田社平，张 峰

(上海交通大学电子信息学院，上海200240)

T形电路和Π形电路的等效变换是“电路理论”或“电路分析”课程中重要的内容之一。作为这一部分内容的扩展和补充，很多教科书在习题部分提出了含独立电源T形电路和Π形电路的相互等效变换的问题[1，2]。含独立电源T形电路和Π形电路的等效变换结果不是唯一的[3]。因此，当出现含独立电源T/Π形电路的两个或多个Π/T形等效电路时，就存在如何判断这些等效电路相互等效的问题。这也是笔者在教学实际中遇到的问题。下面就针对含独立电源T形电路和Π形电路的相互等效变换，提出几个结论，供大家参考。

1 几个基本结论

为讨论方便起见，假设含独立电源T形电路和Π形电路如图1所示，电源参考方向也示于图上。

图1 含独立电源T形电路和Π形电路

假设图1(a)、(b)所示的两个电路互为等效，则有如下结论:

[结论1]T形电路等效为Π形电路

将图1(a)电路等效为图1(b)电路时，如果参数iS31可取任意值，则Π形电路中元件的参数值为

证明:由于图1中T形电路和Π形电路等效，因此两者的端口特性相同。将端钮①、③和端钮②、③分别构成端口，如图2所示。

图2 含独立电源T形电路和Π形电路的二端口形式

T形电路的端口特性可表示为

式中，开路电阻矩阵

开路电压向量

Π形电路的端口特性可表示为

式中，开路电阻矩阵

开路电压向量

由于T形电路和Π形电路相互等效，因此可得

由式(5)可得到含独立源Π形电路和T形电路中三个电阻之间的三个等效关系式，由式(6)得到T形电路和Π形电路中三个电压源之间的两个等效关系式。取参数iS31为任意值，即可解得式(1)，得证。

［结论2］Π形电路等效为T形电路

将图1(b)电路等效为图1(a)电路时，如果参数uS3可取任意值，则T形电路中元件的参数值为

图3 T形电路的等效

证明:首先证明必要性。图1(a)电路和图3电路互为等效，则两电路的开路电阻矩阵和开路电压向量分别相等。两电路的开路电阻矩阵相等是显然的，而两电路的开路电压向量分别为

令两者相等，即得到uSS1=uSS2=uSS3。

证明过程可类似给出，此处从略。

［结论3］T形电路的等效

在图1(a)电路的三条支路中分别串联三个电压源uSS1、uSS2、uSS3，电压源的参考方向如图3所示。则图1(a)电路和图3电路互为等效的充分必要条件为 uSS1=uSS2=uSS3。

再证充分性。由于uSS1=uSS2=uSS3，对图1(a)电路和图2(a)电路分别应用[结论1]可知，两个电路得到同样的Π形电路的元件参数值R12、R23、R31、iS12、iS23、iS31完全相同，因此图1(a)电路和图 3 电路互为等效。

充分性也可利用电压源的等效转移加以证明。将图3的支路①上的电压源uSS1向支路②、③转移，它们分别与支路②、③上的电压源uSS2、uSS3抵消，因此图1(a)电路和图2(a)电路互为等效。

与[结论3]类似，可以得到如下结论。

[结论4]Π形电路的等效

在图1(b)电路的三条支路中分别并联三个电流源 iSS1、iSS2、iSS3，参考方向如图4所示，则图1(b)电路和图4电路互为等效的充分必要条件为iSS1=iSS2=iSS3。

图4 Π形电路的等效

2 应用例子

图5显示了利用等效变换方法将一个含独立电流源Π形电路等效变换为含独立电源T形电路，再进一步等效变换为含独立电流源Π形电路的情形。具体变换过程为:将图5(a)电路中Π形电阻电路等效变换为T形电阻电路，得到图5(b)电路;将图5(b)电路进行电流源转移等效，得到图5(c)电路，对并联电流源进一步等效得到图5(d)电路;将图5(d)电路中的诺顿支路等效变换为戴维宁支路，得到图5(e)电路;通过T－Π形电阻等效变换得到图5(f)电路;将图5(f)电路中的电压源进行转移，得到图5(g)电路;最后通过戴维宁－诺顿支路等效变换，得到图5(h)电路。

比较图5(a)、(h)两个电路可知，其中对应的电流源参数值并不相等，但由[结论4]不难判断它们确实互为等效。事实上，在图5(a)电路的三条支路上分别并联iSS1=iSS2=iSS3=(6/5)A的电流源，参考方向同图3，就得到了图5(h)电路。

图5 含独立电源Π-T-Π形电路等效变换

3 结语

笔者每次在讲授和讨论含独立源T形电路和Π形电路的等效变换时，总是得到学生的热烈的响应。究其原因，我们认为这与该部分内容包含比较丰富的电路知识点有关，含独立电源T-Π形电路的等效变换至少包含如下知识点:T-Π形电阻网络的等效变换、电源(电压源/电流源)转移的等效变换、戴维宁-诺顿支路等效变换等。另外，含独立电源T-Π形电路等效变换的解答非唯一性，也增加了学生分析和探究的空间。

正因为含独立源T-Π形电路等效变换的解答非唯一性，使得对于给定的含独立源T-Π形电路，可以有多个等效的Π-T形电路，本文讨论的几个结论给出了判断这些电路相互等效的条件。本文的分析对“电路理论”或“电路分析”课程教学具有一定价值，可供教师在教学时参考。

参考文献:

[1]李瀚荪.简明电路分析基础[M].北京:高等教育出版社.2002

[2]陈洪亮，张峰，田社平.电路基础[M].北京:高等教育出版社.2007

[3]田社平，陈洪亮.含源T形电路和含源Π形电路的等效变换[J].电气电子教学学报，2008，30(2):29～32