白玉娟

(陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳745000)

自从美国加州大学控制论专家Zadeh教授提出模糊集的概念以来，模糊数学作为一门新的数学学科得到了迅速的发展.经典凸分析理论与数学规划等应用模型的研究是息息相关的.然而，正象许多系统中含有参数的不确定性，从而模糊优化问题已有很多讨论，并促使了模糊凸分析理论的研究.关于模糊映射的凸性、拟凸性及B-凸性，文献［1-3］已有讨论，1994年，Noor［4］提出预不变凸模糊数值函数的概念，并讨论了模糊数值函数的预不变凸性.1999年，Youness［5］提出了E-凸集和E-凸函数的概念，并讨论了实值函数在E-凸集上的广义凸性问题.但对预不变凸模糊数值函数的本质研究还需进一步深入，本文给出了半E-预不变凸模糊数值函数的定义，并讨论了模糊数值函数在广义凸集上的半E-预不变凸性.

1 预备知识

若模糊集u：R1→［0，1］是正规的，凸的，上半连续的且支撑集紧，则u称为模糊数［6］.记F为R1上所有模糊数组成的集合.

设模糊数u，其水平截集是有界闭区间［u］α= ［u－(α)，u+(α)］，由文献［6］知，u－(α)是［0，1］上非减的函数;u+(α)是［0，1］上非增的函数;u－(α)和u+(α)是有界的，在(0，1］上左连续，在α =0右连续且u－(1)≤u+(1).

反之，若函数u－(α)和u+(α)在［0，1］上满足上述条件，则存在一个模糊数u∈F，使得［u］α=［u－(α)，u+(α)］(α ∈［0，1］).

记

均左连续且在α=0处右连续}.

在V中定义和与数乘运算为［6］：

对于ui∈V^，ui={(u－i(α)，u+i(α))|α∈［0，1］}(i=1，2，…，n).称模糊数(u1，u2，…，un)为n维模糊向量，记所有n维模糊向量的集合为V^n且定义Rn×V^n的直积为：

设 u，ν ∈ V^，u={(u－(α)，u+(α)，α)|0 ≤ α ≤1}，ν ={(ν－(α)，ν+(α)，α)|0 ≤ α ≤1}.称u ≤ ν，如果α)(u-(α)+u+(α))dα ≤α)(ν-(α)+ ν+(α))dα .

对于模糊数值函数 F(x)={(F-(α，x)，F+(α，x)，α)|0 ≤ α ≤1}，记 TF(x)=α)［F-(α，x)+F+(α，x)］dα，其中f为［0，1］上单调不减的非负函数，满足f(0)=1，且α)dα.f可以理解为权重函数，单调不减保证了越是接近模糊数的核的水平截集，在序关系的确定中作用越大.特别地，当f(α)=α时，退化为文献［7］中的序关系.

2 半E-预不变凸模糊数值函数

定义1 设S(⊂Rn)是关于η：S×S→Rn的不变凸集，若存在映射E：Rn→Rn对任意的x，y∈S及λ ∈［0，1］，有

则称S为E-不凸集.

定义2 设F：S→F为模糊数值函数，S(⊂Rn)是关于η：S×S→Rn的不变凸集，若存在映射E：Rn→ Rn对任意的 x，y∈ S 及 λ ∈［0，1］，有

则称F为半E-预不变凸模糊数值函数.

定理1 设F：S→F是E-不变凸集S上的半E-预不变凸模糊数值函数，则对任意的y∈S有TF(E(y))≤TF(y).

证明 由于F：S→F是E-不变凸集S上的半E-预不变凸模糊数值函数，则对任意的x，y∈S及λ∈［0，1］，有

令λ =0，则对任意的y∈S有TF(E(y))≤TF(y).

定理2 设F：S→F是E-不变凸集S上的模糊值数值函数，则F是半E-预不变凸模糊数值函数当且仅当对任意的 x，y∈ S 及 λ ∈［0，1］和 u，ν ∈ F，当 TF(x)≤ Tu，TF(y)≤ Tν时，有

从而F是半E-预不变凸模糊数值函数.

定理3 设F：S→F是E-不变凸集S上的半E-预不变凸模糊数值函数，则对任意的u∈F，

定义3 设S⊂Rn× F，若存在映射 E：Rn→Rn使得对任意的(x，u)(y，ν)∈S(x，y∈Rn，u，ν∈F)及 λ ∈［0，1］，有

E × I(y，ν)+ λη［E × I(x，y)，E × I(y，ν)］ = ［E(y)+ λη(E(x)，E(y))，λu+(1- λ)ν］∈ S，则称S为Rn×F中的E×I-不变凸集.

定理4 设{Si}i∈J是Rn×F中的E×I-不变凸集，则∩i∈JSi也是Rn×F中的E×I-不变凸集.

证明 设(x，u)，(y，ν) ∈∩i∈JSi，λ ∈［0，1］，则对任意 i∈ J有

又因为每个Si是Rn×F中的E×I-不变凸集，即存在映射E：Rn→Rn使得对任意的(x，u)，(y，ν)∈Si及 λ ∈［0，1］，有

即∩i∈JSi是Rn×F中的E×I-不变凸集.

定理5 设S为E-不变凸集，则F为S上的半E-预不变凸模糊数值函数当且仅当

是Rn×F中的E×I-不变凸集.

于是由定理2有，F为S上的半E-预不变凸模糊数值函数当且仅当S(F)是Rn×F中的E×I-不变凸集.

现在定义F在S上的epigraph为：

定理6 设S为E-不变凸集，则F为S上的半E-预不变凸模糊数值函数当且仅当epi(F)是Rn×F中的E×F-不变凸集.

证明 设F为S上的半E-预不变凸模糊数值函数，对任意的(x，u)，(y，ν)∈epi(F)及λ∈［0，1］，有

即F是S上的半E-预不变凸模糊数值函数.

定理7 设{Fi|i∈J}是一族S上的半E-预不变凸模糊数值函数，若对任意的x∈S，sup{Fi(x)|i∈J}在F中都存在，则F(x)=sup{Fi(x)|i∈J}是S上的半E-预不变凸模糊数值函数.

证明 对任意i∈J，{Fi}都是S上的半E-预不变凸模糊数值函数，从而由定理6有

也是Rn×F中的E×I-不变凸集.由定理6有，F是S上的半E-预不变凸模糊数值函数.

定理8 设Fi∶S→F(i=1，2，…，k)对同一个映射E∶Rn→Rn在S上都是半E-预不变凸模糊数值函数，则

也是S上的半E-预不变凸模糊数值函数.

证明 因为Fi∶S→F(i=1，2，…，k)对同一个映射E∶Rn→Rn在S上都是半E-预不变凸模糊数值函数，即对任意的x，y∈S及λ∈［0，1］有

即h是S上的半E-预不变凸模糊数值函数.

定理9 设F∶S→F为S上的半E-预不变凸模糊数值函数，则

(1)当ø∶F→F为非降凸映射时，复合函数øoF∶S→F是S上的半E-预不变凸模糊数值函数;

(2)当ø∶F→F为正齐非降次可加映射时，复合函数øoF∶S→F是S上的半E-预不变凸模糊数值函数.

证明 对任意的x，y∈S及 λ∈［0，1］，有

即øoF∶S→F是S上的半E-预不变凸模糊数值的函数.

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