华志强,董莹,玄海燕

长尾宽上限相依的不同分布的随机变量和的精确大偏差

华志强1,董莹2,玄海燕3

(1.内蒙古民族大学数学学院,内蒙古通辽028000;2.大连民族学院理学院,辽宁大连116600; 3.兰州理工大学理学院,甘肃兰州730050)

研究了服从长尾分布族上的随机变量和的精确大偏差问题,其中假设代表索赔额的随机变量序列是一列宽上限相依的、不同分布的随机变量序列.在给定一些假设条件下,得到了部分和与随机和的两种一致渐近结论.

长尾分布;精确大偏差;不同分布;宽上限相依

1 引言及预备知识

服从重尾分布的精确大偏差的研究集中在对P(Sn>x)和P(SN(t)>x)～在某些区域上的一致渐近估计.其中代表索赔额的随机变量序{Xn,n≥1}是一列取值非负的、独立的随机变量,其分布为F,具有有限的均值µ,而和SN(t)=为随机变量序列{Xn,n≥1}的部分和与随机和;而{N(t),t≥0}是一个由取非负整数值的独立随机变量序列而产生的计数过程,与随机变量序列{Xn,n≥1}相互独立,对所有的t≥0有λ(t)=EN(t)<∞,但当t→∞时有λ(t)→∞.许多研究只关注于随机变量之间独立同分布的情形[1−4].文献[5-6]研究了独立不同分布的部分和与随机和的精确大偏差;文献[7]研究了独立的长尾分布族上的随机变量和的精确大偏差;文献[8]研究了延拓负相依的随机变量序列的精确大偏差;文献[9]研究了宽相依的随机变量序列的尾概率;由文献[10]知长尾分布族包含了控制收敛尾分布族.本文研究了带宽相依的长尾分布族上的随机变量序列,得到了不同分布的随机变量和的精确大偏差,对文献[7]的相应结论进行了推广.

定义1.1[7]称某一非负随机变量X或其分布F为重尾的,如果不存在指数矩.即对任意的γ>0,EeγX不存在.称非负分布F(x)属于长尾分布族,如果对一切y>0成立(或等价地,对y=1成立).长尾分布族是重尾分布族的子族.

定义1.2[9]设{Xn,n≥1}是随机变量序列,如果存在有限实值序列{gU(n),n≥1},满足对于任意的n=1,2,···以及任意的n个实数x1,x2,···,xn,有

成立,则称随机变量序列{Xn,n≥1}为宽上限相依的,其中gU(n)称为控制系数.

引理1.1[10]F属于长尾分布族的等价条件是:

2 部分和的精确大偏差

首先给出定理所需的假设条件.假设随机变量序列{Xn,n≥1}的控制系数gU(n)满足假设条件1:存在某个α∈(0,1),有分布列{Fn,n ≥1}和分布F满足假设条件2:存在某个正数X0,对于所有的x≥X0一致地有设{N(t),t≥0}是由取非负整数值的独立随机变量序列产生的计数过程,满足假设条件3:当t→∞时,

定理2.1设{Xn,n≥1}为带有控制系数gU(n)的非负的、宽上限相依的随机变量序列,分布列为{Fn,n≥1}和均值列为{µn,n≥1}.设X为一非负的随机变量,其分布F属于长尾分布族,有有限的均值µ,且EX2<∞.若控制系数gU(n)满足假设条件1,分布列{Fn,n≥1}和分布F满足假设条件2,则对于任意固定的常数γ>0,有

证明由于F属于长尾分布族,则存在满足引理1.1的正函数h(x).由假设条件2可知,对于任意的ε>0和充分大的n,有

由于F属于长尾分布族,所以有

又由假设条件2和EX2<∞,有

将(2)式和(3)式代入到(1)式中,令ε↓0,定理2.1得证.

下例满足定理2.1中的假设条件.

例2.1设X是服从帕累托分布的非负的随机变量,其尾分布函数为x≥0,其中α>2,β>0.设{Xn,n≥1}是一个(非负的)、非同分布的服从帕累托分布的随机变量序列,其中对应的尾分布函数为x≥0,n≥1,其中αn=α, βn=β−εn,且当n→∞时εn↓0;对任意的n≥1,(X1,X2,···,Xn)的联合尾概率分布为:

对于任意的i≥1,由于βi<β有从而对任意的n≥1,有

对任意的1≤i0,有

取某个正整数M∈(1,n),有

从而当n→∞时有,

由(4)式和(5)式可知假设条件2成立.

3 随机和的精确大偏差

定理3.1设{Xn,n≥1}和X满足定理2.1的条件,计数过程{N(t),t≥0}与{Xn}相互独立,且满足假设条件3,则对于任意的常数γ>0,有

证明对于任意的0<δ<1,有

综上可得:

[1]Kl¨uppelberg C,Mikosch T.Large deviations of heavy-tailed random sums with applications in insurance and f i nance[J].Journal of Applied Probability,1997,34:293-308.

[2]Mikosch T.Large deviations of heavy-tailed sums with applications in insurance[J].Extremes,1998,1(1):81-110.

[3]Tang Qihe,Su Chun,Jiang Tao,et al.Large deviations of heavy-tailed random sums in compound renewal model[J].Statistics and Probability Letters,2001,52:91-100.

[4]Ng K W,Tang Qihe,Yan Jiaan,et al.Precise large deviations for sums of random variables with consistently varying tails[J].Journal of Applied Probability,2004,41:93-107.

[5]Paulauskas V,Skuˇcait˙e A.Some asymptotic results for one-sided large deviation probabilities[J].Lithuanian Mathematical Journal,2003,43(3):318-326.

[6]Skuˇcait˙e A.Large deviations for sums of independent heavy-tailed random variables[J].Lithuanian Mathematical Journal,2004,44(2):198-208.

[7]Fotis L.Precise large deviations for long-tailed distributions[J].Journal of Theoretical Probability,2012,25:913-924.

[8]Yang Yang,Wang Kaiyong.Precise large deviations for dependent random variables with applications to the compound renewal risk model[J].Rocky Mountain Journal of Mathematics,2013,43(4):1395-1413.

[9]Wang Kaiyong,Yang Yang,Lin Jinguan.Precise large deviations for widely orthant dependent random variables with dominatedly varying tails[J].Front Math China,2012,7(5):919-932.

[10]Foss S,Korshunov D,Zachary S.An introduction to heavy-tailed and subexponential distributions(2nd ed.)[M].New York:Springer,2013.

Precise large deviations for sums of non-identical distributed and widely upper orthant dependent random variables with long tails

Hua Zhiqiang1,Dong Ying2,Xuan Haiyan3

(1.College of Mathematics,Inner Mongolia University for the Nationalities,Inner Mongolia,Tongliao 028000,China; 2.College of Science,Dalian Nationalities University,Dalian116600,China; 3.College of Science,Lanzhou University of Technology,Lanzhou730050,China)

This paper investigates the precise large deviations for sums of random variables with long tailed distributions,and the sequence of the claims denoted by random variables is a sequence of non-identically distributed and widely upper orthant dependent random variables.Under some mild assumptions,this paper obtains the uniformly asymptotic results of partial sums and random sums.

long tailed distribution,precise large deviation,non-identical distribution, widely upper orthant dependence

O211.4

A

1008-5513(2014)06-0569-04

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.004

2014-08-01.

国家自然科学基金(11261031,11371077);内蒙古民族大学自然科学研究项目(NMD1304).

华志强(1981-),博士,讲师,研究方向:概率论与数理统计.

2010 MSC:60F10