程淑芳

（中南财经政法大学 武汉学院，湖北 武汉 430070）

将数学背景融入微积分教学的实例

程淑芳

（中南财经政法大学 武汉学院，湖北 武汉 430070）

通过还原知识的历史背景，向学生介绍有关数学史料或数学家等的趣事，增强微积分教学的趣味性和思想性，尽量消除微积分教学的枯燥性，引导学生发现微积分的文化价值、欣赏微积分的美。本文对改革微积分的教学内容和方法做了尝试。

微积分；数学史；背景

微积分的传统教材往往较少关注知识的形成过程及其背景，更侧重于关注知识的逻辑性、系统性上，且与各应用学科严重脱节。而授课老师在教学中也是更多地注重学科知识的连贯性和逻辑推理的严密性。这些都严重影响了微积分教学的趣味性，削弱了学生对微积分的学习兴趣。

感性材料和生动情境能够削弱数学知识的枯燥性和抽象性，增添数学的趣味性和灵动性及思想性。在微积分教学中如能结合数学史料知识，还原知识产生或形成的过程，这将会让学生更加生动感性地了解学习内容和情景，对微积分的基本概念和定理的理解将更深入，有利于促进学生在已有的认知基础上同化、顺应、平衡微积分知识。本文尝试将数学背景融入微积分教学，对微积分教学作出一些思考和尝试。

一、结合教材内容，使数学史巧妙地融入课堂教学

每一个数学分支、知识点都有它的起源、发展甚至数学家为之付出各种努力的一些故事。教师可以仔细分析教材内容和学生的心理特点，在适当的地方挑选一些相关的奇闻趣事及其来源、发展，引起学生对这一知识点的了解兴趣，也为新的课程的展开作好准备。这里将以微积分的两个知识点举例说明。

图1 圆内接正n边形

图2

二、以背景故事激发学习兴趣，加深对数学的理解

爱因斯坦曾说过“兴趣是最好的老师”。孔子曰：“知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者”。只有对学习产生兴趣，才会产生强烈的求知欲。而数学史料中大量的奇闻趣事，正是激发学生兴趣的好素材。因此在微积分教学中，可以适当地穿插数学史料中的有趣故事，这样不仅可以激发学生的学习兴趣，还可以加深其对数学概念、定理的理解。

例3 无穷级数。讲解这一内容时，可以先向学生讲述“蠕虫与橡皮绳”的运动悖论：已知橡皮绳长1公里，一条蠕虫在橡皮绳的一端以每秒1厘米的均匀速度沿橡皮绳爬行；与此同时橡皮绳也在变化，每经过1秒钟，橡皮绳就拉长1公里，这样一直持续下去。问蠕虫最后究竟会不会到达橡皮绳的终点？

往往学生们会凭直觉说：蠕虫不会到达橡皮绳的终点。这时，教师可告诉学生蠕虫能爬到终点。这样学生们会对这个问题产生极大的兴趣，同时课堂气氛也活跃起来。接着老师继续说，我们可以尝试先分析蠕虫在第n秒末爬行的长度：由于1公里等于100000厘米，所以在第1秒末，蠕虫就爬行橡皮总绳长度的1/100000。在第2秒钟内，蠕虫爬了2公里橡皮绳的1/200000，在第3秒内，它又爬了3公里长橡皮绳的1/300000，如此下去，蠕虫爬行的长度可以表示为：（1/100000）×（1＋1/2＋1/3＋1/4＋……）。当n充分大时，这个数能否超过1呢？停顿一下，告诉学生，我们可以找到这个正整数N，使上述结果成立。

由这个出乎意料的结论引入正题：无穷数列1＋1/2＋1/3＋1/4＋……就是一个级数。由于这个级数是发散的，它的部分和我们要它有多大，就有多大。只要这个和超过100000，上面的表达式就超过1。

例4 无穷小量概念。讲述这个内容时，可以先向学生讲述“数学的第二次危机——无穷小量是零吗？”的故事。自从微积分由牛顿和莱布尼茨创立后，一方面改变了原有的数学教学方法，另一方面也出现了对概念无法理解的现象，主要体现在对“无穷小量”概念的理解。

乔治·贝克莱是爱尔兰的哲学家，也是英国近代经验主义哲学家的三位代表人物之一，他在1734年发表了《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头就指向微积分学的基础，就是无穷小量的问题，这就是数学史上所谓贝克莱悖论。他指出：牛顿在求xn导数的时候，先采取了给x以增量0，再用（x+0）n减去xn来求增量，并除以0用求出xn的增量与x的增量之比，然后又让0消失，这样就得出增量的最终比。

他认为上面过程中牛顿违反了矛盾律。先设xn有增量，又令增量为零，也就是假设x没有增量。这样即认为无穷小量dx既可以等于零又可以不等于零，也就是无穷小量是召之即来，挥之即去，这是荒谬的。微积分由此也就变得“神秘”了。无穷小量究竟是不是零？无穷小量及其分析是否合理呢？这个问题就引发了数学史上的第二次危机。一直到一个半世纪以后，数学家柯西把无穷小量定义为一个以零为极限的变量才得以解决。对这个悖论的解释归根结底是人们对变量及有限、无限的认识缺陷而造成的。通过这样数学故事的讲述，能够引起学生的思考。

三、结论

总之，在微积分的课堂教学中，可以结合教学内容，适当穿插数学知识的历史背景及发展历程等相关的感性材料或再现数学知识的形成过程。通过这些感性的具体的生动的材料，将让学生体会到微积分中数学知识的美感，削弱学生在学习数学中的枯燥无味，充分调动学生学习的兴趣和积极性，这时数学的无穷魅力将会呈现在学生面前；同时，也会加深学生对数学概念、定理的理解。本文在此方面做了一些有益的尝试。

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