侯中丽，赵前进

（安徽理工大学理学院，安徽 淮南232001）

Thiele型有理插值常被用来逼近带极点的函数，但是它难以避免极点和不可达点，也难以控制极点。Berrut，Baltensperger，Klein，Nguyen等对重心有理插值进行了深入的研究［2-15］，张玉武给出了二元重心有理插值的具体形式，插值节点较多并且是等距节点时，逼近效果不是很好。在文献［1］中，Floater和Hormann通过在子节点集上构造插值多项式，然后用特定的权函数对这些插值多项式进行重心型的混合，构造了无极点高精度的复合重心有理插值。本文将文献［1］中的方法推广到矩形域上的二元复合重心有理插值。首先在小矩形域上构造二元重心有理插值，然后基于特定的权函数进行重心型的复合，构造二元复合重心有理插值，并且证明了其插值性质。最后，给出的数值例子说明了新方法的逼近效果。

1 二元复合重心有理插值

设矩形区域D＝（a，b）×（c，d），

对任意整数d1和d2（0≤d1≤m，0≤d2≤n），对于每个i＝0，1，2，…，m-d1，j＝0，1，2，…，n-d2，设Pij（x，y）为｛（xk，yq）｜k＝i，i＋1，…，i＋d1；q＝j，j＋1，…，j＋d2｝上的二元重心有理插值，对重心有理插值复合，构造二元有理函数

3 数值例子

图1 被插值函数

图2 m＝n＝10时的插值函数

图3 m＝n＝10的误差函数

图4 m＝n＝20时的插值函数

表1 不同方法的最大误差

例2 取函数f（x，y）＝e-x2-y2在区间［-1，1］×［-1，1］，m＝n＝50，d1＝d2＝5，用二元复合重心有理插值得到的最大绝对误差为3．710172249e-04；用二元重心有理插值得到的最大绝对误差为0．0054671356。可见新方法的插值效果优于（26）式的插值效果。

4 结论

本文给出矩形域上的二元复合重心有理插值，首先在每个小矩形域上构造二元重心有理插值，然后复合重心方法，构造出了二元复合重心有理插值，证明了二元复合重心有理插值无极点和不可达点，最后给出数值例子验证了新方法的逼近效果。

［1］Michael S．Floater，Kai Hormann．Barycentric Rational Interpolation with No Poles and High Rates of Approxi-mation［J］．Numer．Math．2007（107）：315-331．

［2］Berrut J P，Mittelmann H．Matrices for the Direct Determination of the Barycentric Weights of Rational Interpolation［J］．J．Comput．Appl．Math，1997（78）：355-370．

［3］Berrut J．-P．The Barycentric Weights of Rational Interpolation with Prescribed Poles［J］．Journal of Computational and Applied Mathematics，1997（86）：45-52．

［4］Berrut J．P．A Matrix for Determining Lower Complexity Barycentric Representations of Rational Interpolants［J］．Numerical Algorithms，2000，24（1-2）：17-29．

［5］Berrut J．-P．，Trefethen L N．Barycentric Lagrange Interpolation［J］．SIAM．，2004（46）：501-517．

［6］Berrut，J．-P．，Baltensperger，R．，Mittelmann，H．D．Recent Developments in Barycentric Rational Interpolation．In：deBruin，M．G．，Mache，D．H．，Szabados，J．，（eds）Trends and Applications in Constructive Approximation［J］．International Series of Numerical Mathematics，2005（151）：27-51．

［7］Klein，G．，and Berrut，J．-P．Linear Barycentric Rational Quadrature［J］．BIT Numer．Math．，52（2012）：407-424．

［8］Hormann，K．，Klein，G．，De Marchi，S．et al．Barycentric Rational Interpolation at Quasi-equidistant Nodes．Dolomites Res．Notes Approx．，2012（5）：1-6．

［9］Schneider C．，Werner W．，Some New Aspects of Rational Interpolation［J］．Math．Comp．，1986，175（47）：285-299．

［10］H．T．Nguyen，A．Cuyt，O．S．Celis，Shape Control in Multivariate Barycentric Rational Interpolation，Proc［J］．ICNAAM，2010（1281）：543-548．

［11］Klein，G．，Berrut，J．-P．，Linear Rational Finite Differences From Derivatives of Barycentric Rational Interpolants［J］．SIAM J．Numer．Anal．，2012（50）：643-656．

［12］Georges Klein．An Extension of the Floater-Hormann Family of Barycentric Rational Interpolants［J］．Mathematics of Computation，2013，82（284）：2273-2292．

［13］Georges Klein，Jean-Paul Berrut．Linear Barycentric Rational Quadrature［M］．BIT，2011．

［14］Berrut J．P．A Matrix for Determining Lower Complexity Barycentric Representations of Rational Interpolants［J］．Numerical Algorithms，2000，24（1-2）：17-29．

［15］MichaelS．Floater，J．Kosinka．Barycentric Interpolation and Mappings on Smooth Convex Domains．Proceedings of the 14th ACM Symposium on Solid and Physical Modeling［C］．2010．