张晓航 雷 刚 石景岚 张德欣

（解放军63891部队 洛阳 471000）

1 引言

由于武器装备体系作战效能与各输入因素的关系复杂，以及体系作战效能涉及众多不确定性因素等原因，为提升体系的作战效能，需要研究影响体系作战效能的各个因素。传统的作战效能分析方法由于分析因素少、因素变化范围窄、不能分析因素之间的交互效应或要求作战效能与输入因素关系不能过于复杂等原因，难以满足体系作战效能分析的需要，为此需要研究适合武器装备体系效能分析特点的分析方法。

假设通过模型计算得到的数据如图1。

图1 模型示意图

2 Sobol指数法

2.1 基本原理

Sobol法［1］是俄罗斯学者Sobol在上世纪90年代提出，并以他的名字命名的一种敏感性分析方法。这是一种基于方差的Monte Carlo法，其基本思想是研究输入参数的方差对输出方差的影响。如果输入参数的方差很小而输出的方差很大，表明输入参数的敏感性较大；反之则较小。Sobol法的核心思想是方差分解，把模型分解为单个参数及参数之间相互组合的函数，通过计算单个输入参数或输入参数集的方差对总输出方差的影响来分析参数的重要性以及参数之间的交互效应［2～4］。

“全效应”指数，这个衡量指标不仅包含了该输入因素自身的主效应，还包含了它与其它因素之间的交互效应。因此选择“全效应”指数作为衡量输入因素的敏感性是一种更科学合理的选择。通过因素之间的二阶及更高阶交互效应，可以了解因素之间的相互作用，由此可以合理地控制某些因素的输入组合，达到预期输出的目的。

由以上定义可知，Sobol指数法是一种相对独立于模型的分析方法。使用时不要求用户对复杂的体系仿真模型有具体的了解，也不需要对模型做出假设。仅需要用户通过合理的试验设计得到相应的输入输出数据。在这些数据的基础上便可以完成整个分析。

2.2 Sobol指数的计算

如果已知分析函数Y的具体形式，以及各个输入变量的分布，那么通过解析计算便可以获得各个输入变量的Sobol指数。例如分析函数如下式所示：

根据前文所述方法对它进行Sobol指数的计算。

进而计算可得

但在通常情况下，分析函数是非常复杂的，如对抗条件下的武器装备体系，其作战效能函数Y是不可能获得具体解析形式的。只能通过效能模型计算，获取的输入输出样本点，然后在样本点的基础上来完成计算。

3 Kriging模型

3.1 基本原理

Kriging代理模型是一种基于统计理论的插值技术，其核心就是通过部分已知的信息去模拟某一点的未知信息。该方法是由南非地质学家Krige于1951年提出的，用来确定矿产储量的分布情况。后来，法国学者 Matheron将Krige的成果进行了系统化和理论化，形成了严格的Kriging模型数学理论［6］。

传统的拟合或者差值技术大都为参数化的模型（如线性回归、响应曲面法等），首先必须选择一个参数化的数学模型（如多项式模型等），其次模型确立之后必须确定其待定系数。而半参数化的Kriging代理模型并不需要建立一个特定的数学模型，相对于参数化模型而言，Kriging模型的应用就更加灵活和方便。

Kriging代理模型是由一个参数模型和一个非参数模型联合构成的。其中，参数模型是回归分析模型，非参数模型是一个随机分布。Kriging模型在对某一点进行预测，首先借助于在这一点周围的已知变量的信息，通过对这一点一定范围内的信息加权的组合来估计这一点未知信息。加权选择则是通过最小化估计值的误差方差来确定［7～8］。

Kriging模型的具体形式如下：

式中：fT（X）为已知形式的回归模型，通常为多项式函数，用以提供拟合的全局近似，可以是0阶、1阶或2阶多项式，β为相应的待定参数；z（X）为随机分布误差，用以提供拟合的局部偏差的近似，z（X）具有如下的统计特性：

其中，X、W 为用来拟合模型的任意两个样本点，R（θ；X，W）为相关函数，用来衡量两个样本点之间的空间相关性。

其中X，W 为两个训练样本点，n为样本的维度，Xi，Wi分别为X与W 的第i个分量。Ri（θ，di）根据需要可以取多种形式，常用的形式有以下几种［9］：

表1 常用的相关函数

当两个点之间的欧氏距离较小时，EXP、LIN和SPHERICAL表现为线性行为，所以它们比较适合于线性对象问题，而GAUSS，CUBIC和SPLINE表现为抛物线行为，所以适合于连续可微的对象问题。其中计算效果最好，被广泛采用的相关函数是GAUSS相关函数［10］。

对于多维问题，θ值的数量与变量X的维数是一致的，θ的分量选择有两种：一种是所有的分量都为相同的值，即相关函数各向同性，这就假定了变量X的所有分量有相同的权重；另一种是假定所有分量可以各不相同，这就使相关函数是各向异性的。

3.2 计算示例

下面通过一个二维的非线性测试函数来验证Kriging的实际拟合效果。

该函数具有明显的非线性性质，如图2所示。sx＋3y－2x2－y2＋3sin（3x）sin（2y）

图2 测试函数的真实曲面

根据已知100组样本数据，通过Matlab中的DACE工具箱建立Kriging近似模型，选择二元二次多项式作为Kriging模型回归部分的函数类型，选择高斯函数相关函数，考虑各向异性作用，对于变量x1，x2选择不同的方向性参数θ1，θ2。则有

设定θ1，θ2初始值为10，范围为［0.1，100］。运行 Matlab程序可得函数的近似曲面如图3所示。

图3 测试函数的拟合曲面（曲面上的点为拟合样本点）

下面通过测试样本来检验所建Kriging模型的精度。

表2 测试函数实际值与拟合值对比

4 基于Kriging模型的Sobol指数求解

在第1节中讨论了Sobol指数的计算。由于在实际情况中，分析函数复杂，无法获得具体解析形式的。只能通过效能模型计算，获取的输入输出样本点，然后在样本点的基础上来完成计算。因此，如何根据已有的样本数据来进行敏感性分析，进行Sobol指数的计算，便成为了问题的关键。本文通过Kriging代理模型方法，根据已有样本数据构建代理模型，通过代理模型来完成对原模型的敏感性分析。这样的分析方法仅依赖于样本数据，而不依赖于原模型，因此具有更好的适应性。具体操作流程如图4所示。

首先将已有的数据样本点分为两部分，一部分作为训练样本来建立模型，另一部分作为检测样本，来检验所建立模型的精度是否满足要求。根据训练样本建立Kriging模型，可以通过Matlab中的DACE工具箱来实现，仅需要对相关参数进行设定即可获得拟合模型。若模型在精度检验中不满足要求，可以通过调整模型参数来改变模型，直至满足要求为止。当获得满足精度的Kriging代理模型后，就可以通过代理模型获取新的样本数据，进而完成敏感性分析。

本文采用上述方法对某空战作战效能模型的200组数据进行了分析。该模型有五个输入因素：X1，X2，…，X5；一个输出，即作战效能指标Y。通过运用第2节中介绍的Kriging模型方法拟合出近似模型，进而采用Sobol指数法进行全局敏感性分析，计算得到各输入因素的主效应、全效应及它们之间的二阶交互效应，如表3、表4所示。

图4 敏感性分析流程图

表3 各输入因素主效应及全效应排序

由表3可知，不论从主效应还是全效应来看，都可认定X2，X4，X5是模型的关键输入因素。

表4 各输入因素之间的二阶交互效应

由以上结果可知，输入因素X2，X4，X5的变化对作战效能Y有重要影响，而输入因素X1，X3对作战效能的影响很小。因此要提高体系的作战效能关键在于控制输入因素X2，X4，X5的取值。此外，从输入因素之间的二阶交互效应可以看出X2与X4，X4与X5之间有显著的交互效应，因此在控制输入因素时，应当注意它们之间的取值组合，以达到提高作战效能的目的。

5 结语

本文对体系的作战效能分析方法进行了研究，提出利用Sobol指数法进行作战效能全局敏感性分析。Sobol指数法是一种基于方差的全局敏感性分析方法，该方法所具有的独立于分析模型和能够定量描述因素间交互效应等特点，较好地满足了武器装备体系作战效能分析的需要。利用该方法对一个数学函数进行了示例分析，验证了该方法的有效性。针对Sobol指数计算量大的问题，本章提出利用Kriging模型来拟合原模型，进而在拟合模型的基础上来完成全局敏感性分析。

［1］Sobol IM.Sensitivity Estimates for nonlinear mathematical models［J］.Math Model Comput Exp，1993：407-414.

［2］罗鹏程，傅攀峰.武器装备敏感性分析方法综述［J］.计算机工程与设计，2008，29（21）：5546-5549.

［3］李睿.Sobol灵敏度分析方法在结构动态特性分析中的应用研究［D］.长沙：中南大学，2003.

［4］蔡毅，邢岩，胡丹.敏感性分析综述［J］.北京大学学报（自然科学版），2008，44（1）：9-15.

［5］Homma T，Saltelli A..Importance measures in global sensitivi-ty analysis of nonline-ar models［J］.Reliability Engineering and System Safety，1996，（52）：1-17.

［6］Matherton.Principles of geo-statistics［J］.Economic Geology，1963（58）：1246-1266.

［7］Jones DR，Schonlau M，Welch WJ.Efficient global optimization of expensive black-box functions［J］.Journal of Global optimization，1998（13）：445-492.

［8］高月华.基于kriging代理模型的优化设计方法及其在注塑成型中的应用［D］.大连：大连理工大学，2009.

［9］Lophaven SN，Nielsen HB，Sondergaard J.DACE-A Matlab Kriging Toolbox，Informatics and mathematical modelling，Denmark，2002.

［10］谢延敏，等.基于Kriging模型的可靠度计算［J］.上海交通大学学报，2007，41（2）：177-180.