赖弋新，杨慧娟

(青岛大学师范学院数学系，山东 青岛 266071)

“数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维方式，往往脱离了事物的具体物质属性”［1］.所以正确理解数学概念，是掌握数学知识的基础.学生如果不能理解数学中的各种概念，就不能很好地掌握各种公理、定理、推论，更谈不上利用所学知识去解决实际问题.因此，搞好数学概念的教学，是提高数学教学质量的关键.

高等代数是高校数学专业的重要基础课，一般在大一开始学习.高等代数中的概念具有高度的抽象性，大一新生由于抽象思维能力发展等方面的限制，接受高等代数中的概念会有一定的困难.如果教师只是照本宣科地提出概念的正确定义，缺乏生动的讲解，对某些概念讲解不够透彻，可能使得部分学生对概念的理解模糊不清，甚至一知半解，从而也就无法对概念进行准确应用.“因此在教学过程中，注意利用学生已有的具体经验，使学生弄清楚新概念的存在性，明确新概念仍是客观现实的某种反映”［2］.教师可以结合学生心理发展特点去分析事物的本质特征，探寻有效的教学策略.

1 在已有经验基础上揭示高等代数概念来源

对于抽象的概念，有效的方法就是“重视与学生已有经验的联系”使学生引起认知冲突，直面数学困惑，置身于渴望解决问题的情境之中.学生的思路应该在学生自己的头脑中产生，教师的作用在于系统地给学生发现事物的机会，启发学生在允许的条件下亲自去发现尽可能多的东西.因此，在教学中，教师应熟悉并重视学生已有的经验，使学生在已掌握的知识基础上去想高等代数，“经历比较、抽象、概括、假设、验证和分化等一系列的概念形成过程”［3］，从中学到研究问题和提出概念的思想方法，在获得概念的同时培养学生的探索能力和创新精神.所以在形成高等代数概念的过程中，首先要有与之相关的基础材料，让高等代数知识与学生的现实生活和已有经验密切结合，使学生感受到高等代数是有趣的，是有实际意义的.

例如，“在讲解n阶行列式的定义时，首先比较二阶行列式展开式，得到:1)它是2!=2项的代数和;2)每一项都是两个元素相乘，且这两个元素位于不同的行和不同的列;3)每一项的两个元素行标按自然顺序排列后，其所在列标构成的全部二元排列为12和21，前一个为偶排列与其对应的项a11a22取正号;后一个为奇排列，与其对应的项a12a21取负号，于是二阶行列式可简写为:

通过这样一个由2阶到n阶的推广与抽象，不仅有利于学生在感性认识的基础上认识概念的本质，还能促进高等代数直觉的形成、高等代数知识思维的发展，更能促进学生在以后遇到相关问题时自觉地运用有关的高等代数经验去思考、解决问题.

2 多渠道帮助学生理解新概念的存在性

高等代数中的很多概念，都是建立在其他的数学概念基础之上的.所以，高等代数的概念较抽象，但又源于各自的具体内容.因为学生在学习中头脑都已建立了一些概念，所以引入新概念时，充分利用学生头脑中已有的知识，是非常重要的，这样就使学生能理解新概念的存在性，明确新概念仍是客观现实的某种反映.

例如，在学习多项式理论时，多项式的整除、多项式的最大公因式、多项式互素、不可约多项式等概念.学生在中学数学中已掌握了多项式的加、减、乘、除及多项式因式分解的常用方法，这些都是理解这些概念的基础，同时又可与中学数学的数论中整数的整除、最大公因数、整数的互素、素数等概念作类比.在引入欧氏空间的概念时，解析几何中的向量长度和夹角给出了欧氏空间的具体实例，欧氏空间中向量的内积就是从解析几何中向量的数量积这一概念抽象而得到的.“从而学生会体会到欧氏空间这个概念不是由数学家虚构的，而是客观世界中存在的”［1］.

高等代数的高度抽象性要求在教学中在给出新问题后，尽可能联系实际例子加以说明.如讲线性方程组的行列式解法和矩阵的初等变换法后，如果把它与中学数学的二元一次方程组及三元一次方程组的消元法结合起来讲解，学生很容易观察到用消元法解线性方程组的过程，就是对线性方程组的增广矩阵作初等变换使其对角化的过程.同时，学生自然认识到矩阵的初等变换存在的必要性与重要性.

3 建立新概念应注意概念内涵与外延

“概念的形成是一个积累渐进的过程，因此，在概念的的教学中要遵循从具体到抽象，从感性认识到理性认识的原则”［3］.给出了新概念的定义以后，还必须建立概念的确定性，即弄清概念的内涵与外延.

例如线性空间是高等代数的一个重要概念.线性空间概念的实质是线性空间里有一个向量加法和一个纯量乘法运算，且满足8条规则.

学生刚开始接触这个定义时感到很抽象、不习惯，因此必须在教学中加以解决.首先依照定义让学生逐步掌握“线性空间”的以下意涵:1)线性空间是一个代数系统;2)线性空间中定义了两种代数运算，一个称为加法，一个称为数量乘法;3)加法满足4条规则，数乘也满足4条规则.同时例举大量例子加以验证，这样学生就能胸有成竹了.

随着教学内容的进行，学生对线性空间的认识也会逐渐加深.他们将逐步认识到欧氏空间也是在线性空间的概念中添加一些内容构成的，事实上，欧氏空间是特殊的线性空间，它在线性空间的基础之上定义了一个二元函数(被称为内积)，且这个二元函数满足4条规则，进一步，学生还能看到欧氏空间中还有向量长度和夹角的概念，这与学生已经具备的空间解析几何知识非常接近，学生在整个学习过程中对线性空间的理解就会逐步得到加强，抽象感就逐渐消失了.

4 实施变式教学，回归问题原型

“合理的变式教学可以促进学生有意义的主动学习，帮助学生构建良好的知识结构，进而发展他们灵活地解决问题的能力”［5］.所以在高等代数概念教学中可借助适度变式，提出富有探究性、挑战性的问题，让学生在尝试中体验高等代数概念，通过自己的思考建立起对概念的理解，逐渐认识概念的本质.

例如，我们在讲解线性变换概念时，首先必须了解什么是变换，其次思考什么是线性的变换，考虑到是线性空间上的线性变换，变换还必须保持加法和数乘.在讲完线性变换概念后，为了巩固所学知识，可以加强变式练习.如可以让学生练习:判断下列所定义的各变换σ是否为线性变换，1)线性空间V中，σ(x)=x+α，其中α为V中一固定向量;2)线性空间V中，σ(x)=α，其中α为V中一固定向量;3)把复数域看作复数域的线性空间上，σ(x)=.通过这些变式让学生体验线性变换概念，自己思考并建立起对线性变换概念的理解，逐渐认识概念的本质.

5 通过反思深化对高等代数概念的理解

德国哲学家黑格尔认为反思是从联系中把握事物内部的对立统一本质的概念.在高等代数概念教学中，促使学生反思他们的体验和获得的知识，不仅可以提高反思性学习的能力，而且可以让学生对高等代数的概念有更为深刻的理解.

例如，讲解特征值与特征向量的概念后，让学生从几何的角度反思特征值与特征向量的概念，如从几何上看，特征向量ξ与其像σ(ξ)在同一直线上，当特征值λ0＞0时，两向量方向相同，当特征值λ0＜0时，两向量方向相反，当特征值λ0=0时，σ(ξ)=0.通过这些反思，学生会对特征值与特征向量有更深刻的理解.

再如“证明:若矩阵 A，B∈Pn×n，AB=0，则秩(A)+秩(B)≤n”，让学生反思这类证明的基本思路就是:由AB=0，于是B的列向量是齐次线性方程组AX=0的解，由秩(A)=r，则AX=0的基础解系由n－r个解组成，所以秩(B)≤n－r，因而秩(A)+秩(B)≤n，通过这样一个反思过程，学生可以更深刻地理解矩阵秩的概念和证明秩的不等式的方法.由此可见，对一个新概念的理解不能只靠定义的解释，其他问题和习题的运算或推证等学习活动对于深刻理解一个概念的本质属性也是十分必要的.

6 结语

“语言是思维的物质载体，高等代数概念是用科学、精练的数学语言概括表达出来的，它所揭示事物的本质属性必须是确定的，无矛盾的，有根有据并合情合理的”［3］.所以，高等代数概念形成之后，应及时让学生用语言表述出来以加深对高等代数概念的印象，促进学生内化.

教师在学生学习高等代数概念的过程中，要做好引导工作，注重培养学生的主体意识与参与意识，改变传统高等代数教学中“重定理证明、轻概念”的思想，帮助学生自主学习，改变学习方法.如教师可以引导学生去感受高等代数概念引入的必要性与合理性;引导学生合理地进行高等代数概念的抽象;引导学生进行高等代数概念的“数学化”来培养语义转化能力;引导学生学会在高等代数概念的定义中进行科学的归纳;引导学生在高等代数概念的应用中深化对概念的认识和理解、体会概念的价值，从而让课堂有机、有序、高效地达成目标.

除了引导，我们认为必要的时候，教师应对学生提供一定力度的干预.如当学生对概念的理解或是表述出现偏差时，教师要及时制止，以便培养学生正确的表述高等代数概念的习惯，促进学生数学思维的深刻性.这也有利于高等代数教学目标的顺利实现.

［1］刘志辉.高等代数概念教学之我见［J］.辽宁教育行政学院学报，2007，(6):171 －172.

［2］翟莹.师范院校高等代数与解析几何教学改革探究［J］.四川教育学院学报，2010，(1):112－114.

［3］钟向军.初中数学概念教学浅探［J］.基础教育论坛，2007，(3):130 －131.

［4］王文省，赵建立，于增海，等.高等代数［M］.济南:山东大学出版社，2004.

［5］鲍建生，黄荣金，易凌峰，等.变式教学研究(再续)［J］.数学教学，2003，(3):6 －12.