陈鲁

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）09-0080-01

新课标倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式。要转变传统的课堂教学主要由教师讲学生听的教学方式，使数学的教与学的过程成为学生通过亲身体验知识的发现与探究的过程，通过不断地反思与总结，从而提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，发展批判性思维、创造力和独立思考的能力。探究型教学首先要促使学生主动学习;然后再倡导旨在培养学生批判思维与提高学生提出问题、解决问题技能的探究式学习。最后以解决问题为中心，多种学习途径相整合，强调协作与交流的作用，以及鼓励支持与引导的问题式学习。怎样才能成功地引导学生开展探究性学习呢？

一、活用教材资源展开探究

新课标指出：教材是重要的课程资源，但不是唯一的课程资源，教材凝聚着编写者的心血，蕴藏着丰富的内涵，给教师提供了广阔、开放的研究空间，提倡用教材教，但不只是教教材，要求创造性地使用教材，以发挥教材的最大教学功能。

二、由高考题索源展开探究

高考题不少是从课本中的例题与习题、历年的高考试题、历年的初高中数学竞赛试题、高等数学试题进行加工、改造、演变而成的，还有个别的创新试题，改编的方法多种多样，有时适当增加条件，有时则把条件中的具体数字改为字母，有时换个方法表述题意，有时是几何问题以代数函数的面目出现，所以对高考题的源进行探索，可采集不少数学探究资源。

三、采集类比资源展开探究

类比方法是根据两个对象或两类事物的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法。作为一种从特殊到特殊的推理方法，尽管由类比得出的结论不一定正确，但它却能独辟蹊径，给人以灵感和启示，正如波利亚所说，“类比是伟大的引路人”。新教材特增了《类比推理》这一节的内容，可见其对类比方法之重视程度，中学数学中可作类比的资源非常丰富，例如平面与空间相应问题的类比，等差数列与等比数列间的类比，圆锥曲线间的类比，数学低维问题与高维问题的类比等。运用类比的思想方法，可采集不少数学探究资源，引导学生开展探究性学习。例如下面三个问题：

（1）已知P是椭圆 + =1上任一点，F是椭圆的一个焦点，则以线段PF为直径的圆与圆x2+y2=a2相内切。

（2）已知P是双曲线 - =1上任一点，F是双曲线的一个焦点，则以线段PF为直径的圆与圆x2+y2=a2相切（可能内切也可能外切）。

（3）已知P是抛物线上y2=2px任一点，F是抛物线的焦点， 以线段PF为直径的圆与y轴相切。

这些问题，在不少数学复习资料中都有出现，完全可以算得上是陈题，如果单独解决这些问题，也不算难，就算解决了，也不能满足学生的探究欲望，笔者则把它改编为下面系列探究问题，引导学生探究。

1.引例

P是圆 x2+y2=r2上任一点，O是圆心，显然：存在一个定圆（就是圆O）与以线段OP为直径的圆相切。

2.推广

2.1推广到椭圆

圆是椭圆的极端情境，这个结果与图境，若推广到椭圆中，会有怎样的情境与结果呢？

圆上任一点——椭圆上任一点，圆心——椭圆的一焦点，于是就有：

问题（1）已知P是椭圆 + =1上任一点，F是椭圆的一个焦点，是否存在定圆与以线段PF为直径的圆都相切？

2.2推广到双曲线

双曲线中有类似的图境吗？是否可以提出类似的问题呢？

问题（2）把问题（1）条件中的椭圆“ + =1”改为双曲线“ - =1，则是否仍有相同或类似的结论？

2.3推广到抛物线

这个结果能否推广到抛物线上？但是，抛物线只有一个焦点，没有对称中心，是否存在类似的定圆呢？

问题（3）再把问题（1）条件中的椭圆“ + =1” 改为抛物线“y2=2px”，结论又会成怎样呢？

上面问题中的前两个，引导学生采取先由一些特殊位置点P，确定一个定圆，再作一般性证明的方法，学生并不难解决，对于第（3）个问题，学生也不难得出“以线段PF为直径的圆与y轴相切”的结论，在学生成功探究出上面结论之时，笔者并不满足于已有结果，进一步诱导学生从运动变化的觉度思考：抛物线、椭圆、双曲线可统一定义，由离心率的变化改变曲线类型，椭圆、双曲线的离心率趋于1时，上面问题（1）及问题（2）中的定圆将如何变化？最终离心率e=1时，这定圆跑到哪里去了？有无“蜕变”为其它曲线？

经过这样的诱导，学生的思维又被激活，最后把上面三个问题统一放到以点F（ ，0）为焦点，直线x=- 为准线，离心率为e的圆锥曲线方程（x- ）2+y2=e2（x+ ）2中来研究，当e≠1时，令y=0，得其在x轴上的两顶点坐标分别为A（ ，0）、B（ ，0），且这两点就是问题（1）与（2）中定圆直径的端点，当e→1+时，点A沿x轴负方向趋于无穷远，点B趋于原点，当e→1-时，点A沿x轴正方向趋于无穷远，点B趋于原点，所以随着离心率e的值向1趋近，问题（1）、（2）中的定圆半径都趋于无穷大，当e=1时，对应的抛物线不存在类似于问题（1）、（2）中的定圆与以其焦半径为直径的圆相切。

进而证明得：以抛物线y2=2px焦半径为直径的圆都与y轴相切，证明此略。

当e→1时，通过多媒体教学设备演示了上面问题中所说的“蜕变”过程。可以发现：y轴可以看作是问题（1）、（2）中的定圆当半径趋于无穷大时的极限状态。至此，是否存在定圆与以圆锥曲线焦半径为直径的圆都相切的问题得到了圆满的解决。

通过揭示上面三个问题的内在联系的探究，可使学生深刻了解圆，椭圆，双曲线与抛物线间运动变化与辩证联系。

四、顺应学生思路展开探究

传统的数学课堂教学方式，特别是解题教学及试卷讲评时，都是按照教师的思路和标准答案，把那些看似巧妙的方法教给学生，但学生听了以后总有这些解法突然从天而降的感觉，听了虽然明白，但情景稍加变化，则自己就做不出来。甚至有些教师在给学生评卷时，对学生的解答只要是与标准答案不一样，又没做出最后结果的，就一概不给分，这严重扼杀学生的思维发展。我国教育家叶圣陶早就指出：“能不能把古来的传统变一变，让学生处于主动的地位呢？假如着重在培养学生自己动手改的能力，教师只给学生引导和指点，该怎么改让学生自己去考虑，去完成，學生不就处于主动地位了吗？养成了自己改的能力，这是终身受用的”。

以上是笔者在多方采集数学探究资源，引导学生开展探究性学习的一实践与探索，笔者认为：只要我们教师转变观念，用心去关注探究性学习的开展，数学探究性学习资源无处不在，就能采集到激活学生思维的素材，让真正的探究学习之花在课堂盛开，就能使学生对数学充满兴趣，积极主动地参与其中，课堂教学效益将得到大大的提高，为学生能力的提高奠定坚实的基础。