赵教练

(渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南714000)

经典分析中的Gamma函数是一类特殊的函数，是由L.Euler在18世纪推广自然数的阶乘时给出的，常被称为第二类Euler积分，定义如下：

关于Gamma和q-gamma函数研究成果很多也很重要，它们在分析、数论、特殊函数论、数学物理方法等领域中都起着关键的作用［6-7］.本文在此基础上，将给出q-gamma的一些新的性质.

1 主要引理

为了证明所给的结论，需要以下两个引理：

引理1 对于给定的x＞0，有以下恒等式

证明 以上各恒等式很容易从定义中直接推出.

引理2 给定x∈［0，1］，q∈(0，1)并且0 ＜s＜1，我们有以下不等式成立

当0 ＜q＜1，x∈［0，1］，0 ＜s＜1，我们可以得到 ψq(x+1)－ ψq(x+s) ＞0.

2 定理及其证明

定理1 给定x∈［0，1］，q∈(0，1)并且0 ＜s＜1，我们有以下恒等式成立

另一方面，由引理中第四式两边求导，比较上式可以证明所要的结论.

定理2 对于0＜q＜1，我们可以给出Gamma之商的一个不等式的q模拟，即

由上式计算的结果，根据引理1的结论，我们可以判断g'(x)＞0，也就是得到g(x)是区间［0，1］上的单调递增函数.所以f(x)也是区间［0，1］上的单调递增函数，那么对于f(x)就有f(0)＜f(x)＜f(1)，也就是

［1］Artin E.The Gamma function［M］.New York：Toronto，1964.

［2］Jensen J，Gronwall T.An elementary exposition of the theory of gamma function The Ann［J］.1916，17(3)：124 －166.

［3］Jackson F.H.A Generalization of the Functionsand Γ(n)and xn［J］.Proc.Roy.Soc.London，1904，74(1)：64 －72.

［4］Koornwinder T.H.Jacobi functions as limit cases of q-ultraspherical polynomials［J］.Math.Anal.Appl，1990，148：44 － 54.

［5］Krattenthaler C，Srivastava H.M.Summations for basic hypergeometric series involving a q-analogue of the digamma function［J］.Comput.Math.Appl，1996，32(3)：73 －91.

［6］Askey R.The q-gamma and q-beta functions［J］.Applicable Analysis，1978，8(2)：125 －141.

［7］Andrews G，Askey R，Roy R.Special Functions［M］.New York：Cambridge University Press，1999.

［8］王竹溪，郭敦仁.特殊函数概论［M］.北京：北京大学出版社，2000.