俞玲珠

【摘要】在数学学习中，学生“懂而不会”现象普遍存在，本文旨在对“懂而不会”的现象做出必要的逻辑分类，并提出一些促进学生既“懂”又“会”的教学建议。力求实施能够有效地促进学生由“懂”到“会”，由“会”到“灵活”这样好的教学。

【关键词】懂而不会   分析   策略

【中图分类号】O1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）09-0182-02

“懂而不会”是指学生上课听得很“明白”“很懂”，但到自己解题时却不会做，做不好;或者是看着老师的板书，照本宣科能按要求完成作业，但成绩提不上去。“懂而不会”是普遍存在的数学教学现象。对于这样的数学教学现象，不少教师更多的是埋怨学生，而没有去分析其成因;更多是泛泛而谈，而没有去探讨各类“懂而不会”的特征;更多的是急躁、盲动，而没有去下一番工夫探索出科学有效的教学方式削减、消除“懂而不会”现象。本文旨在对“懂而不会”的现象做出必要的逻辑分类，并提出一些促进学生既“懂”又“会”的教学建议。

一、数学学习中“懂而不会”现象分析

学生“懂而不会”的表现是比较复杂的，可能是思维表面浅显，没有演绎性的懂、系统性的懂;也可能是思维不严密，缺乏灵活性，不能多角度的分析和判断;还有可能是有效思维短暂，只凭短暂记忆，不理解其本质，过后就不会用其原理解题了。笔者根据教学实践将数学学习中“懂而不会”现象分为以下几种类型：

（一）思维表面浅显，表象性的懂

由于高中数学概念比初中时更抽象，学生在学习过程中，对于知识发生的过程不会主动地进行深入的思考，对知识的理解仅仅停留在理解的表面上，不太可能形成抽象的概念的理解，所以对知识的理解不可避免地存在片面性;在遇到困难时不能深入的思考，不容易把握事物的本质。

例如寻找下列两列数字的规律：①2、4、6、8、10、12、14……②2、4、8、14、22、32、44、58……有很多同学对②找不到规律，就放弃了，没有进行深入的思考。在他的印象中像2、4、6、8、10、12、14……这样的等差数列，才算有规律，因为它们每相邻两个数之间差2。而2、4、8、14、22、32、44、58……它们的差是2、4、6、8、10、12、14具有一定的变化，学生学习起来困难较多。再比如说我们的学生认识函数中“f（3）=2”，就是该函数图像经过点（3，2），如果把题目改成方程f（x）=2的一个根为3，她就不能很好的理解题意了。

（二）思维不够严密，机械性的懂

数学思维讲究的是思维的严谨性和推理的严密性。但我们的学生在解题过程中的思维往往存在不严密性。对于问题的解决习惯套用现场的解题模式或公式。

对常用的求解模式的任一具体步骤的运作都懂，但对每一步骤的依据、目的并没有懂，更没有懂得其中的数学思想，把解题的程序绝对化了。在解不等式（x+2）（5-x）>0往往会得到解集{x│x<-2或x>5};再如解绝对值不等式│x+3│>-1往往会等价得到x+3<-1或x+3>1。究其错误原因都是死背口诀“大于取两边，小于取中间”，但对一元二次不等式和绝对值不等式解题实质并不懂，而是机械的拿到题就死算。

又如，有的同學对所用的知识方法懂了，但对如何想到，如何选用知识、方法却不会。我们学生对y=sinx的值域是对答如流，但碰到“已知2sinx-1+a=0，求a的取值范围？”“已知■sinx+cosx=a-1，求a取值范围”这类题目时他们束手无策，无从下手，脑袋一片空白，认为是很难的题目。

（三）思维缺乏灵性，盲目性的懂

思维定势，缺乏灵活性。学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的去理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。

例如，不等式mx2+mx+1>0恒成立，则m的取值范围是什么？学生对这题作答时往往不进行讨论，把这种情形给忘了。

由此我们可以看到，“懂”和“会”是不同的范畴。“懂”是对外界的认识。由于认识的广度和深度是无止境的，故“懂”的程度就无止境，肤浅的“懂”难以上升到“会”。“会”不仅要对抽解的题理解正确、全面，而且通常通过辨别、联想、猜想，调动头脑中的相关知识，组织起解决问题的程序，监控自己活动，有时还要能对所想到的几种方法进行比较，选择较简捷的解法。

至此，我们不禁还要问，“会”是不是就意味着“懂”？这也没有肯定答案。如有的学生会进行某种程序化操作，却不懂得其中道理，似乎只有灵活地“会”，才是真“懂”。

二、数学教学中要努力促进学生既“懂”又“会”

下面是笔者通过多年的教学实践，摸索出的几种减少学生数学学习中“懂而不会”现象的教学策略，愿与大家一起尝试。

（一）重视基础知识，重双基教学

夯实基础知识教学，是促进学生既“懂”又“会”的基本保障。

夯实基础知识教学，要高度重视概念的教学。这是因为概念的抽象、精致过程，是优化思维的过程，是提高理论水平的必要准备。也是因为数学题是通过概念表述的，通过审题，明白了题目的条件和结论，问题的条件和结论转化提示我们应当使用哪些基本的概念，将条件、结论转化为符合基本概念的内涵、外延的形式，所以从相关的基本概念、定义、原理等切入分析是基本有效的。

例如在讲解“点到直线的距离公式”时，就这一考点笔者花了一节课的时间，在推导得出公式并例题板演之后，将课堂还给学生，用变式练习的形式让学生在动手操作过程中理解应用公式。设计的习题如下（1）求点P（3，-4）到直线2x-y+1=0的距离;（2）求点P（3，-4）到直线2x+1=0的距离;（3）求点P（3，-4）到直线y-1=0的距离;（4）已知三角形三个顶点A（-3，4），B（1，3），C（-1，-1），求高AD的长（或三角形的面积）。练习有一般直线方程，有特殊直线方程，题目简到难，让不同层次的学生都能体会到成功，做到真正意义上的“学会”。

（二）巧用语言艺术，进行脱困教学

为了让学生“会”，首先要让学生“懂”。由于学生懂得数学的概念、证明、理论体系、思想方法较为困难，所以需要教师将抽象的描述作直观化、具体化的阐释，让逻辑的结论跟随直觉的发现，把静态的生成辅以动态的演示，对数学推理作出合情合理的解释。

例如讲“对数”。在介绍e时，笔者说：自然对数的底数e=2.718281828459045……，像π一样，它也是一个无理数，其前16位有一个巧妙的记忆方法：同学们可以想象一名老漆匠在刷油漆，身上一不小心沾上两点漆（2.7），为了把油漆弄下来，他一扒两扒（1828），但是还没有弄下来，于是再一扒两扒（1828），而且一边扒一边自言自语：“失误（45）！我久练（90）也失误（45）了”满教室都是笑声，学生在轻松的气氛中就记住了。

又如在讲“两角和差公式”时，笔者用“笑”代替“sinα”，用“哭”代替“cosα”。sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ就是“笑哭，哭笑”，并且解释：“由于笑哭，哭笑，变化不是很明显，所以它们中间的运算号就跟着两角的运算号，不用变化。”而cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ就是“哭哭，笑笑”，并且解释：“由于哭哭到笑笑，变化超大，所以它们中间的运算号就要跟前面两角的运算号反一反了。”这样课堂上“哭、笑”声成片，学生在轻松、愉悦的氛围中就把两组公式记住了。事实证明这部分内容学生失分率很低，公式能长久记忆和正确运用。

在教学过程中巧用诙谐幽默、适度夸张、押韵合辙的语言，给学生以良性的有效刺激，使他们心理和谐、智力兴奋、意志坚韧，帮助他们摆脱学习困惑，能帮助学生“懂”起来。再通过课外作业，做到查漏补缺，促进“会做”向“做对”“做全”发展。

（三）培養分析思维，防忘记讨论现象

为了使学生“会”，就要培养学生的分析性思维。在讲解时，要一步步地合理的运算、严谨的推理，要暴露自己解决问题的思考过程，把自己如何想到正确解法，走了什么弯路，遇害到什么障碍，做了哪些猜想，全部暴露给学生，要从学生容易接受的角度讲自然的解法。教师必须牢记波利亚的话：“让你的学生提问题，要不就像他们自己提问的那样你去提出这些问题;让你的学生给出解答，要不就像他们自己给出的那样由你给出解答。”

例如许多学生在求等比数列的前n项和时，总是忘记对公比q=1的情况进行讨论。虽然在讲新课时我们的老师都对q=1的情形做了清晰的“说明”，并说明这体现了分类讨论的思想，叮嘱学生运用公式时需要注意讨论。但这种“说明”只是“解释”，只是“贴标签”“喊口号”缺少让学生自己发现、大胆试误，不能给学生留下深刻印象，更不能形成自觉的数学意识。如果在得到（1-q）Sn=a1（1-qn）后，能够放手上学生自己进行下一步的化简变形，并评判化简过程、化简所得结论是否完善、如何进行调整，让学生自己探究发现“为何要讨论”“何时需要讨论”“如何进行讨论”等，这对渗透分类讨论思想、强化分类讨论的意识将会有所裨益。又如“已知数列前n项和Sn=4-3n，求该数列的通项公式。”学生常忘记分类讨论，即分为n+1;n≥2两类进行解答，从而导致漏答案现象发生。因此教师要在课堂上讲清数列通项公式和数列前n项和公式的概念及其之间的联系。让分类讨论的思想触动学生的心弦，并引发共鸣，强化分类讨论的意识。

（四）借用思维导图，帮助学生理解

教学中碰到的“懂”而不“会”现象，有很多是学生提取长时记忆中的相关知识时遇到了障碍，而这种障碍的出现很可能与教学设计中教师对学生的工作记忆的有限性考虑不足有关，从而阻碍了学生对问题陈述中所提及的信息做出精致和组织。笔者之前都是先变公式，然后套数据，几届教下来之后发现学生听得“懂”，但是“不会”。后来利用思维导图教学，尤其在习题课或者复习课中应用效果不错。例如在高三三角函数第二轮复习课中，笔者设计了一个条件：“已知a终边上一点P（2，2），请用给定条件得到尽可能多的关于角的特征值”。结合学生的回答和教师引导，得到了下列思维导图。

整个思维导图几几乎包含了《第六章三角函数》中的任意角、弧度制、三角函数定义、同角关系、诱导公式和两角和差的正余弦、正切公式，节点之间的连接可以充分结合图形，发挥学生的直观思维的作用。将点坐标改变，又得到了另外一套题，可以反复利用，比之单纯的知识结构图，更有操作性。

这种方法在课堂实施以后，课堂教学氛围有了比较明显的改变，不同层次的学生在课堂上都有自己的收获。再加上有针对性的作业，“懂而不会”的现象大大减少了。

（五）归纳整理，培养解决常见问题的能力

学生的“会”，需要有一定的思维固着点，即有能够迁移的范例，有可利用的通法，有解答数学问题的一些窍门。

首先，使学生掌握基本问题的基本解法。例如，求范围问题（包括值域、最值），基本的方法是化归法（化归为基本函数）、数形结合法（通过图像、图形、数轴直观获得，基本的函数都可以用此法）、单调性法，这些都应该让学生在不同的阶段逐渐掌握。

其次，解题应该较多地使用通性通法。例如，“在含有200项的等差数列a■中，若偶数项的和为7500，奇数项的和为7300，试求中间两项的值。”要优先讲“用基本元列方程”的方法。至于用等差数列下标等和的性质求解，可以“一试身手”，但不能“喧宾夺主”，其实用等差数列下标等和的性质也可以通过灵活解方程来体现。

第三，努力使学生熟练地应用基本模式。对于基本模式的教学要让模式的“出世”经过尝试而必然产生，要对模式做全方位剖析。当学生识别模式发生错误时，或没有识别出模式时，则要引导学生辨析，以提高学生“识模”“辨模”“用模”的能力，不要用“抛盘子”的方式硬生生地把模式抛给学生，否则过了一段时间学生便不会了;也不能为了学生会解某类问题，就把方法限制得很死，还要在学生对模式运用熟练后，引导突破框框，灵活求解。

第四，培养学生用数学思想方法指导解题。如果能将在个别的零散的解题活动中所使用的方式方法统一到数学思想方法的高度，就会使得解题更有方向性，能从宏观层面上把握解题活动，解题会更整体化、更准确、更灵活。落到实处的具体做法是把一些常用的方法上升到更一般意义。例如，消元法一般都是局限于在已知几个等式的条件下消元，常用的消元法有代入消元或加减消元。对于消元法还可以上升到更一般意义，在数列教学时添补“相除消元法”。

前苏联数学教育家斯托利亚尔说：“数学教学是数学活动（思维活动）的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学。”因此，我们不仅要让学生知道知识，更要让学生理解，会进行知识迁移并得到灵活运用。数学教学首先要保证学生“懂”，然后将“懂”发展为“会”，继而提高到“会学”。这是我们每位教师追求的教学。

参考文献：

[1]孟小龙.中学数学教学策略研究[M]。上海：上海辞书出版社，2005。

[2]王光明，杨蕊.数学学习中的“懂而不会”现象[J]。中学数学教学参考，2012（10）。

[3]李广修，杨兴军.厘清“懂”和“会”的关系，促进学生既“懂”又“会”。中学数学参考，2013（6）。

[4]吴庆麟译，教育心理学——课堂决策的整合之路。上海：上海人民出版社，2008。