公序波

【摘要】数学史对数学教育的积极作用，已经得到国内外的普遍认可，也提出了许多可操作的方法，可以根据不同的教学内容，做出适当的选择。新课改人教版高中数学教材中三角恒等变换开始用解析几何的方法推导出三角恒等式，教材安排的非常简练、严密，但是为了更好地帮助学生理解和记忆，可以参考数学史上不同时期的数学家探索三角变换的过程，会对教学提供一些有益的启发。

【关键词】数学史  数学教学  三角恒等变换

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）09-0180-01

一、研究的背景

数学是一门高度抽象的学科，不仅数学的概念是抽象的和思辨的，而且数学的思想和方法也是抽象和思辨的（亚历山大洛夫，1988），数学教学不仅要教会学生用数学工具解决问题，更要让学生理解数学中所用到的思想和方法，这是数学的灵魂。

历史上许多大数学家都很重视数学史知识对数学学习所起的积极作用，但真正开始系统地研究他们之间的关系却是在1972年，在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（international study group on the relations between history and pedagogy of mathematics，简称hpm），该小组成立近30年来，对于如何将数学史与数学教育作联结，进而对数学教学的改善和数学课程的发展有所帮助，提供数学教师多种可以使用的资源提出了许多建议，受到国界数学教育界的关注。

我国的数学课程改革为我们的hpm研究提供了现实的背景和实践的空间，事实上新课程标准有对数学史知识的要求“数学课程应适当反映数学发展的历史、应用和趋势，……应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观”，因此，数学史与数学教育的研究应该成为中学数学教师关注并引领实践的重要内容。我国的李俨、钱宝琮、沈康身、汪晓勤、韩祥林几位前辈在数学史的研究过程中著作颇丰，尤其是汪晓琴、韩祥林两位教授在hpm研究方面取得了很多成果。对于怎样在数学教育中融入数学史他们介绍了一种注入历史的教学法——发生教学法（genetic approach to teaching and learning）。该方法需要：（1）数学教师了解所教主题的历史;（2）确定该主题发展的关键步骤;（3）重新构建关键步骤，使之适用于课堂教学;（4）重构步骤按从易到难的系列问题给出，后面的问题建立在前面问题的基础上。

二、数学史作用于数学教学的案例

如鲁人版高中数学必修4第三章三角恒等变换中的内容，从教材内容来看，主要是两角和与差的正弦、余弦和正切公式以及简单的恒等变换。但是对很多学生来说，三角变换成了大堆的公式，成了符号和文字的组合，学生对它的理解也是机械的记忆，不利于学生对三角变换的理解。三角恒等变换和解三角形基本知识回顾。

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ        sin2a=2sinαcosα

cos（α±β）=cosαcosβ sinαsinβ           cos2α=cos2α-sin2α

↓                          =2cos2α-1=1-2sin2α

tan（α±β）=            ？圯cos2α=

↓                           sin2α=

tan2α=

2.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有：

巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。如α=（α+β）-β=（α-β）+β，2α=（α+β）+（α-β），2α=（β+α）-（β-α），α+β=2· ， =（α- ）-（ -β）等）

3.辅助角公式中辅助角的确定：αsinx+bcosx= sin（x+？夼）（其中？夼角所在的象限由a， b的符号确定，？夼角的值由tan？夼= 确定）在求最值、化简时起着重要作用。

4.求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范圍内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值）。

5.三角形中的有关公式：

（1）内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形？圳三内角都是锐角？圳三内角的余弦值为正值？圳任两角和都是钝角？圳任意两边的平方和大于第三边的平方。

（2）正弦定理： = = =2R（R为三角形外接圆的半径）。注意：①正弦定理的一些变式：（i）a：b：c=sinA：sinB：sinC;（ii）sinA= ，sinB= ，sinC= ;（iii）a=2RsinA，b=2RsinB，b=2RsinC;②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解。

（3）余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，cosA= 等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状。

（4）面积公式：S= aha= absinC= r（a+b+c）（其中r为三角形内切圆半径）。如△ABC中，若sin2A cos2B-cos2Asin2B=sin2C，判断△ABC的形状（答：直角三角形）。

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A+B+C=？仔这个特殊性：A+B=？仔-C，sin（A+B）=sinC，sin =cos ;（2）求解三角形中含有邊角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

为了更好地促进学生学习本章的内容，我们可以参照古希腊天文学家托勒密为了制作弦表而提出的托勒密定理：圆内接四边形的对角线乘积等于两对边乘积之和。设abcd是直径为1的圆o的内接四边形，对角线bd为圆的直径，∠abd=α，∠dbc=β，利用托勒密定理即可得和角公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ（证明略），差角公式也可以用类似的证明，但是这个证明的几何推理相对比较繁琐，让学生感觉好像是在学习平面几何，有喧宾夺主的感觉，有人参照该证明方法和勾股定理的几何证明给出了如下的几何证明差角公式的方法。oa=1，∠aoc=α，∠bod=β，由该图容易证明两角差的余弦公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ非常简明直观的给出了和角公式的几何意义，虽然这里的角都是锐角的形式，还没有进行角的推广，如直角、钝角甚至任意角的情况的证明，但是有助于学生运用先前的平面几何的知识迅速的掌握和角公式。而本章后面的公式都可以用类似的方法证明，这里不再赘述。

三、数学史支持数学教学的优势

我们可以将数学史上的类似知识同教材中的内容相互结合，更好地促进教学，让代数与具体的图形连接起来，可以让代数证明不再是抽象的文字游戏，让代数结论展现在直观的几何图形之上，有助于提升学生的学习动机与抽象公式的具体化。而在数学史上还有大量类似的知识，对教师的数学教学和学生的数学学习提供有力的支持，其中所体现的思想方法对学生也有重要的启发意义。另外，现代的信息技术也可为数学史融入数学教学提供了技术支持，如何在技术的支持下实现数学史融入数学教学效果的最优化，也是一个值得探索的问题。