男，甘肃静宁人，硕士研究生.研究方向：凝聚态物理.

陈庆虎.E-mail: qhchen@zju.edu.cn

O511.1

：A

：1001-5051(2015)04-0387-05