褚超美，杜玉昊，张 斌，刘延波

(上海理工大学机械工程学院，上海 200093)

前言

变速器壳体是汽车变速传动系统的支撑体，由于受到齿轮轴和外部车身传递冲击力的作用，极易因结构强度不足而引起局部断裂，导致齿轮传动的可靠性能下降。因此通常在壳体设计阶段须应用有限元分析法对其进行结构强度分析，使之达到使用要求。网格划分是建立有限元模型的一个重要环节，网格划分的合理性，将会对有限元计算精度和计算规模产生直接影响。

有限元网格划分须根据不同的对象采取不同的网格划分方法和单元类型，因此须针对具体目标设定合理的网格划分方案。为满足整车空间布置、结构轻量化和可靠性设计的要求，变速器壳体大多被设计成一个形状不规则、内外部结构复杂，壁厚不均匀，且在任一方向上都不对称的特殊结构体。对于类似变速器壳体这种复杂的几何模型，一种高质量、高计算效率的有限元模型网格划分方法，是取得高可信度有限元分析结果的重要保障。

1 网格划分对求解精度和经济性的影响

为了得到较高精度的计算结果，常选用高精度的高阶单元或小单元尺寸对复杂体进行整体网格加密。但应用实践表明:单纯的网格划分方法和单一的单元类型对变速器壳体有限元分析求解精度和经济性的效果并不理想。为定性分析常用网格划分方法对变速器壳体有限元分析效果的影响，现以变速器壳体的最大应力和位移结果为依据，对采用不同网格划分方法分析的计算精度、分析效率和计算资源等综合效果进行对比分析。

1.1 单元尺寸的影响分析

基于高阶四面体的三维实体单元，分别以4、3、2.5和2mm为基本单元尺寸，对变速器壳体进行网格划分，比较单元尺寸对强度分析效果的影响。表1示出不同单元尺寸下的单元数量。以图1～图4所示的不同单元尺寸有限元模型位移云图为例，可明显看出变速器壳体有限元分析结果随基本单元尺寸的改变产生的差异。

表1 不同单元尺寸下的单元数量

图5和图6所示为单元尺寸对求解精度和经济性的影响。由图可见:当单元尺寸从4mm加密至3mm时，最大应力和位移的计算值都有较大增加，而计算时间和占用空间仅略有增加;当继续减小特征尺寸至2.5mm时，最大应力和位移变化幅度均不大，分别为5.7%和4.8%，但是由于壳体有限元模型中的节点和单元数量增长却很快，计算经济性迅速下降。其中:计算时间增加了1.5倍，占用空间增加了9%;当单元尺寸继续从2.5mm减小至2mm时，最大应力和最大位移值几乎没有增加，但是计算时间却增加了1倍，占用空间也提高了62%。因此，从提高工作效率的角度看，整体过密的网格分布，对提高求解精度意义不大［1］。综合考虑计算精度和求解经济性认为:变速器壳体有限元模型基本单元尺寸取3mm较为合理。

1.2 单元类型的影响分析

根据对单元尺寸的研究结论，选取3mm为基本单元尺寸分别对壳体进行高阶四面体和低阶四面体网格划分和强度分析，结果如表2和图7、图8所示。

表2 不同阶数四面体网格计算信息对比

通过对表2中模型单元、节点数、计算时间和占用空间对比可见，相同单元数时，高阶四面体节点数量远大于低阶四面体节点数量，两者占用空间虽然相差不大，但是采用高阶四面体模型的计算时间远大于低阶四面体模型。由图7和图8可见:同等网格密度下，高阶四面体单元位移计算结果与理论解更为接近。综上所述，高阶四面体单元具有高精度计算优势，低阶四面体单元具有高效性优势。

2 网格划分方法计算误差分析

通过网格收敛性分析，综合比较求解精确性和计算经济性，得到较为合适的基本单元尺寸，但仍无法满足对于关注部位的求解精度要求。为获得更为精确的计算结果，须对网格划分方法进行计算误差分析。根据有限元理论，任一有限元子空间上的计算误差是由内部残值和边界残值造成的［2-3］，即

式中:r(uh)为内部残值;R(uh)为边界残值;τ为两匹配单元ε、ε'的公共边;V是空间。

当 τ = ∂ε∩∂Ω时，有 R(uh)=Rε(uh)，称 r(uh)与Rε(uh)为单元ε的单元残值，基于单元残值与式(1)，可得

将单元ε内残值r(uh)与Rε(uh)在全域所产生的误差表示为eε，满足如下变分问题:

由式(4)与叠加法可得

由局部误差和全局误差理论得知，有限元分析过程中，如果网格划分不合理，高应力梯度区域和应力集中点等关键性区域会产生较大的残值，自身易产生较大的局部误差，并导致其他区域较大全局误差的产生［5］。事实上，对于满足协调性与完备性要求的有限元求解模型，所有关键性区域的网格划分水平决定了整个有限元模型的计算精度。因此，对壳体有限元模型中所有关键性区域进行合理网格划分，重点关注部位的误差特性和导致误差产生的具体因素，便可同时解决模型中任一子区域或单元的局部误差与全局误差两方面的问题［6］，从而获得较高精度的计算结果。

3 壳体关键性区域网格划分方法

提高壳体关键性区域有限元计算精度的主要方法是提高单元阶次和进行网格加密［7］。通过对变速器壳体有限元模型单元类型的计算精度和经济性综合对比分析，认为高阶四面体模型是相对理想的单元类型。因此提出运用高阶四面体模型，对关键性区域进行局部网格加密的方法，实现提高局部计算效果的目的。

3.1 壳体关键性区域的建立

由于构件空间拓扑形状比较复杂和外载荷的原因，工程中大多数有限元模型中总存在一些高应力梯度区域或应力集中点。如果有限元模型网格划分太疏或质量较差，高应力梯度区域和应力集中点附近残值较大，可能会导致较大的局部误差产生［8-9］。在某高应力梯度子域Ωk内，令

对于待求解问题，假定C=const，0＜C＜1，关键性区域是有限元求解模型中的应力集中点部位或高应力梯度子区域，在其内部α1≤C。但是对于实际工程问题，真解uEX(X)无法得到，所以αi也无法得到，只能通过仿真计算进行粗略估计。因此，在实际工程应用中，对于关键性区域，无法通过上述方式进行划分，只能通过对粗糙模型的计算分析，确定出关键性区域。工程结构中，应力集中点区域相对于整体结构而言较小，加密的网格和由细密网格到稀疏网格的过渡网格所占据的区域应足以包含应力集中区域［10］。根据圣维南原理，只要细密网格与稀疏网格之间的过渡边界与关注部位保持一定距离即可得到较为精确的计算结果［6］。

3.2 关键性区域网格加密法的应用

根据高阶四面体3mm有限元模型计算结果，可以区分出高应力梯度区域，并视为有限元分析的关键性区域，直接对其有限元模型2D网格进行加密(图9)。分别采用1和0.5mm对关键性区域进行网格划分，并进行收敛性趋势分析。表3为关键性区域网格信息。由表可见:采用不同单元尺寸进行局部细化时，当关键性区域单元尺寸从3减小至1mm时，关键性区域倒角处分布有5个单元，关键性区域的应力增加较为明显，增幅为7.9%，计算精度明显提高，但网格数增量不大，计算时间和占用空间没有较大增加;当网格细化至0.5mm后，再继续减小尺寸，关键性区域的最大应力由133.2增加至137.2MPa，计算精度提高甚微，此时的计算时间和占用空间相对应力值有较为明显的增加。因此，认为单元尺寸收敛规律的拐点在1mm处;综合考虑求解精度和计算经济性等因素，确定采用1mm作为壳体关键性区域网格加密的理想单元尺寸。

表3 关键性区域网格信息

4 结论

(1)对不同阶次单元的变速器壳体有限元计算结果表明:同等网格密度下，高阶四面体单元应力、位移计算结果与有限元理论更接近，计算精度明显优于低阶四面体单元。

(2)对所研究的目标变速器壳体不同单元尺寸高阶四面体壳体模型收敛性、计算精度和计算经济性的综合分析结果表明:3mm是该有限元模型最为理想的网格划分基本单元尺寸;根据此方法，同样可寻找其他不同结构、尺寸和复杂程度变速器壳体的最佳有限元模型网格划分基本单元尺寸。

(3)由于关键性区域局部误差对求解误差有着至关重要的影响，因此运用对高应力梯度区域网格基本单元加密，是提高汽车变速器壳体类复杂零件有限元分析精度的有效方法。

(4)通过对变速器壳体关键性区域网格质量优化测试得知:1mm单元是该目标变速器壳体关键性区域网格加密的理想单元尺寸。

［1］ 沈满德，陈良益，何俊华，等.基于优化设计的单元尺寸确定方法［J］.微计算机信息，2007，23(12-1):239-241.

［2］ 朱起定.有限元高精度后处理理论［M］.北京:科学出版社，2008.

［3］ 杨强，吴浩，周维垣.h-型自适应有限元法分析中的大坝应力取值标准［J］.水利学报，2005(3):321-327.

［4］ 李涛，左正兴，廖日东.结构仿真高精度有限元网格划分方法［J］.机械工程学报，2009，45(6):304-308.

［5］ Ly D Nguyen，Taison Ku，Remo Neri.A Methodology to Analyze Aircraft Engine Gearbox and Mounting System Simultaneously U-sing Finite Element Analysis［C］.SAE Paper 2002-01-2993.

［6］ Nguyen Dang Hung，Tran Thanh Ngoc.Analysis of Cracked Plates and Shells Using“Metis”Finite Element model［J］.Finite Elements in Analysis and Design，2004，40:855-878.

［7］ 杜平安.有限元网格划分的基本原则［J］.机械设计与制造，2000(1):34-36.

［8］ Babuška I，Strouboulis T，Gangaraj S K，et al.Practical Aspects of A-posteriori Estimation for Reliable Finite Element Analysis［J］.Computers ＆ Structures，1998，66(5):627-664.

［9］ Lo S H.Optimization of Tetrahedral Meshes Based on Element Shape Measures［J］.Computers ＆ Structures，1997，63(5):951-961.

［10］ Zou Wensheng，Zuo Zhengxing，Feng Huihua，et al.Application of the Sub-model Method in the Engine Strength Analysis［J］.Journal of Beijing Institute of Technology，2001，10(3):260-265.