杨大林 徐 波 高有涛 张 磊

1.南京航空航天大学航天学院，南京 210016 2.南京大学天文与空间科学学院，南京 210093

行星际探测已成为航天领域的一大热点，备受航天大国的关注，但行星际探测具有能耗高，持续时间长，任务约束多，发射窗口小等特点，为此任务设计过程中要求完成科学探测目标的同时，尽量降低任务的成本和周期。因此携带尽可能多的有效载荷，以最小的能量消耗，在最短的飞行时间内，到访多个目标成为太阳系行星际探测发展的趋势。

迄今为止，行星际探测轨道设计领域的主要研究方向有多天体交会的行星借力飞行技术、行星际低能转移轨道优化设计技术、小推力轨道设计技术等。行星借力飞行技术[1]即飞越大行星时借助大行星引力场效应，获取所需的速度增量，而飞越大行星时也为探测器探测该行星提供了机会，探测器进入借力行星影响球到离开该行星影响球所持续的时间大约为20多个小时[2]，虽然相对于整个任务时间而言非常小，可以忽略不计，但这段时间足够获取该行星的基本资料，并可以在此期间向该行星释放低质量且不回收的科学探测设备。

国内外的许多学者针对行星际轨道优化设计问题进行了研究，提出了多种行之有效的优化方法[3-7]，这些方法可以分为解析法和数值解法。大多数解析法以变分法得到的必要条件为基础，将轨迹优化问题转换成两点边界值问题，求解这类问题富有挑战并且需要数值解法，同时该问题对终端条件敏感，求解过程中容易使目标轨道陷于局部极小，这些特点使得此类方法的实际应用受到了限制[3-5]。数值法则是将轨迹优化问题简化为参数优化问题，再通过求解非线性规划问题来解决[6-7]，这里提到的“数值算法”是指不明确使用变分法中的解析必要条件，而是使用打靶法等数值解法求解两点边界值问题，求解过程中需要给该算法提供一个初始“估计值”。在轨迹优化问题中，初值通常不易确定，并且求解过程中容易陷入给定初值附近的局部极小点。Bett[8]全面分析了上述2种方法的特点以及2种方法的联系。

进化算法是航天器轨迹优化的一种有效方法，是一种模拟自然界中生物进化过程与机制的数值优化方法。与解析法和传统的数值解法相比，进化算法主要有以下优势：进化算法相对简单，不需要提供初始“估计值”(随机产生一群初始解)，而且比传统的优化方法更容易找到全局最小点。Cage将遗传算法(GA)应用到行星际轨迹优化设计中[9]，设计了地球—火星和地球—木星的转移轨道。Bessette和Spencer将粒子群优化(PSO)技术应用到时间受限的转移轨道和行星际脉冲转移轨道的优化设计中[10-11]。但是经典的进化算法也具有明显的缺点，即由于随机性，并不能保证算法一定收敛到全局最优。考虑到太阳系多目标探测轨道优化问题的复杂性和多峰性，本文融合改进的网格搜索算法和差分进化算法，提出一种组合优化算法来求解太阳系多目标探测轨道优化设计问题。以2018～2020年太阳系多目标探测为例，通过对最终环绕土星，中途探测太阳系内多颗大行星的深空轨道的优化设计，表明了该算法可以明显地减少计算时间，并有效收敛到全局范围内的最优解。

1 太阳系多目标探测动力学模型

太阳系多目标探测行星际飞越轨道可以用包含非线性约束的有限维全局优化问题来描述。在J2000日心黄道坐标系中，只考虑太阳的中心引力，不考虑其他天体的引力和各天体的非球形引力摄动，探测器的动力学方程如下：

(1)

式中：μs为太阳引力常数；rs为探测器在J2000日心黄道坐标系中的位置矢量；rs为位置标量。探测器与行星交会时，在交会行星的影响球内只考虑该行星的引力效应，并且考虑动力飞越的情形，即在探测器与行星交会时，可以对探测器施加速度脉冲(参考1.1节)。此时，探测器的动力学方程如下：

(2)

其中：μp为行星引力常数；rp为探测器在以行星为中心的坐标系中的位置矢量；rp为位置标量。

1.1 动力飞越轨道

(3)

类似地，在离开交点处

(4)

(5)

(6)

由于进入段和离开段的近地点半径相同，则

rper=a1(1-e1)=a2(1-e2)

(7)

同时转角之间还存在如下关系

(8)

仅利用式(7)和(8)无法有效的求解e1和e2，因此需要对上述表达式作适当转换

(9)

对方程(9)采用牛顿迭代法可以求得e2，再根据式(7)即可求得e1和rper。根据活力公式可以求得进入和离开双曲线轨道的近星点速度大小。

(10)

由式(11)可得近地点所需施加的速度脉冲大小为

(11)

1.2 问题描述

(12)

因此，为使整个过程中消耗的燃料最小，本文引入下述性能指标：

(13)

为了求解的方便，可以将上述问题转化为一般的非线性规划问题[12]：

优化指标函数：

(14)

服从的动力学特性：

(15)

需满足的边界条件：

τ∈I

(16)

其中τ=[t0,T1,...,TN+1]，I∈RN+2。

需满足的段匹配约束：

∀i=1,...,N+1

(17)

需满足的约束条件：

(18)

图1 太阳系多目标探测行星际飞越轨道求解流程图

2 轨道优化设计算法

优化算法的目的是使与时变动力学系统相关的目标方程最小化，问题可以简化成非线性规划问题。通过对比现有的数值优化方法(如列举法、随机试验法、复合形法、可行方向法、进化算法)，列举法是唯一可以保证搜索到全局最优的算法(前提是步长要选择的合适)，但列举法所需的时间随着搜索空间的维数成指数增长，针对太阳系多目标探测轨迹优化问题的复杂性，为了减少计算时间，引入下述改进的网格搜索算法。

2.1 改进后的网格搜索算法

将改进网格搜索算法的每一步分别与太阳系多目标探测的每一段转移轨道相对应。通过不断调整时间序列，可以得到任务的起始时间和每一阶段理想的转移时间，进而得到满足整个任务要求的完整轨道。应用改进的网格搜索算法，定义太阳系多目标探测每阶段的优化模型如下：

1)地球到第1个飞越天体，时间序列：τ1=[t0,T1](其中t0为地球发射时间，T1为从地球到第1个飞越天体的转移时间)

(19)

(20)

(21)

图2 改进的网格搜索算法流程图

2.2 差分进化算法

差分进化算法是一种群体进化算法，具有记忆个体最优解和种群内信息共享的特点，该算法每次随机选择2个或多个群体元素，比较它们性能指标的差异，从而确定解在结果空间中的走向，其本质是一种基于实数编码的具有保优思想的贪婪遗传算法。

由于太阳系多目标探测轨迹优化问题的多峰性，单纯的使用差分进化算法并不能保证得到结果的最优性。因此，本文基于改进后的网格搜索算法和差分进化算法，提出了一种组合优化算法。该算法首先利用改进的网格搜索算法作全局搜索，保留较理想的结果，得到的理想结果分布在整个解空间中，然后用差分进化算法作局部寻优，以改进的网格搜索算法得到的结果收缩搜索空间，将原来的搜索空间分割成n(改进后的网格搜索算法得到的结果数)份，使用差分进化算法逐一搜索各个子空间，再通过全局范围内比较得到的各个极小值，就可以在全局范围内找到一些比较理想的结果。

3 仿真算例

以2018～2020年太阳系多目标探测为例。任务过程中先后探测金星和木星，最后被土星引力场捕获，形成近地点半径rp=108950km，偏心率e=0.98的大椭圆轨道。任务过程中借助金星，地球，木星的引力，既可以达到探测器变轨的目的，节省发射能量，又能实现对多个天体的探测。

该任务是上述非线性规划问题的一个实例，一共可以分为5个阶段，因此时间序列的形式为：τ=[t0,T1,T2,T3,T4,T5]，包括地球的出发时刻(单位为MJD2000)，每阶段转移时间(单位为d)。优化的目标函数为：

(22)

其中，Δv0为地球发射时的剩余速度，Δvi(i=1,2,3,4)为探测器飞行途中飞越大行星所需的速度脉冲，Δv5为木星捕获所需的速度脉冲。时间序列的取值范围如表1所示。

表1 时间序列参数取值范围

发射能量约束：

Δv0≤4km/s

近地点半径约束：

rp1>6351.8km

rp2>6351.8km

rp3>6778.1km

rp4>671492km

为了求解方便可以在性能指标中引入惩罚项，将有约束的轨迹优化问题转换成无约束的轨迹优化问题。(其中ωi为约束的权重大小)

1)发射能量约束

(23)

2)近地点半径约束

(24)

在仿真过程中发现使用上述介绍的改进的网格搜索算法，遍历整个搜索空间只需很少的时间，例如同样使用matlab作为工具，以相同的步长，列举法需要大约一周的时间，而改进的网格搜索算法只需要2h，并且得到的理想结果与列举法相似(步长一致)。改进的网格搜索算法得到的结果投影到一个平面上的结果如图3所示，x轴为解空间的分布，y轴为解空间的每一点对应的太阳系多目标转移轨道所消耗的能量。

图3 高维解在一个切平面上的投影

表2 2018～2021年太阳系多目标探测行星际飞越轨道

从表2中可以看出前3组数据所对应的太阳系多目标探测行星际飞越轨道虽然消耗的燃料很少，但转移时间却达到了19年左右，这是工程任务所无法接受的。后面4组数据中尽管燃料消耗相对多一点，但任务时间均缩短一半以上。探索土星的国际卡西尼太空任务经过大约7年的飞行时间最终抵达土星[13]，表2中后4组数据所对应的太阳系多目标探测行星际飞越轨道的转移时间大都在7年左右，并且所需的燃料也在实际工程约束范围之内，因此，后4组轨道均是可实际应用的。

表3给出了表2中第7组数据所对应的行星际飞越轨道的详细参数，并且表3中的速度单位都是(km/s)，从表3中可以看出，上述结果满足发射能量约束和近地点半径约束，这说明以第7组数据对应的轨道参数设计的太阳系多目标转移轨道有效。使用上述参数进行仿真，最终得到太阳系多目标探测行星际飞越轨道的三维图像如图4所示。图5为表2中第一组数据所对应的太阳系多目标探测行星际飞越轨道的三维图像。图4和图5再次说明了本文所提出算法的有效性。

表3 发射窗口为2018年9月18日的太阳系多目标探测行星际飞越轨道的详细参数

图4 发射窗口为2018/09/12的太阳系多目标探测行星际飞越轨道的三维图像

图5 发射窗口为2018/07/25的太阳系多目标探测行星际飞越轨道的三维图像

4 结束语

行星际探测能耗高，持续时间长，通过一次任务探测太阳系多颗行星，不仅可以节省发射成本，同时结合新技术验证，可以推动航天科技的发展。根据我国的实际情况，考虑到我国可能于2020年左右进行的太阳系多目标深空探测任务，本文对其轨道优化设计进行了预先研究。首先根据太阳系多目标探测行星际飞越的基本理论，建立了太阳系多目标探测的轨道优化模型，然后将轨迹优化问题转换成非线性规划问题,并且针对太阳系多目标探测轨迹优化设计问题的复杂性和多峰性，提出了一种融合了改进的网格搜索算法和差分进化算法的组合优化算法。该算法将整个阶段分成多个子设计段，从而可以对每个子设计段进行单独设计，减少了全局优化所需要的计算量并可以有效的收敛到全局范围内的最优值。仿真结果所给出的多组2018～2020年最终环绕土星，中途探测金星，木星的转移轨道参数可以为我国未来的太阳系多目标探测任务设计提供有价值的参考。

参 考 文 献

[1] Broucke R A. The Celestial Mechanics of Gravity Assist [C].AIAA/AAS Astrodynamics Conference, Minnesota, Aug 15-17, 1998.

[2] Louis A Damario, Larrye Bright. Galileo Trajectory Design [J]. Space Science Reviews, 1992, 60(4): 23-78.

[3] Lawden D F. Optimal Trajectories for Space Navigation [M]. Butterworths, London, 1963.

[4] Lion P M, Handelsman M. The Primer Vector on Fixed-time Impulsive Trajectories [J]. AIAA Journal, 1968, 1(6): 127-132.

[5] Petropoulos A E, Longuski J M. Shape-based Algorithm for Automated Design of Low-Thrust Gravity-Assist Trajectories [J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2004, 5(41): 787-796.

[6] 张旭辉, 刘竹生.火星探测无动力借力飞行轨道研究[J]. 宇航学报, 2008, 29(6): 1739-1746.(Zhang Xu-hui, Liu Zhu-sheng. Unpowered Swingby Flight Orbit Design for Mars Exploration[J].Journal of Astronautics, 2008, 29(6): 1739-1746.)

[7] 乔栋, 崔平远, 徐瑞.星际探测借力飞行轨道的混合设计方法研究[J].宇航学报, 2010, 31(3): 655-661. (Qiao Dong, Cui Ping-yuan, Xu Rui. Research on Hybrid Design Method of Gravity Assists Trajectory for Interplanetary Mission [J]. Journal of Astronautics, 2010, 31(3):655-661.)

[8] Betts J T. Survey of Numerical Methods for Trajectory Optimization [J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 1998, 2(21): 193-207.

[9] Cage P G. Interplanetary Trajectory Optimization Using a Genetic Algorithm [C]. AIAA/AAS Astrodynamics Conference, Scottsdale, Aug 1-3, 1994.

[10] Bessette C R, Spencer D B. Identifying Optimal Interplanetary Trajectories Through a Genetic Approach[C].Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit, Keystone, 2006.

[11] Bessette C R, Spencer D B. Optimal Space Trajectory Design: A Heuristic-Based Approach [J]. Advances in the Astronautical Sciences, 2006, 6(124): 1611-1628.

[12] V M Izzo, D Myatt, D R Nasuto, S J Bishop. Search Space Pruning and Global Optimisation of Multiple Gravity Assist Spacecraft Trajectories[J]. Journal of Global Optimization, 2007, 2(38): 283-296.

[13] Peralta F, Flanagan S. Cassini Interplanetary Trajectory Mission [J]. Control Engineering Practice, 1995, 3(11): 1603-1610.