彭成晓

（河南大学物理与电子学院 河南 开封 4750 04 ）

房彩丽

（河南大学计算机与信息工程学院 河南 开封 4750 04 ）

王 超

（河南大学物理与电子学院 河南 开封 4750 04 ）

1 问题的提出

在普通物理学习中，经常会遇到矢量与矢量微分之间标积的运算A·dA．例如，在推导质点的动能定理［1］，计算万有引力（静电力）做功［2］等情况时，经常会用到这样的等式A·dA＝AdA，初学者经常会对这一等式产生困惑．A的模就是其矢量大小A，即＝A，但是dA表示A的微分，是矢量，而dA表示A的大小的微分，是标量，dA与dA意义不同，如图1所示，dA大小等于PM长度，dA等于NM长度，因此它们并不相等．但A·dA＝AdA为什么能成立呢？

图1

由于A是矢量，其大小和方向的变化都可以引起矢量A改变，因此，关于矢量与矢量微分之间的运算，可分为以下几种情况进行讨论．

2 当矢量A大小不变（即A＝常量）仅方向改变时

矢量A大小不变（即A＝ 常量），仅改变方向［3］，如图2（a）所示，由A变化为A＋ΔA．当矢量A增量很小，ΔA→dA，θ→0°，则α＝β→90 °，因此，A⊥dA，如图2（b）所示，则A·dA＝0．而A为常量，所以dA＝0，得AdA＝0．因此A·dA＝AdA成立．

图2

3 当矢量A大小改变而其方向不变时

图3

4 当矢量A大小和方向均改变时

A·dA＝AdA，可以用以下方法理解．

4．1 图形法

按照矢量标积运算

由于dA是A的微分，因此在△O PM中∠P OM→0°，那么在等腰三角形△O PN中∠O PN＝∠O NP→90 °，cosθ＝dA，因此

A·dA＝AdA

4．2 矢量微分运算

d（A·A）＝d（A2）＝2AdA

又 d（A·A）＝dA·A＋A·dA＝2A·dA

因此

A·dA＝AdA

4．3 不同坐标系中矢量与矢量微分标积运算

4．3．1 自然坐标系

A＝A eA，A为A的大小，eA为矢量A方向上的单位矢量．按照矢量微分运算，有

dA＝d（A eA）＝eAdA＋AdeA

A·dA＝A eA·（eAdA＋AdeA）＝

AdA＋A2eA·deA

其中eA·deA＝0，可用图2（b）理解，eA为矢量A方向上的单位矢量，故其大小不变，始终为1，仅仅方向改变．eA与其微分deA垂直，因此，它们之间的标积为零，即eA·deA＝0

因此

A·dA＝AdA

4．3．2 直角坐标系

通常接触最多的是直角坐标系，这里给出在直角坐标系下矢量与矢量微分之间的标积运算．在直角坐标系中，矢量A可表示为

A＝Axi＋Ayj＋Azk

dA＝dAxi＋dAyj＋dAzk

A·dA＝AxdAx＋AydAy＋AzdAz＝

为更好地理解不同情况下矢量与矢量微分之间的标积结果，可以用较为熟悉的情况加以理解，例如，位矢和速度的关系．v＝，速度和位矢微分的方向一致，而我们较为熟悉位矢和速度的方向关系，因此，利用位矢和速度的方向关系便于理解矢量和矢量微分之间的关系．如任意曲线运动（含直线运动）中，速度的方向总是沿着质点运动轨迹的切线方向，这里需要注意，切线方向并不一定和位矢方向垂直．但是如果质点做圆周运动，以圆心为原点，质点的速度方向沿着轨迹切线方向，那么r⊥v，即位矢和位矢微分垂直，r⊥dr，这时r·dr＝0．这里由于质点做圆周运动，其位矢大小不变，始终为半径长度，其方向不断变化，这时r·dr＝0，这种情况就是矢量大小不变，而方向变化，矢量和矢量微分之间的标积为零．至于一般曲线运动（含直线运动），位矢大小始终在变，速度的方向总是沿着质点运动轨迹的切线方向，位矢方向和速度方向并不满足垂直的关系，因此r·dr＝rdr≠0．

5 结论

从上面几种情况可以看出，当矢量A大小不变仅仅方向改变时，A与其微分dA之间的标积为零，即A·dA＝0；当矢量A大小变化，A与其微分dA之间的标积满足关系式A·dA＝AdA≠0．初学者对于A·dA标积结果产生困惑的原因主要是由于对矢量A的矢量性理解不够，易忽略其方向改变导致微分dA的产生．初学者在学习过程中应加强对矢量A的矢量性理解，即A大小和方向的改变均可引起dA的产生．

1 尹国盛，夏晓智．大学物理简明教程（上）．武汉：华中科技大学出版社，2009 ．39

2 马文蔚，周雨青．物理学教程（第二版）上册．北京：高等教育出版社，2005 ．62

3 漆安慎，杜婵英．普通物理学教程 力学（第二版）．北京：高等教育出版社，2005 ．471