基于剪力桥路建立不同载荷与应变的力学方程*

2015-01-15雷晓波郭海东

现代机械 2015年1期

雷晓波，张强，刘涛，郭海东

(中国飞行试验研究院发动机所，陕西西安 710089)

0 引言

在航空工程上，存在大量的圆轴、薄壁圆筒，这些轴类零件承受着弯矩、扭矩以及轴向拉压力等复杂载荷［1］。在轴类零件强度校核以及测量各种载荷的大小时，需要在轴表面贴应变片来测量对应的载荷大小。在航空发动机推力销标定试验时，需要精确测量弯矩载荷、剪力载荷、拉压载荷甚至扭转载荷［2］，如何组桥精准的测量不同载荷、建立应变与载荷方程是应变载荷测量中需要解决的问题［3-4］。

1 不同载荷下直角应变花应变正负判断

如图1所示，假设圆轴同时受到拉力P、弯矩M、扭矩T和剪切力F四种常见载荷，由于测量扭矩和剪切力的需要，需要取2对直角应变花，每支应变片沿与轴线成45°方向粘贴，并位于圆轴的对面，如图1所示。

图1 圆轴复杂载荷下受力示意图

在应变组桥时，正确判断应变片的应变正负是重要的环节，本文对工程上常用到的拉压、扭转、剪切力和弯矩载荷引起的应力应变正负进行分析总结。

1.1 拉力引起的应变正负判断

假设P为拉力，则轴向应变为正(伸长)，分解到 a、b、c、d 应变片上则有 a、b、c、d 应变均为正，记作 +εp。

1.2 扭矩引起的应变正负判断

图2 a、b、c、d应变片扭矩应变正负判断

首先判断同一侧a、b应变片的正负。如图2(a)所示，在应变片附近建立一微单元体，进行平面状态下的应力应变分析。其x轴正向指向纸面右侧，y轴正向指向垂直向上。在扭矩的作用下单元体左侧面会产生向下的剪切应力τxy，根据切应力互等定理，可以判断出左右上下四个面的切应力方向，其中a方向将沿应变片伸长，记作+εT，b方向将沿应变片压缩，则为-εT。

c、d应变片的正负可以以图2(b)来说明。由于从纸里往之外看和之外往纸里看会不同，导致理解混淆，为了便于工程上贴片组桥，经实践发现从纸外往纸里看便于理解。从纸外往纸里看，由受力变形分析可以看到:d应变片线应变为负，记作-εT，c线应变为正，记作+εT。

1.3 剪切力引起的应变正负判断

纯剪力F引起的应变与扭矩具有相似性，都会产生切应变，但正负会出现区别，本文依然利用微单元对应变正负进行判断。

当微单元左侧受到向下的剪力时，根据切应力互等定理有图3(a)受力图，可知a应变片将会伸长，记作+εF，b应变片则为-εF。依然从纸外往纸里看，可以得到图3(b)所示的受力图，微单元左侧受向下剪力，则可以得到四个剪力的方向，d应变片为正应变，记作+εF，c应变片为负，记作-εF。

图3 a、b、c、d应变片剪切应变正负判断

1.4 弯矩引起的应变正负判断

为了精准测量弯矩，应该在远离中型层的表面贴应变片，其中a和b应变片位于中性层凸面侧(变形时)，c和d应变片位于凹面侧。弯矩M引起的应变表现为线应变伸长压缩，其中位于中性层凸面侧表现为伸长，凹面侧表现为受压［5］。容易得知a和b应变片应变为正，记作+εM，b和c应变片应变为负，记作-εM。

根据上面的统计，现将各载荷应变正负列举如表1。

表1 各载荷下应变正负判断表

2 利用应力摩尔圆推导载荷表达式

2.1 建立拉压力与应变关系式

根据表1的正负关系，利用全桥来测量拉力P的大小。将a和b应变片串联接入到AB端，将c和d应变片串联接入到CD端，这样可以同时消除扭矩、剪力和弯矩的影响，同时全桥可以消除温度的影响。

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下面来分析拉力与线应变之间的物理关系，在分析应变与物理量之间的数学关系时，利用应力摩尔圆分析，形象且较容易得出关系式，而利用应变摩尔圆则麻烦，这是因为横向效应或者泊松比的存在，会导致互相垂直方向的线应变出现干扰［6-7］。

绘制摩尔圆最关键的是要找到2个不同方向上(一般找互相垂直的方向)线应变及切应变的比值。在拉力作用下轴向方向(x方向)是主应力方向，应力坐标为(σP，0)，平行截面方向(y方向)上主应力为零，且无切应力存在，应力坐标为(0，0)。根据应力坐标可以得到图4的摩尔圆。

图4 拉力应力摩尔圆

a和d应变片方向与x轴正向夹角为45°，且为逆时针旋转，那么在摩尔圆上从σmax上逆时针旋转90°，即为a和d应变片处应力大小，可以看出正应力为σP/2，同理c、d都与轴向呈45°夹角，正应力也为σP/2，带入平面胡克定理有如下公式:

其中E为杨氏模量，μ为泊松比，A为截面面积。同理 εPb、εPc、εPd都可表述为式(1)。

2.2 建立扭矩与应变关系式

根据表1可以得知，将 a、b、c、d依次接入 AB、BC、CD、DA端可以将拉力、剪切力和弯矩的效应抵消，只反映扭矩的变化。

图5 扭矩应力摩尔圆

取a和b应变片贴片处的微单元，由于扭矩产生纯剪切，在轴向方向和平行截面方向无正应力存在，只存在成对的切应力。根据图2可知，轴向方向的G点应力坐标为(0，-τT)，平行截面方向处应力坐标为(0，τT)，根据两点可以绘制出摩尔圆，如图5所示。G点逆时针旋转90°即可得到a应变片的应变坐标(τT，0)，G点顺时针旋转即可得到b应变片的应变坐标(-τT，0)。c和d应变片贴片处的微单元也如图2所示，其中在轴向方向处的S点应力坐标为(0，τT)，S点顺时针旋转90°即可得到c点的应变坐标(τT，0)，S点逆时针旋转90°即可得到d点的应力坐标(-τT，0)。

根据胡克定理有

其中Wp为轴抗扭截面模量。

2.3 建立剪切力与应变关系式

可以由表 1得知，将 a、b、c、d依次接入 AB，BC，DA和CD桥路中，组成全桥，即可消除拉力、扭矩和弯矩的影响。

图6 剪切力应力摩尔圆

依照扭矩摩尔圆的绘制原理可以得到图6所示的剪切力的摩尔圆，容易得到a/d的应力坐标(τF，0)，b/c的应力坐标为(-τF，0)。

根据胡克定理有:

带入剪切力与切应力公式最终可得到剪切力为:

其中AF为剪切面积。

2.4 建立弯矩与应变关系式

为了精准测量弯矩，应该在远离中型层的表面贴应变片，其中a和b应变片位于拉伸侧，c和d应变片位于压缩侧。测量弯矩的桥路较多，在本文半桥采用直角片组成全桥，以便对摩尔圆有深入理解。将a和b应变片串联接入AB线路，c和d应变片串联接入BC线路，由于在远离中性层贴片，剪切力造成的应变为零。

弯矩造成的应力与单向拉伸应力相同，如图7所示，由拉伸侧摩尔圆主应力方向逆时针旋转90°即可得到a应变片的应力坐标(σM/2，τ)，顺时针旋转90°即可得到b应变片的应力坐标(σM/2，-τ)，压缩侧应力摩尔圆如图7左侧所示，压缩侧主应力方向顺时针旋转90°即可得到c应变片的应力坐标(-σM/2，τ)，逆时针旋转90°即可得到d应变片的应力坐标(-σM/2，-τ)。