张菊梅

(渭南师范学院，陕西渭南714000)

0 引言

考虑常系数对流占优方程

其中扩散系数ε＞0，对流系数p是常数，q也是常数，此方程的形式简单，但是一般情况下对流系数应远远大于扩散系数，因此在边界附近的变化速率很大，一般数值求解方法(如中心差分法、Galerkin有限元方法)求解，在参数ε很小的情况下要达到一定精度，需要有比较多的节点才能满足，这样不但增加了计算量，而且数值稳定性也比较差.

小波-DQ法是在微分求积(DQ)法的基础上建立起来的求解微分方程边值问题新的方法［1］，通过应用该方法对变截面直杆纵振动问题的求解，充分验证了本方法的实用性和有效性.同时，数值结果显示小波-DQ法是求解微分方程边值问题的一种计算简单、高精度的新方法.本文将以对流占优方程为例，对小波-DQ法的算法设计进行简要介绍.

1 小波-DQ法

小波-DQ法是在微分求积(DQ)法的基础之上，以多分辨分析理论为理论基础，通过引入插值小波基函数［2－3］，形成了新的微分方程边值问题的求解方法——小波-DQ法.经过对力学方面相关问题的应用，已经显示出该方法的有效性.

2 对流占优方程

对于以下对流占优方程［4］

3 算法设计

小波-DQ法的基本思想是用整个计算区域或某一坐标方向上所有网格点处函数值的加权和来近似替代函数在各个网格点处的导数值，在这里插值基函数我们选取具有插值性的小波函数［5］

3.1 参数初始化

clc

J=4;b0=1;xr=1;xl=0; %参数输入

n1=2^J; %内节点数

n2=1; %外节点数

n=n1+2*n2+1; %节点总数

e=0.01; % 对流占优方程的扩散系数

3.2 对区间内的配置点

由于边界点附近的函数局部变化得剧烈一些，因而在左右边界附近各取N个外尺度函数，这时区间Ω上的函数就可由这2N个外小波配置点和2J+1个内小波配置点表示.

3.3 小波在配置点处的函数值及导数值

for m=－2^(L+j－1) －N+1：2^(L+j－1)+N－1

for k=－2^(L+j－1) －N+1：2^(L+j－1)+N－1

y=xiaobo1(L，j，b0，xr，xl，k，x(m+2^(L+j－ 1)+N+1));

%这里的xiaobo是函数名，可根据需要选取不同的小波函数

A(m+2^(L+j－1)+N，k+2^(L+j－1)+N)=y(1);% 函数值

B(m+2^(L+j－1)+N，k+2^(L+j－1)+N)=y(2);% 一阶导数值

C(m+2^(L+j－1)+N，k+2^(L+j－1)+N)=y(3);% 二阶导数值

end

end

3.4 计算对流占优方程的系数矩阵及数值解

E=－e*C+B+A;

for m=－2^(L+j－1) －N+1：2^(L+j－1)+N－1

for k=－2^(L+j－1) －N+1：2^(L+j－1)+N－1

H(m+2^(L+j－ 1)+N，k+2^(L+j－ 1)+N)=D(：，k+2^(L+j－ 1)+N)'*

E(m+2^(L+j－ 1)+N，：)';

end

b(m+2^(L+j－1)+N)=1;

end

y21=H'; %不含边界点的数值解

y2=［0，y21'，0］; % 此对流占优方程在所有配置点上的所有数值解

3.5 对流占优方程的精确解

l1=(1+sqrt(1+4*e))/(2*e);l2=(1－sqrt(1+4*e))/(2*e);

y1=(1－exp(l2))*exp(l1*x)/(exp(l2)－exp(l1))－(1－exp(l1))*

exp(l2*x)/(exp(l2)－exp(l1))+1;

3.6 绘制图形(如图1)

图1 在不同的取值下对流占优问题的解(—精确解，＊＊＊本文数值解)

figure()

plot(x，y1，x，y2，'.'，'MarkerSize'，10)

hold on

set(gca，'fontsize'，15) % 设置刻度疏密

axis(［0 1 0 0.2］) % 设置横纵坐标范围

title(＇Shannon 小波作为插值基函 '，'FontSize'，16，'FontName'，'楷书 ');%设置标题数字和汉字类型

text(0.3，0.15，'epsilon=1.0'，'FontSize'，16) % 图中标记符号插入程序段

4 结果分析

本文选取Shannon小波函数作为插值基函数，在扩散系数取小数值ε=0.1，0.01，0.005时，在边界点附近及随机选取的节点处点误差见表1.从计算结果看，本方法在节点数相对较少的情况下都能得到比较理想的数值拟合结果，如图1(a)、(b)、(c)、(d)所示.

表1 在扩散系数取小数值时，在边界点附近及随机选取的节点处点误差

由于方程随着ε的减小，函数局部变化随之剧烈，如ε=0.005时方程的解，见图1(d)，边界附近出现了数值比较大的震荡.可是，当取J=6时，对震荡现象得到改善，逼近效果变好，如图2所示，表明小波-DQ法可以根据需要调整节点的变化，保证收敛性以及对奇异性的有效性.

根据小波-DQ法的基本思想，本文以对流占优方程的定解问题为例，应用matlab程序对该算法进行了实现，并且通过实验发现，该方法理论可靠，算法简单，易于操作，而且计算精度很高.值得注意的是，由于我们取了外小波，边界附近的数值震荡没有出现，而且逼近效果很好.

图2 对流占优问题的解(ε =0.005，J=6，— 精确解，＊＊＊ 本文数值解)

5 小结

本文以对流占优方程为例，应用matlab程序通过对小波-DQ算法进行了简单介绍，这为该方法后续的研究打下了坚实的基础，也为研究该方法的其他应用提供了参考.

［1］张菊梅.小波微分求积法研究及其应用［D］.西安：西安理工大学硕士学位论文，2010.

［2］Bertoluzza S.A Wavelet Collocation Method for the Numerical Solution of Partial Pifferential Equations［J］.Applied and Computational Harmonic Analysis，1996，(3)：1 －9.

［3］Comincioli V，Naldi G，Scapolla T.A wavelet-based method for numerical solution of nonlinear evolution equations［J］.Applied Numerical Mathematics，2000，33：291 －297.

［4］赵凤群，张培茹，张瑞平.两点边值问题的小波配点法［J］.计算力学学报，2009，26(6)：947－950.

［5］张菊梅，赵凤群，党晓敏.变截面弹性直杆纵振动分析的小波-DQ法［J］.力学与实践，2010，32(4)：71－73.