张万里,林安

向量优化中集合的一些相对代数性质和相对拓扑性质

张万里,林安

(重庆师范大学数学学院,重庆401331)

基于Flores-Baz´an等人的思想,提出了假设B1和假设B2,证明了集合和的相对代数内部等于相对代数内部的和;集合代数闭包与相对代数内部的和等于和的相对代数内部;集合和的相对拓扑内部等于相对拓扑内部的和;集合拓扑闭包与相对拓扑内部的和等于和的相对拓扑内部,建立了集合代数闭包相等与代数内部相等,拓扑闭包相等与拓扑内部相等之间的一些等价关系.

向量优化;假设B;相对代数性质;相对拓扑性质

1 引言

凸集的相对代数性质和相对拓扑性质在向量优化理论研究中具有十分重要的作用[1-2].然而,在实际问题中存在大量的非凸集.因此,如何在适当假设条件下获得非凸集的一些相对代数性质和相对拓扑性质是非常有意义的研究主题.1959年,Debreu[3]引入了free disposal集的概念,并提出了假设A:设P⊆Y为内部非空的真凸锥,SY满足0∈∂S且S+int P=int S(或S+int P⊆S,或cl S+int P⊆S).此后,在经济理论和优化问题中与该假设有关的条件被广泛应用.2007年,Bonnisseau[4]等人在P是闭凸锥的情况下提出了free disposal假设P:S+P=S.2010年,Tammer[5]等人又提出了强free-disposal假设PS:S+(P{0})=int S或cl S+int P⊆S.2011年,Flores-Baz´an[6]等人指出假设A,假设P,假设PS具有如下关系:当0∈∂S,int S/=∅且int P/=∅时,(PS)⇒(P)⇒(A),并提出了假设B:0/=q∈Y,SY满足0∈∂S且cl S+R++q⊆int S,其中R++(0,+∞).此外,Flores-Baz´an等人还在假设B下获得了集合的一些拓扑性质.假设B目前已成为研究向量优化问题的重要工具[7-9].

受文献[6,10]中研究工作的启发,本文分别在实线性空间和实拓扑线性空间中提出了假设B1和假设B2,并在相应条件下证明了集合的一些相对代数性质和相对拓扑性质.

2 假设B1下集合的一些相对代数性质

假定Y是实线性空间,S为Y的非空子集,Sc,Sri分别表示S的代数闭包和相对代数内部,Rn表示n维欧氏空间.基于Flores-Baz´an等人的思想,本文提出假设B1:0/=q∈Y, Sc+R++q⊆Sri.

注2.1若S满足假设B1,则Sri非空.

注2.2若S满足假设B,则S满足假设B1,反之不一定成立.

例2.1令Y=R3,S={(x1,x2,0)|1≥x1≥0,x2≥1}∪{(x1,x2,0)|x1≥1,x2≥0}, q=(1,1,0).显然,S关于q满足假设B1,但S不满足假设B.

注2.3上面的例2.1也表明满足假设B1的集合S不必是凸集,也不必是锥.

定义2.1[1]S的代数闭包Sc={y∈Y|∃h∈Y,∀ε>0,∃t∈[0,ε],s+th∈S}.

定义2.2[1]S的相对代数内部Sri={s∈S|∀h∈af fS−s,∃ε>0,∀t∈[0,ε],s+th∈S}.

引理2.1[11]设S,F⊆Y为两个非空集,则Sc+Fc⊆(S+F)c.

引理2.2设非空集S关于0/=q∈Y满足假设B1,则S+R++q=Sc+R++q=Sri.

证明任取s∈S,显然有0∈af fS−s.因此−q∈af fS−(s+q).由s∈Sc和S满足假设B1得s+q∈Sc+R++q⊆Sri.于是af fS−(s+q)⊆af fS−Sri⊆af fS−S.

任取x∈Sri,由定义2.2可知,对于q∈Y,存在ε0>0,使得x∈S+ε0q⊆S+R++q.故

再由S满足假设B1可得S+R++q⊆Sc+R++q⊆Sri.结论得证.

定理2.1设S,P⊆Y为两个非空集,且S,S+P关于0/=q∈Y满足假设B1,则

证明任取x∈(S+P)ri⊆S+P,则存在s∈S,p∈P,使得x=s+p.因为

根据定义2.2可知,对于q∈Y,存在ε0>0,使得x∈S+ε0q+P⊆Sri+P.于是(S+P)ri⊆Sri+P.

任取y∈Sri+P,则存在s∈Sri,p∈P,使得y−p=s∈Sri.由相对代数内部的定义可知:

因而y∈(S+p)ri.根据引理2.2得S+R++q=Sri,(S+P)+R++q=(S+P)ri.故

则有Sri+P⊆(S+P)ri.结论得证.

注2.4从定理2.1的证明可知:若S关于0/=q∈Y满足假设B1,则(S+P)ri⊆Sri+P.

注2.5定理2.1中条件“S+P关于0/=q∈Y满足假设B1”不能去掉,否则结论可能不成立.

例2.2令Y=R2,S={(x1,x2)|x1=0,x2≥0},P={(x1,x2)|x1≥1,x2≥1},q=(0,1).显然,S关于q满足假设B1,S+P=P关于q不满足假设B1.进一步可验证

推论2.1设S,P⊆Y为两个非空集,且S,P,S+P关于0/=q∈Y满足假设B1,则

证明由定理2.1可知结论显然成立.

定理2.2设S,P⊆Y为两个非空集,且S,P,S+P关于0/=q∈Y满足假设B1,则

证明任取x∈Sc+Pri,存在s∈Sc,p∈Pri,使得x=s+p.因为

由相对代数内部定义知,对于q∈Y,存在ε0>0,使得x∈Sc+ε0q+P⊆Sri+P.故

另一方面,结合定理2.1易得(S+P)ri=S+Pri⊆Sc+Pri.结论得证.

推论2.2设S,P⊆Y为两个非空集,且S,P,S+P关于0/=q∈Y满足假设B1,则

证明根据推论2.1和定理2.2可得结论成立.

定理2.3设S,P⊆Y为两个非空集,S关于0/=q∈Y满足假设B1,则

证明由引理2.1和引理2.2得,

此外,(Sri+P)c⊆(S+P)c是显然的.结论得证.

推论2.3设S,P⊆Y为两个非空集,关于0/=q1,q2∈Y分别满足假设B1,则

证明由定理2.3可知结论显然成立.

定理2.4设S⊆Y为非空集且关于0/=q∈Y满足假设B1,则(Sri)c=Sc,(Sc)ri=Sri.证明任取x∈Sc,令h=q∈Y,对任意的ε>0,t∈(0,ε]⊆[0,ε],均有

由代数闭包的定义得x∈(Sri)c.故Sc⊆(Sri)c.此外,显然有(Sri)c⊆Sc.因此(Sri)c=Sc.

任取s∈Sc,因为−q∈af f(Sc)−s−q⊆af f(Sc)−Sc,故对任意的y∈(Sc)ri,存在ε0>0,使得y∈Sc+ε0q⊆Sri.于是(Sc)ri⊆Sri.此外,Sri⊆(Sc)ri.因此(Sc)ri=Sri.结论得证.

一般情况下,仅有(Sri)ri⊆Sri,Sc⊆(Sc)c.然而下面的例子表明:若S关于0/=q∈Y满足假设B1,则(Sri)ri=Sri,Sc=(Sc)c,即Sri是相对代数开集,Sc是代数闭集.

例2.3令Y=R3,S={(x1,x2,0)|x1≥0,x2≥0},q=(1,1,0).

显然,S关于q满足假设B1,且可验证:

因此,Sri是相对代数开集,Sc是代数闭集.

定理2.5设S关于0/=q∈Y满足假设B1,则Sri=(Sri)ri,Sc=(Sc)c.

证明显然(S+R++q)ri=(S+R+q)ri.由定理2.1和引理2.2得,

由引理2.1和定理2.4得(Sc)c+R+q⊆(Sc+R++q)c⊆(Sri)c=Sc.故(Sc)c⊆Sc.此外,Sc⊆(Sc)c是显然的.结论得证.

定理2.6设S,P⊆Y为两个非空集,对于0/=q1,q2∈Y分别满足假设B1,则

证明首先证明Sc=Pc⇔Sri=Pri.

若Sc=Pc,由定理2.4得Sri=(Sc)ri=(Pc)ri=Pri.

若Sri=Pri,由定理2.4得Sc=(Sri)c=(Pri)c=Pc.

接下来证明Sc=Pc⇔Sri⊆P⊆Sc.同理可证Sc=Pc⇔Pri⊆S⊆Pc.

若Sc=Pc,则Sri=Pri.于是Sri=Pri⊆P⊆Pc=Sc.

若Sri⊆P⊆Sc,由定理2.4和定理2.5得Sc=(Sri)c⊆Pc⊆(Sc)c=Sc,故Sc=Pc.

3 假设B2下集合的一些相对拓扑性质

假定Y是实拓扑线性空间,S为Y的非空子集,cl S,ri S,af fS分别表示S的拓扑闭包,相对拓扑内部和仿射包.基于相对拓扑内部,本文提出假设B2:

注3.1若S满足假设B2,则ri S非空.此外,S不一定是凸集也不一定是锥.

注3.2若S满足假设B,则S满足假设B2,反之不一定成立.

定义3.1[1]S的相对拓扑内部ri S={s∈S|存在零邻域U使得(s+U)∩cl(af fS)⊆S}.

引理3.1设S关于0/=q∈Y满足假设B2,则S+R++q=cl S+R++q=ri S.

证明任取x∈ri S,则存在零邻域U,使得

由U的吸收性,存在r∈R++,使得

此外,由x+rq⊆ri S⊆S及彷射集的性质,有

由(3.1)-(3.3)式,得

因此x∈S+rq⊆S+R++q.于是

结合S满足假设B2,得S+R++q⊆cl S+R++q⊆ri S.结论得证.

定理3.1设S,P⊆Y为两个非空集,且S,S+P关于0/=q∈Y满足假设B2,则

证明任取x∈ri(S+P)⊆S+P,则存在s∈S,p∈P,使得x=s+p,且存在零邻域U满足:

由U的吸收性知,存在r∈R++,使得

又由彷射集的性质可得,

由(3.4)-(3.6)式得,

则x∈ri S+P.故ri(S+P)⊆ri S+P.

任取y∈ri S+P,存在s∈ri S,p∈P,使得y−p=s∈ri S.由定义存在零邻域V,使得

即(y+V)∩cl(af f(S+p))⊆S+p.根据定义得y∈ri(S+p).根据引理3.1得,

则ri(S+p)=ri S+p=S+R++q+p⊆S+R++q+P.故ri S+P⊆ri(S+P).结论得证.

注3.3从定理3.1的证明可知:若S关于0/=q∈Y满足假设B2,则ri(S+P)⊆ri S+P.

注3.4定理3.1中条件“S+P关于0/=q∈Y满足假设B2”不能去掉,否则结论可能不成立.

推论3.1设S,P⊆Y为两个非空集,且S,P,S+P关于0/=q∈Y满足假设B2,则

证明由定理3.1可知结论成立.

类似于定理3.1的证明,可以得到下面的定理3.2及其推论.

定理3.2设S,P⊆Y为两个非空集,且S,P,S+P关于0/=q∈Y满足假设B2,则

推论3.2设S,P⊆Y为两个非空集,且S,P,S+P关于0/=q∈Y满足假设B2,则

定理3.3设S,P⊆Y为两个非空集,S关于0/=q∈Y满足假设B2,则

证明根据引理3.1,类似于定理2.3的证明可得结论成立.

推论3.3设S,P⊆Y为两个非空集,对于0/=q1,q2∈Y分别满足假设B2,则

定理3.4设S关于0/=q∈Y满足假设B2,则ri(cl S)=ri S,cl(ri S)=cl S.

证明类似于定理2.4的证明可得ri(cl S)=ri S.显然有,

下证cl S⊆cl(ri S).

任取x∈cl S,对任意的零邻域U,存在r∈R++,使得x+rq∈x+U.由x+rq∈ri S得(x+U)∩ri S非空.根据拓扑闭包的定义得x∈cl(ri S),于是clS⊆cl(ri S).结论得证.

定理3.5设S,P⊆Y为两个非空集,关于0/=q1,q2∈Y分别满足假设B2,则

证明类似于定理2.6的证明可得结论成立.

参考文献

[1]史书中.凸分析[M].上海:上海科学技术出版社,1990.

[2]Jahn J.Vector Optimization:Theory,Applications and Extensions[M].New York:Springer,2011.

[3]Debreu G.Theory of Value[M].New York:John Wiley,1959.

[4]Bonnisseau J M,Crettez B.On the characterization of efficient production vectors[J].Economic Theory, 2007,31(2):213-223.

[5]Tammer C,Zˇalinescu C.Lipschitz properties of the scalarization function and applications[J].Optimization, 2010,59(2):305-319.

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[11]杨玉红.集合的凸性及其应用[D].重庆:重庆师范大学图书馆,2007.

Some relative algebraical properties and relative topological properties of sets in vector optimization

Zhang Wanli,Lin An
(College of Mathematics Science,Chongqing Normal University,Chongqing401331,China)

In this paper,the Assumption B1and B2are proposed basing on the idea of Flores-Baz´an et al. The relative algebraic interior of the sum for two sets is equal to the sum of the relative algebraic interior for these sets,the sum of the algebraic closure of a set and the relative algebraic interior of a set is equal to the sum of the relative algebraic interior for the two sets,the relative topological interior of the sum for two sets is equal to the sum of the relative topological interior for these sets,the sum of topological closure of set and the relative topological interior of set is equal to the sum of the relative topological interior for the two sets are proved.Furthermore,the equivalent relations between equality of the algebraic closure and the equality of algebraic interior are established.We also obtain the similar equivalent relations for the topological closure and the relative topological interior.

vector optimization,Assumption B,relative algebraical properties,relative topological properties

O221.6

A

1008-5513(2014)06-0642-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.014

2014-07-23.

国家自然科学基金(11301574,11171363).

张万里(1987-),硕士生,研究方向：最优化理论及应用.

2010 MSC:90C26,90C29,90C30